标有*的链接是附属链接。有关更多信息，请参阅我的附属公司披露。
如果“爱”不是数学在你心中唤起的东西，我完全理解。我也没有，直到我二十出头。
作为一名高中生，当我完成了所需的数学学分并且可以在大四跳过微积分时，我感到如释重负。有没有人告诉我我最终会主修数学——甚至攻读博士学位！ ——我会当着他们的面笑的。
我记得事情发生变化的那一刻。那是 2005 年，我住在洛杉矶。我留了头发，在摇滚乐队里弹键盘。我的室友——一个喧闹的伦敦人和乐队的鼓手——读过比尔·布莱森的《几乎所有事物的简史》 * ，并鼓励我去读。我没有。
我是说，我本来打算的。我去了 Barnes & Noble，直接去了物理部分。我在书架上看到了 Bill Bryson 的书，但还有一些东西引起了我的注意：Brian Greene的《优雅的宇宙》 * 。我大概在店里读了一百页格林的书。那天我忘记了 Bryson，离开了 Barnes & Noble，对理解所谓的“弦理论”产生了新的渴望。
事实证明，物理学是通往数学世界的一种非常有效的入门药物。在读完《优雅的宇宙》的两年内，我就离开了音乐世界，进入大学准备学习物理。但是多亏了一位出色的微积分老师，我反而抓住了数学错误。四年后，我获得了数学学位。我什至从未上过物理课。
在我对弦理论产生兴趣的同时，美国政府正在资助一群数学家和理论物理学家，将弦理论的思想与称为朗兰兹计划的数学深层问题联系起来。其中一位主要研究人员——一位名叫 Edward Frenkel 的数学家——和我一样，以对物理学的兴趣开始了他的数学生涯。
当我阅读弗伦克尔 2013 年出版的《爱与数学* 》一书时，我不禁笑了起来，同时想到洛杉矶一个 20 岁的孩子刚刚开始迷恋弦论的数学生活，普林斯顿大学有一位数学家在探索相关的想法，并经历了我所感受到的同样冲动所带来的学习生活的高潮：理解宇宙的渴望。
我从来没有见过 Edward Frenkel，可能永远也不会见过（尽管我可能曾经和他在同一个房间——我们都参加了 2012 年联合数学会议）。但我不禁感到与他的故事有联系。阅读爱与数学激起了一股情绪的旋风，重新点燃了对旧情人的兴趣。
太珍贵了
部分自传，部分数学解释，部分浪漫小说，爱与数学*的核心是邀请每个人体验数学家在很大程度上保留给自己的东西。
Frenkel 的目标是“释放数学的力量和美感，让你进入这个神奇的世界……即使你是那种从未在同一个句子中使用过‘数学’和‘爱’两个词的人。”他的目标是创造公平的竞争环境：
太珍贵了，不能送给“少数人”。它属于我们所有人。
Frenkel 暗指精英主义[1] ，但他希望数学民主化的愿望可能植根于更阴险的东西。看，弗伦克尔在 1970 年代和 1980 年代在苏维埃俄罗斯长大。尽管他的数学天赋显而易见，但国家支持的反犹太主义（弗伦克尔的父亲是犹太人）使他无法进入俄罗斯最好的大学。
在一个令人难以置信的故事中，弗伦克尔讲述了他在参加“苏联旗舰数学项目”Mekh-Mat 的入学考试时如何让他的一位采访者定义一个圆圈。 Frenkel 正确回答：“圆是平面上与给定点等距的点的集合。”这个人告诉他他错了，圆是“平面上与给定点等距的所有点的集合”。 Frenkel 指出，这“听起来像是对单词的过度解析”。但是，实际上，这只是种族主义。
人类的追求
Love & Math *的自传方面写得非常好。他们讲述了一个来自俄罗斯的年轻人的故事，他不顾一切地坚持并实现了成为专业数学家的梦想。在这样做的过程中，读者瞥见的不仅仅是弗伦克尔的生平故事。你会体验到戏剧性——人性——这是做数学所固有的。
在一章中，弗伦克尔戏剧化了与另一位俄罗斯数学家弗拉基米尔·德林费尔德的讨论，这场讨论塑造了他的数学生涯。我的意思是“戏剧化”的字面意思：弗伦克尔将讨论呈现为剧本。这是我遇到的关于数学研究的社会成分的最佳描述之一。这让我想起了我在写论文时与我的顾问在她的办公室进行的谈话[2] 。
Frenkel 甚至描述了数学研究的情感体验，从第一次解决具有挑战性的问题时经常遇到的挫败感开始：
这对我来说并不容易。它永远不会。我尝试了许多不同的方法。由于他们每个人都失败了，我感到越来越沮丧和焦虑。
这是弗伦克尔第一次“真正”解决研究问题，而且，正如许多人所做的那样，他经历了冒名顶替综合症：
我质疑我是否可以成为一名数学家。
