介绍
在我们之前关于 \(SU(2)\) 和 \(SO(3)\) 的可约表示的文章中，已经明确确定了\(SU(2)\)的不可约表示：\(V_n=\operatorname{Sym }^n\mathbb{C}^2\)，而\(SO(3)\)的不可约表示\(W_n\ ) 对应于 \(V_{2n}\)。
对于 \(SU(2)\)，结果是令人满意的，但对于 \(SO(3)\)，结果并不令人满意。我们希望它与\(\mathbb{R}^3\)有关系，但 \(V_{2n}\) 没有。在这篇文章中，我们提供了一个非常清晰的 \(W_n\) 特征。
这篇文章会相对更容易阅读。除了表示论的基本语言（李群），只需要多变量微积分。
总体战略和游乐场
就像在上一篇文章中一样，我们首先确定一个好的游乐场，然后证明这就是我们所需要的。这里的游乐场是
\[P_\ell=\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R}\operatorname{Sym}^\ell\mathbb{R}^3.\]
\(\mathbb{R}^3\) 的对称积的原因很简单：我们将研究齐次多项式。我们将这个空间复杂化以确保我们不会担心（\(SO(3)\)）的特征值。换句话说，\(P_\ell\) 是三个变量中齐次多项式的复向量空间，被视为 \(\mathbb{R}^3\) 上的函数。
回顾
\[\dim \operatorname{Sym}^\ell \mathbb{R}^3 = {\ell+3-1 \choose\ell}={\ell + 2 \choose \ell}={\ell+2 \选择2}=\frac{(\ell+2)(\ell+1)}{2}.\]
因此\(\dimP_\ell=\frac{(\ell+2)(\ell+1)}{2}\) ，作为 \(\mathbb{C}\)-向量空间。
我们将从这个表格的空间中提取我们想要的东西。
SO(3) 和拉普拉斯算子的表示
\(SO(3)\)或 \(GL(3,\mathbb{R})\) 通常对 \(P_\ell\) 的作用以类似的方式定义。对于任何\(A \in GL(3,\mathbb{R})\)和\(f \in P_\ell\) ，我们定义
\[(Af)(x)=f(xA).\]
这里， \(x=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\) ，并且 \(xA\) 是 \(x \) 和 \(A\) 在矩阵乘法的意义上。很容易验证这确实产生了一个群表示。
为了研究这种表示，我们需要找到一些态射\(P_\ell\to P_\ell\)。最明显的选择是拉普拉斯算子，由下式给出
\[\Delta:f \mapsto \left(\frac{\partial^2}{\partialx_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2} {\partialx_3^2}\right)f.\]
换句话说， \(\Delta\)是\(f\)的 Hessian 矩阵的迹。迹在表示论中用于定义字符，因此有机会找到它与 \(SO(3 )\)。
我们也不应该忘记拉普拉斯算子的核，在这种情况下称为度数调和多项式\(\ell\) ：
\[\mathfrak{H}_\ell = \{f \in P_\ell:\Delta{f}=0\}.\]
由于\(P_\ell\)中的函数是齐次的，所以\(f\)在点\(x\)处的值由\(\frac{x}{\|x\|} \in S^处的值确定2\) ，单位球体。因此我们也称 \(\mathfrak{H}_\ell\) 为\(\ell\)度的球谐函数。我们当然需要知道 \(\Delta\) 的无效性。
引理 1. \(\mathfrak{H}_\ell\) 的维数是 \(2\ell+1\)。
证明。首先，我们对第一个变量\(x_1\)执行 \(f \in P_\ell\) 的泰勒展开：
\[f(x_1,x_2,x_3)=\sum_{k=0}^{\ell}\frac{f_k(x_2,x_3)}{k!}x_1^k.\]
这里， \(f_k(x_2,x_3)\ ) 在\(x_2,x_3\)中的度\(\ell-k\)是齐次的。因此我们只需要研究右手边的一项。
\[\begin{对齐}\Delta \frac{f_k(x_2,x_3)}{k!}x_1^k &=\frac{f_k(x_2,x_3)}{k!}k(k-1)x_1^ {k-2}+\frac{x_1^k}{k!}\left(\frac{\partial^2f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_3^ 2}\right) \\&=\frac{f_k(x_2,x_3)}{(k-2)!}x_1^{k-2}+\frac{x_1^k}{k!}\left(\ frac{\partial^2f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_3^2}\right)\end{aligned}\]
