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Segre 嵌入允许我们合理地定义射影变量的乘积，我们现在将讨论它。首先，我们考虑 \(\mathbb{P}^m\) 和 \(\mathbb{P}^n\) 的乘积。在本节中，地场是任意代数封闭场。
定义 1. Segre 嵌入定义如下：
\[\begin{对齐}\iota:\mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^n &\to \mathbb{P}^N \\([X_0:\cdots:X_m],[Y_0 :\cdots:Y_n]) &\mapsto[X_0Y_0:X_0Y_1:\cdots:X_mY_n]\end{对齐}\]
显然， \(N=(m+1)(n+1)-1=mn+m+n\) 。右侧的图像具有 \(X_iY_j\) 的字典顺序。
首先我们要确保这个函数是明确定义的，否则我们的工作将毫无用处。
命题 1. Segre 嵌入是一个定义良好的内射映射。
证明。假设对于一些\(\lambda,\mu \ne 0\ ) 和\(Y_j’=\mu Y_j\) ，则有 \ (X_i’=\lambdaX_i\)和
\[\begin{对齐}\iota([X_0′:\dots:X_m’],[Y_0′:\dots:Y_n’])&=[X_0’Y_0′:\dots:X_m’Y_n’]\\ &=[\lambda\mu X_0Y_0:\dots:\lambda\mu X_mY_n] \\ &=\lambda\mu[X_0Y_0:\dots:X_mY_n] \\ &=[X_0Y_0:\dots:X_mY_n] \\\end {对齐}\]
接下来假设\([X_iY_j]=[X_i’Y_j’]\)。不失一般性，我们可以假设\(X_0 \ne0\)和\(X_0′ \ne 0\)以便我们可以将它们放到\(1\)中。然后通过查看第一个\(n+1\)元素，我们可以将\([Y_0:\dots:Y_n]\)识别为\([Y_0′:\dots:Y_n’]\) 。然后使用\(X_1Y_i=\lambdaX_1’Y_i’\)我们可以立即识别 \(X_1\) 和 \(X_1’\)。同样地识别其他组件。 \（\正方形\）
接下来我们使用线性代数进一步研究图像
一个矩阵的Segre嵌入和秩的图像
我们可以将 \(\mathbb{P}^N\) 中的元素写成 \((m+1) \times (n+1)\) 矩阵，这样可以使事情变得更简单：
\[\begin{bmatrix}Z_{00} & \dots & Z_{0n} \\\vdots & \ddots & \vdots \\Z_{m0} & \cdots & Z_{mn}\end{bmatrix}。\ ]
因此\(\iota\)的图像由\(Z_{ij}=X_iY_j\) 给出。通过初步观察，我们看到了矩阵
\[\begin{bmatrix}X_0Y_0 & \cdots & X_0Y_n \\\vdots & \ddots & \vdots \\X_mY_0 & \cdots & X_mY_n\end{bmatrix}\]
有等级\(1\) 。问题是，反过来是真的吗？为此，我们研究集合
\[Z=Z(\{Z_{ij}Z_{kl}-Z_{kj}Z_{il}:1 \le i,k \le m,1 \le j,l \le n\})。\ ]
注意\(Z_{ij}Z_{kl}-Z_{kj}Z_{il}\)是矩阵\([Z_{ij}]\)的所有\(2\times2\)子矩阵的行列式。这\ (Z\)包含所有秩为 \(1\) 的 \([Z_{ij}]\)。为了显示相反的情况，我们考虑标准仿射覆盖。令 \(U_{kl}=Z(Z_{kl})\) 并把 \(V_{kl}=\mathbb{P}^N \setminus U_{kl}\)。然后\(\{V_{kl }\}\)是众所周知的\(\mathbb{P}^N\)的标准仿射覆盖。然后同样我们使用仿射开子集 \(U_k \subset \mathbb{P}^m\) 和 \(U_l’ \subset \mathbb{P}^n\)，得到
\[V_{kl} \cap Z\to U_k \times U_l’, \quad [Z_{ij}] \mapsto([Z_{0l}:\dots:Z_{ml}],[Z_{k0}:\点：Z_{kn}])\]
这确实是 \(\iota\) 在\(U_k\times U_l’\)上的逆映射。因此反之亦然。
因此，Segre嵌入的图像是一个射影变体。作为一个经典的例子，\(\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \to\mathbb{P}^3\)的图像由多项式 \(xy-zw=0\) 确定。
高度
在本节中，我们提供了一种理解 Segre 嵌入 innumber 字段的方法。首先，我们需要一些定义。
高度是由字段上的绝对值计算的，因此我们首先对 \(\mathbb{Q}\) 上的所有绝对值进行归一化。回想一下，两个绝对值\(|\cdot|_1\)和 \(|\cdot|_2\) 是等价的，如果存在一些\(\lambda>0\)使得 \(|\cdot|_1=|\cdot| _2^\lambda\)。问题是，我们应该选择哪个\(\lambda\) 。
