介绍
群\(GL_2(\mathbb{F}_q)\)由可逆的\(2\times 2\)矩阵组成，其条目在有限域 \(\mathbb{F}_q\) 中，其中 \(q=p ^n\) 对于一些素数 \(p\) （我们排除了\(p=2\)的情况，因为它可能非常困难）。作为 \(\mathbb{F}_p\)-向量空间，\(\mathbb{F}_q\) 具有维度 \(n\)。伽罗瓦群 \(G(\mathbb{F}_q/\mathbb{F}_p)\) 是循环的，由 Frobenius 映射生成。
域\(\mathbb{F}_q\)本身已经相当复杂，更不用说它上面的矩阵组了。在这篇文章中，我们尝试遵循 Fulton-Harris 关于表示理论的想法：对 \(G=GL_2(\mathbb{F}_q)\) 的所有不可约表示进行分类的第一门课程。具体来说，我们讨论群同态\(\rho:G\to GL(V)\) ，其中\(V\)是\(\mathbb{C}\) –向量空间。
首先，我们确定 \(G=GL_2(\mathbb{F}_q)\) 的基数。在此过程中，我们将介绍一些重要的子群。
\[G \supset B = \left\{\begin{pmatrix}a & b \\ 0 &d\end{pmatrix}:a,d \ne 0\right\} \supsetN= \left\{\begin{pmatrix }1 & b \\ 0 & 1\end{pmatrix}\right\}.\]
\(G\)的基数由类公式确定，考虑对 \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\) 的规范作用。
首先，请注意 \(|\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)|=q+1\)。 \(\mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q\) 中有 \ (q^2\) 个元素，不包括零，我们还有\(q^2-1\) 。由于\((r:s)=a(r:s)\)对于所有\(a \in \mathbb{F}_q^\ast\) ，我们将\(q^2-1\)除以 \(|\ mathbb{F}_q^\ast|=q-1\) 来获得射影空间的基数。
\(G\)对 \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\) 的作用规范地定义如下：
\[\begin{pmatrix}a & b \\c & d\end{pmatrix}(r:s)=(ar+bs:cr+ds).\]
特别是， \(B\)是集合\(\{(1:0)\}\)的各向同性群，因为在这种情况下，\((ar+bs:cr+ds)=(a:0)= (1:0)\)。 \(B\) 有\((q-1)(q-1)q\) 个元素。
由于\(G\)明显地作用于 \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\) 传递性，通过类方程，我们有
\[|G|=|B||\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)|=(q-1)^2q(q+1).\]
通常，\(GL_n(\mathbb{F}_q)\) 的基数是 \(\prod_{k=0}^{n-1}(q^nq^k)\)。可以查看这个文件。
我们接下来考虑对角子群
\[D=\left\{\begin{pmatrix}a & 0 \\ 0 & d\end{pmatrix}:a,d \ne 0\right\} = \mathbb{F}_q^\ast \times \ mathbb{F}_q^\ast.\]
令 \(\mathbb{F}’=\mathbb{F}_{q^2}\) 是\(\mathbb{F}_q\)度\(2\)的扩展。我们当然可以将 \(GL_2(\mathbb{F}_q)\) 识别为 \(\mathbb{F}_q\)-线性可逆自同构的群 \ (\mathbb{F}”\) 。每个\(h \in (\mathbb{F}’)^\ast\)通过乘法产生一个\(\mathbb{F}_q\) -线性自同构，因此 \(h\) 可以嵌入到 \(GL_2(\mathbb{F }_q)\)。问题是，如何让\(K = (\mathbb{F}’)^\ast\)成为这个子群。我们明确地写下矩阵表示。
令$$ 为循环群\(\mathbb{F}_q^\ast\) 的生成器，则\(X^2-\varepsilon\) 在\(\mathbb{F}_q[X]\ ）。因此我们有 \(\mathbb{F}_{q^2}\cong\mathbb{F}_q[X]/(X^2-\varepsilon)\)。我们看到 \(\{1,X\}\)，或者更准确地说，\(\{1,\sqrt\varepsilon\}\) 是\(\mathbb{F}_{q^2} \)作为\(\mathbb{F}_q\)上的向量空间。然后我们可以将\((\mathbb{F}’)^\ast\)识别为 \(G\) 的子群\(K\) ，其中
\[K=\left\{\begin{pmatrix}x & \varepsilon{y} \\ y & x\end{pmatrix}:\text{$x$ 和 $y$ 不等于零}\right\} \cong (\mathbb{F}’)^\ast.\]