现在我们可以自然地将它们放在一起：
\[\Delta f =\sum_{k=0}^{\ell-2}\frac{f_{k+2}}{k!}x_1^{k}+\sum_{k=0}^{\ ell}\frac{x_1^k}{k!}\left(\frac{\partial^2f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_3^2}\right )\]
让我们尝试更多地探索最后一个术语。如果 \(k=\ell-1\) 或 \(\ell\)，则 \(f_k\) 的阶为 \(0\) 和 \(1\)，因此二阶导数为\(0\) .因此我们写
\[\Delta f =\sum_{k=0}^{\ell-2}\frac{x_1^k}{k!}\left[f_{k+2}+\left(\frac{\partial^ 2f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_3^2}\right)\right]\]
因此\(\Delta{f}=0\)当且仅当
\[f_{k+2}+\left(\frac{\partial^2 f_k}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2f_k}{\partial x_3^2}\right)=0。 \]
因此，一旦确定了\(f_0\)和\(f_1\)，则所有的\(f_k\) 都已确定，\(f\) 本身也是如此。所以
\[\dim \mathfrak{H}_\ell=\dim P_\ell^2+\dim P_{\ell-2}^2\]
其中\(P_k^2\)是具有两个变量的齐次多项式空间，因此与 \(\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R}\operatorname{Sym}^k\mathbb{R}^2\ )，因此我们有
\[\dim P_\ell^2 = {\ell+2-1 \选择 \ell}=\ell+1, \quad \dim P_{\ell-1}^2= \ell.\]
因此
\[\dim \mathfrak{H}_\ell=2\ell+1.\]
\（\正方形\）
回想一下\(\dim W_n=2n+1\) 。这不应该是巧合，我们现在将深入研究它。为此，我们立即在 \(\Delta\) 和 \(SO(3)\) 之间建立连接。
引理 2.拉普拉斯算子对 \(C^\infty(\mathbb{R}^3;\mathbb{C})\) 的作用（其中包含\(P_\ell\)对于所有 \(\ell \ge 0 \)) 通勤与\(SO(3)\)的作用，即 \(\Delta\) 是 \(SO(3)\)-等变的。
证明。真正的例行验证。 \（\正方形\）
结果，我们得到了一个非常重要的结果：
定理 1.空间 \(\mathfrak{H}_\ell\) 是 \(P_\ell\) 的 \(SO(3)\)-不变子空间。
SO(3)的特征
我们从直接观察 \(SO(3)\) 中的矩阵开始，将旋转“降级”为平面：
引理 2. \(SO(3)\) 中的每个元素都与 \(R(t)\) 共轭，其中
\[R(t)= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0&\cos{t}&-\sin{t} \\0&\sin{t}&\cos{t} \end{pmatrix }.\]
证明。选择任何\(A \inSO(3)\) 。首先我们证明\(A\) 有一个特征值\(1\)。笔记
\[\begin{对齐}\det (IA)&=\det(AA^TA) \\ &=\det(A(A^TI)) \\ &=\det(A)\det(A^TI ) \\ &=\det(AI) \\ &=-\det(IA)\end{对齐}\]
因此我们有\(\det(IA)=0\) 。因此我们可以选择\(v_1 \in \ker(IA)\)与规范\(1\) 。选择 \(v_2 \in \mathbb{R}^3\) 以 \(v_1\) 为特征，范数 \(1\) 和\(v_3=v_1\times v_2\) 。那么 \(\{v_1,v_2,v_3\}\) 是一个正交基并且\(V=(v_1,v_2,v_3)\)在 \(SO(3)\) 中。 \(A\) 因此共轭到
\[V^{-1}AV=R=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0&a&b \\ 0&c&d \end{pmatrix} \in SO(3).\]
特别是， \(R \in SO(3)\)也意味着