普通的绝对值 \(|\cdot|_\infty\) 无需担心。但是对于\(p\) -adic 绝对值\(|\cdot|_p\) ，我们有一个限制，即 \(|p|_p=\frac{1}{p}\)，而不是使用其他等价的绝对值。所有这些绝对值将由
\[M_\mathbb{Q}=\{|\cdot|_p:p\text{ 是素数或}=\infty\}。\]
同样，我们定义\(M_K\) ，其中 \(K\)始终是一个数字字段。 \(M_K\)由普通绝对值和 \(p\)-adic 的扩展组成，定义如下：
\[|x|_v=|N_{K_v/\mathbb{Q}_p}(x)|_p^{1/[K:\mathbb{Q}]},\quad \forall x\inK,v|p .\]
特别地， \(M_K\)满足乘积公式：
\[\prod_{v \in M_K}|x|_v=1 \text{ 或 } \sum_{v \in M_K}\log|x|_v=0\]
对于所有\(x \in K^\times\) 。这个限制使我们能够很好地处理投影空间，我们将在后面看到。
定义 2. \(x\in\mathbb{P}^n_{\overline{\mathbb{Q}}}\)的（绝对对数）高度，坐标为 \((x_1,\dots,x_m) \in K\)，定义为
\[h(x)=\sum_{v \in M_K}\max_j \log |x_j|_v.\]
实际上，高度函数可以显示\(x\)的“代数复杂化”，并且在许多意义上是明确定义的。
命题 2.高度 \(h(x)\) 与\(K\)的选择无关。
证明草图。令 \(L\) 是另一个包含\(x_0,\dots,x_m\)的数域，那么我们可以假设\(K \subset L\) ，那么 \(L/K\) 是一个有限可分扩展。但在这种情况下，
\[\sum_{w|v}[L_w:K_v]=[L:K],\]
这意味着
\[\sum_{w|v}\log |x|_w=\log |x|_v.\]
所以
\[\sum_{w \in M_L}\max_j\log|x_j|_w=\sum_{v \inM_K}\sum_{w|v}\max_j\log|x_j|_w\]
给我们想要的。 \（\正方形\）
命题 3. \(h(x)\) 在 \(\mathbb{P}^n_{\overline{\mathbb{Q}}}\) 上是明确定义的。
证明。仍有待证明 \(h(x)\) 与坐标的选择无关。对于\(\lambda \ne 0\) ，我们看到
\[\begin{对齐}h(\lambda{x})&=\sum_{v \in M_K}\max_j\log|\lambda x_j|_v \\ &=\sum_{v \inM_K}\left(\ log|\lambda|_v+\max_j\log|x_j|_v \right) \\ &=\sum_{v \in M_K}\log|\lambda|_v+\sum_{v \inM_K}\max_j\log|x_j| _v \\ &=\sum_{v \in M_K}\max_j\log|x_j|_v \\ &=h(x).\end{对齐}\]
注意\(\sum_{v \inM_K}\log|\lambda|_v=0\)因为是乘积公式。 \（\正方形\）
为了突出高度测量代数复杂度的能力，让我们提到克罗内克的以下定理。
定理 1（克罗内克）。 \(\zeta\in\overline{\mathbb{Q}}^\times\) 的高度是\(0\)当且仅当 \(\zeta\) 是单位根。
一个方向是直截了当的。为了证明相反的情况，可能需要一些组合学、对称函数和狄利克雷的鸽子原理。有关证明，请参见本说明的定理 2.4。
Segre 嵌入和多项式的高度
现在让我们邀请 Segre 嵌入到聚会中：
\[\begin{对齐}\iota:\mathbb{P}^n_{\overline{\mathbb{Q}}} \times\mathbb{P}^m_{\overline{\mathbb{Q}}} &\ to\mathbb{P}^N_{\overline{\mathbb{Q}}} \\ (x,y) &\mapsto x \otimes y \\ &:=(x_iy_j).\end{aligned}\]
利用 \(\max_{i,j}|x_iy_j|_v=\max_i|x_i|_v \cdot\max_j|y_j|_v\) 这个事实，我们立即看到
\[h(x \otimes y) = h(x) + h(y).\]
在引入多项式的高度后立即使用 Segre 嵌入。
定义 3.对于 \(f(t_1,\dots,t_n) \in K[t_1,\dots,t_n]\)，我们写
\[f(t_1,\dots,t_n)=\sum_{\mathbf{j}}a_{\mathbf{j}}\mathbf{t^j}.\]
则 \(f\) 的高度定义为
\[h(f)=\sum_{v \in M_K}\log |f|_v\]
在哪里
\[|f|_v=\max_{\mathbf{j}}|a_{\mathbf{j}}|_v.\]
同样，它可以以某种方式显示 \(f\) 的复杂性，但我们目前对此并不感兴趣。请注意，多元多项式的乘积可以理解为张量乘积，因此我们有以下事实
命题 4.令 \(f(t_1,\dots,t_n)\) 和 \(g(s_1,\dots,s_m)\) 是不不同变量集的多项式，则
\[h(fg)=h(f)+h(g).\]