Frenkel 选择将他在解决数学问题时所经历的痛苦和怀疑包括在内，这对我来说意义重大。人们常常把数学界的大人物想象成完美的天才。但是，我敢打赌，即使是像高斯和欧拉这样的人，他们的信念也会时不时动摇。毕竟，他们只是凡人[3] 。
弗伦克尔在他的问题上花费了“无尽的时间”，在晚上和周末辛勤工作。他的挣扎导致失眠，让他尝到了不健康的痴迷可能引发的“副作用”。
经过数月的不眠之夜和自我怀疑，答案“突然间，仿佛施了魔法一般”。 Frenkel 将最终解决问题的感觉描述为“高”。我想大多数人都可以理解这一点。这与完成具有挑战性的视频游戏所获得的多巴胺冲动没有任何不同。但随后弗伦克尔描述了在我看来，数学的真正魅力是什么：
我有生以来第一次拥有了世界上没有其他人拥有的东西。我能够对宇宙说一些新的东西。
人类天生就是探索者。好奇心把我们带到了海底。它让我们登上了月球。然而，在我们的星球上几乎没有什么地方可供探索。科学提供了一种以新方式研究物理宇宙的方法。尽管如此，并不是每个人都能买得起太空望远镜、粒子对撞机和电子显微镜。
相比之下，数学提供了一个探索宇宙的机会，每个人都可以免费使用一个工具：你的思想。
足不出户探索宇宙
交织在Love & Math *的自传部分中，Frenkel 讲述了另一个故事：朗兰兹计划背后的数学故事。以加拿大数学家罗伯特朗兰兹命名的朗兰兹计划将数学中不同的想法与一种“罗塞塔石碑”联系起来。
正如弗伦克尔的父亲所说，朗兰兹纲领的细节“相当沉重”。 Frenkel 承认，“即使在专家中，也很少有人知道所有要素的具体细节。”这并没有阻止弗伦克尔对正在发生的事情进行一些描述。虽然Love & Math中的数学有时会让你头晕目眩，但它有一个目的：
我的意思不是让你全部学习。相反，我想指出这些对象之间的逻辑联系，并展示科学家研究它们的创造过程：是什么驱动它们，它们如何相互学习，它们获得的知识如何用于促进我们对关键问题的理解。
Frenkel 熟练地引导读者了解通常为高年级本科生——甚至研究生——数学课程保留的概念。他这样做的方式可以满足读者所在的地方，而无需假设太多背景。
这种将技术概念提炼成日常语言的能力显然是弗伦克尔从他的一位导师伊斯雷尔·格尔凡德那里学到的一项技能。在本书的前言中，弗伦克尔分享了格尔凡德是如何描述这种技术的：
人们认为他们不懂数学，但这完全取决于你如何向他们解释。如果你问酒鬼哪个数字更大，2/3 或 3/5，他不会告诉你。但如果你换种说法：3人2瓶伏特加还是5人3瓶伏特加哪个更好，他会马上告诉你：当然是3人2瓶。
这种方法有效， Love & Math *就是证明。在第 2 章“对称的本质”中，Frenkel 通过研究圆桌会议来描述对称群的概念。大多数人都知道什么是对称性，但数学家使用“群”这个词的方式与我们在日常英语中的使用方式不同。每个人都见过一张圆桌，很容易想象与它互动。因此，当 Frenkel 深入研究旋转对称群之类的事物时，您就有了一个具体的图像可以使用。
很多时候，弗伦克尔将概念呈现为叙事。 Frenkel 没有用定义和定理打你的脸，而是分享了他自己是如何学习这些概念的。例如，他在与他的少年导师[4] 、当地一所大学的教授、弗伦克尔父母的朋友 Evgeny Evgenievich Petrov 之间的对话中解释了旋转对称性。
在这些对话中，弗伦克尔很容易分享他自己的困惑，这有助于让读者放心。可以想象向弗伦克尔表达他们的困惑，他笑着回应：“嘿，这些事情并不总是那么容易理解，挣扎也可以。但这是值得的，这样想有助于我最终掌握它。”
这一切并不是说你不会遇到任何严肃的数学问题。正如 Frenkel 指出的那样，“跳过那些在第一次阅读时看起来令人困惑或乏味的部分是完全可以的（这是我自己经常做的）。稍后再回到这些部分，配备新获得的知识，你可能会发现材料更容易遵循。但这通常不是为了能够遵循接下来的内容。
即使是我，由于受过正规的数学训练，也不得不仔细考虑课文的几个部分。虽然这看起来很吓人，但我认为它增加了本书的丰富性。你不需要一开始就了解所有东西，甚至根本不需要了解Love & Math *的最大价值：对数学家所做的事情以及他们如何做的欣赏。但如果你想更深入，它就在那里。
这本书的高潮涉及数学的一个奇特特性：在与物理世界没有任何联系的情况下发展起来的想法有时，而且往往是神秘地，作为对某些自然过程的描述而具体化。对于朗兰兹纲领，这种联系来自量子力学，尤其是超对称性。