\[\开始{案例}a^2+b^2=1 \\b^2+d^2=1 \\a^2+c^2=1 \\b^2+d^2=1 \ \ad-bc=1\end{案例}\]
求解这个方程组我们必须有 \(a=d\), \(b=-c\) 以便我们可以分配 \(a=\cos{t}\) 和 \(c=\sin{t}\ )，结果如下。 \（\正方形\）
由于字符在共轭下是不变的，所以对\(SO(3)\)的字符的研究简化为\(T\) ，即由\(R(t)\)形式的矩阵生成的子群。但是直接计算是一场噩梦，所以我们尽最大努力优雅地做到这一点。为此，我们回到 \(SU(2)\) 的不可约表示（无论如何只有两个变量）。规范映射\(SU(2) \toSO(3)\)具有特定值：
\[e(t)=\begin{pmatrix}\exp(it) & 0 \\0 & \exp(-it)\end{pmatrix} \mapsto\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & \cos{2t} & -\sin{2t} \\0 & \sin{2t} & \cos{2t}\end{pmatrix}=R(2t).\]
上面的地图可以参考这个文档。我们对字符的研究现在简化为 \(SU(2)\)，因为 \(\chi_{W_n}(R(t))=\chi_{V_{2n}}(e(t/2))\) ，利用字符在同构下不变和\(V_{2n} \cong W_n\)的事实。我们可以计算出
\[\chi_{V_{2n}}(e(t/2))=\sum_{k=0}^{2n}\exp\left(i(2n-2k)\frac{t}{2}\对)=\sum_{k=0}^{2n}\exp(i(nk)t).\]
现在我们准备好了 \(SO(3)\) 的不可约表示。
确定所有不可约 SO(3) 模
由于我们基本上有\(\dim\mathfrak{H}_\ell=\dim W_\ell\) ，因此很自然地相信\(\mathfrak{H}_\ell \cong W_\ell\) ，在\(SO(3)\)模的意义，下面的定理肯定地回答了这个问题。
定理 2.空间 \(\mathfrak{H}_\ell\) 同构于 \(W_\ell\)。换句话说，不可约 \(SO(3)\) 模由球谐函数决定。
证明。我们将使用每个紧李群都是完全可约的事实。 （首先，\(SO(3)\) 是紧的，因为它是本文的闭子群。另一方面，每个紧李群都是完全可约的这一事实可以在本文的第 3 节中找到）。
因此我们有
\[\mathfrak{H}_\ell= \bigoplus_{\nu}W_{n_\nu}\]
其中每个\(W_{n_\nu}\)是 \(SO(3)\) 的不可约表示。在两侧应用尺寸产量
\[2\ell+1 = \sum_{\nu}(2n_\nu+1).\]
为了证明 \(\mathfrak{H}_\ell=W_{\ell}\)，只需证明\(n_\nu \ge \ell\)对于某个\(n_\nu\) 即可。另一方面，我们看到在两边都应用字符
\[\chi_{\mathfrak{H}_\ell}(R(t))=\sum_{k}\exp(ikt) \quad |k| \le \maxn_\nu.\]
我们不知道 \(k\) 的组合，但如果我们能证明\(R(t)\)有一个特征值 \(e^{-i\ell t}\)，我们的工作就完成了。
为此，我们可以考虑向量 \(f(x_1,x_2,x_3)=(x_2+ix_3)^\ell \in\mathfrak{H}_\ell\)。这是因为对于这个向量，我们有
\[\begin{对齐}(R(t)f_\ell)(t)&=\left(x_2\cos{t}+x_3\sin{t}+i(-x_2\sin{t}+x_3\ cos{t})\right)^\ell\\ &=(e^{-it}x_2+ie^{-it}x_3)^\ell \\ &=e^{-i\ell t}(x_2 +ix_3)^\ell \\ &=e^{-i\ell t}f_\ell(t).\end{对齐}\]
\（\正方形\）
结束语
-
我们找到特征值是因为它表明 \(\exp(-i\ell t)\) 出现在\(\chi_{\mathfrak{H}_\ell}(R(t))\)的和中，因此\(|-\ell|=\ell \le \max n_\nu\) 。由于\(\{n_\nu\}\)是有限的，因此可以达到最大值，因此我们关于维度的论证已经完成。
-
\(U(2)\)的表示可以代数推导出来，只需注意 \(U(2) = (S^1 \times SU(2))/H\)，其中 \(H =\{(1,I),(-1,-I)\}\)。就像我们对 \(SO(3)\) 所做的那样，我们还需要一个奇偶参数。
-
同样，由于\(O(3)=SO(3) \times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) ，我们可以以相同的方式推导出\(O(3)\)的不可约表示。