从 2004 年到 2013 年，Frenkel 领导了一个研究小组，调查超对称与朗兰兹纲领之间的联系。尽管超对称性尚未经过实验测试，但它是理解宇宙的模型。有点神奇的是，超对称元素与朗兰兹纲领中的元素很好地对应。就好像所有这些到目前为止只存在于数学家的集体头脑中的抽象事物，渴望摆脱唯我论的束缚并声称它们的物质存在。
无论超对称是否准确地描述了宇宙，与朗兰兹纲领的联系都是真实的。它体现了弗伦克尔的观点，即追求数学可以导致对我们周围世界的深刻理解。在某些方面，数学家就像宇航员可以在不离开地球的情况下穿越宇宙。
爱的冲刺
我看过德国数学家大卫希尔伯特的一句话，他得知一名学生辍学学习诗歌后，显然反驳说：“你知道，对于一个数学家来说，他没有足够的想象力。但他有成为诗人，现在他很好。 [5] ”
我明白希尔伯特在说什么。很多时候，创造力在数学中的作用被低估了，即使被提及。我遇到过一些人，他们认为我对数学的兴趣意味着我是一名出色的会计师[6] 。但是，如果这个故事是真的，那么我不禁怀疑希尔伯特是否缺乏接触某些学生所需的想象力。或许他需要一位导师，比如 Israel Gelfand，他将数学交流视为一种同理心的练习。
同情。当我试图确定我最喜欢Love & Math *的什么时，我一直在脑海中回想这个词。弗伦克尔以真诚的同情写作——这种善意似乎源于对他的父母、导师和所有帮助他实现成为数学家的梦想的人们的爱的感激之情，即使反犹政府支持路障的每一步。
《爱与数学》的最后一章，题为《寻找爱的公式》 ，既是弗伦克尔艺术之旅的回忆录（他与人合写了剧本《两体问题》和一部短片《爱与数学的仪式》 ）以及弗伦克尔对数学的普遍欣赏是正常的未来愿景的宣言。我钦佩弗伦克尔追求艺术兴趣的意愿。如果他在电影和戏剧方面的经历有助于发展他在《爱与数学》中展示的令人印象深刻的故事讲述，我不会感到惊讶。
在爱与数学的仪式中，一位数学家发现了“爱的公式”。但也有阴暗面，与发现原子能一样，这位数学家发现他的公式可用于作恶。 “他意识到他必须隐藏配方，”弗伦克尔写道，“以防止它落入坏人之手。他决定将它纹在他所爱的女人身上。”
这部电影是对创造新数学的“深刻个人体验”的寓言：
它需要爱和奉献，与未知和自己的斗争，这会引发强烈的情绪。你发现的配方确实会深入你的皮肤，就像电影中的纹身一样。
数学与爱情的仪式吸引了普通观众。通过“强调数学的人文和精神元素”，弗伦克尔希望“激发观众的好奇心”。在许多方面， Love & Math都在做同样的事情，只是它不回避挖掘技术细节。这不仅仅是一封写给数学的情书；它邀请读者亲自动手，并可能为自己发现一些热爱数学的东西。
因此， Love & Math *有两个目的：首先，它是对人类进行数学的情感体验的描述，其次，它是对将跨学科的人们团结起来并探索宇宙奥秘的各种问题的介绍。
一个数学公式不能解释爱，但它可以承载爱的电荷。
“除此之外，”弗伦克尔写道，“数学给了我们一个理由和额外的能力，让我们彼此相爱，爱我们周围的世界。”
您可以从Amazon * 、 Barnes & Noble 、 iTunes和IndieBound购买Love & Math 。
感谢 Jeremy Alm 阅读了这篇文章的草稿并提供了宝贵的反馈。
- 我曾经被德克萨斯 A&M 的一位研究生同学回避，因为我的数学兴趣对他来说不够纯正。我主要对图论和组合学感兴趣，这对于这个人来说显然太“初级”了。对一些人来说，仅仅了解数学是不够的。你必须关心正确的数学。 ↩︎
- 我从来没有写过论文。我在完成博士学位之前离开了研究生院。然而，作为一名本科生，我确实根据图论的原始研究写了一篇内容广泛的论文。 ↩︎
- 这是真的。他们死了。 ↩︎
- 弗兰克尔有幸在这么小的年纪就遇到了导师，多亏了父母的付出和支持，他才认识了他。我也从我父母的支持中受益匪浅，尤其是我的妈妈，她为我作为一名崭露头角的钢琴家寻找并找到了一位出色的导师。我现在自己也为人父母了。阅读 Frenkel 的经历提醒我，我有责任不仅要尽我所能成为最好的父亲，还要寻找能够比我更好地指导我的孩子的导师。 ↩︎
- 我不知道这个故事是不是真的。我能找到的唯一参考资料是在r/MathQuotes reddit上，即使在那里，作者也承认没有来源。 ↩︎
- 2012 年，在从联合数学会议（Frenkel 本人就他在量子物理学和朗兰兹计划方面的研究发表了一系列讲座）回来时，坐在我旁边的一位飞机乘客得知我是一名数学系学生说：“哦，那你一定喜欢QuickBooks。”我不。 ↩︎