同构由下式给出
\[\begin{pmatrix}x & \varepsilon{y} \\ y & x\end{pmatrix} \leftrightarrow \zeta = x+ y\sqrt\varepsilon.\]
要使\(K\)成为 \(G\) 的子群，每个条目必须在 \(\mathbb{F}_q\) 中。这就是我们在\(K\)的定义中写 \(\varepsilon\) 而不是 \(\sqrt\varepsilon\) 的原因。
共轭类
在本节的末尾可以看到一个结果表。
对于矩阵，共轭会产生特征值和 Jordan 规范形式。于是我们立刻想出了以下三种形式：
\[a_x = \begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}, \quadb_x = \begin{pmatrix}x & 1 \\ 0 & x \end{pmatrix}, \quadc_{x, y} = \begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix} (x \ne y).\]
对于每一个\(x\)和\(y\)，\(a_x\)、\(b_x\)和\(c_{x,y}\)分别代表三个不同的共轭类，它们不相交。我们将研究这三个共轭类家族，看看我们能走多远。剧透：我们将错过 \(\frac{q(q-1)}{2}\) 共轭类，它们将在子组 \(K \)。
\(a_x\) 表示的共轭类是最简单的。由于标量矩阵与任何矩阵对易，对于任何可逆矩阵 \(A\)，我们有
\[A^{-1}\begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & x\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & x\end{pmatrix}A^{- 1}A=\begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & x\end{pmatrix}.\]
因此， \(a_x\)表示的共轭类中只有一个元素。遍历所有\(x \ne 0\) ，我们得到 \(q-1\) 这样的类。
对于像 \(b_x\) 这样的 Jordan 规范形式，情况就不同了。遍历所有\(x \ne 0\) ，我们再次获得\(q-1\)这样的类。但是，要确定每个类的基数，仅在矩阵范围内工作是不现实的。
令\(\mathcal{C}=(b_x)\)为共轭类。让\(G\ ) 通过共轭作用于 \(\mathcal{C}\)。动作是传递性的：对于\(A,B \in\mathcal{C}\) ，有可逆矩阵 \(U\) 和 \(V\) 使得 \(U^{-1}AU=b_x=V ^{-1}BV\)，因此\(A=(VU^{-1})^{-1}B(VU^{-1})\) 。
为了确定 \(\mathcal{C}\) 的基数，我们再次使用类公式。假设\(A=(a_{ij})\)修正\(b_x\) ，即 \(A^{-1}b_xA=b_x\)，或 \(b_xA=Ab_x\)，则
\[Ab_x=\begin{pmatrix}a_{11}x & a_{11}+a_{12}x \\a_{21}x & a_{21}+a_{22}x\end{pmatrix}=\开始{pmatrix}a_{21}+a_{11}x & a_{22}+a_{12}x \\a_{21}x & a_{22}x\end{pmatrix} = b_x A.\]
上面的等式意味着 \(c=0\) 和 \(a=d\)。因此\(\{b_x\}\)的各向同性群是
\[J=\left\{\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}:a \ne0\right\}。\]
因此 \(|\mathcal{C}|=|G|/|J|=(q^2-q)(q^2-1)/(q^2-q)=q^2-1\ ）。
令\(\mathcal{D}=(c_{x,y})\)为共轭类。用\(y \ne x\)遍历所有\(x,y \ne0\ ) ，然后除以\(2\) ，我们得到 \(\frac{(q-1)(q-2)}{ 2}\) 共轭类与\(\mathcal{D}\)形式相同。我们将它除以\(2\)因为 \(c_{x,y}\) 与 \(c_{y,x}\) 共轭，因为它们共享相同的特征值。
我们以与 \(\mathcal{C}\) 相同的方式确定 \(\mathcal{D}\) 的基数。 \(\{c_{x,y}\}\) 的各向同性群是引言中的\(D\)。因此\(|\mathcal{D}|=|G|/|D|=q^2+q\)。
现在让我们计算一下我们获得了多少个共轭类：
\[1(q-1)+(q^2-1)(q-1)+(q^2+q)\frac{(q-1)(q-2)}{2}=\frac{ 1}{2}(q^4-3q^2+2q).\]
我们仍然需要找到 \(\frac{q^2(q-1)^2}{2}\) 元素。看看我们在引言中推导出的子群。像\(B\)、 \(N\)和\(D\)这样的子群都立即归结为Jordancanonical 形式，但\(K\)并非如此。考虑
\[d_{x,y}=\begin{pmatrix} x & \varepsilon{y} \\ y & x\end{pmatrix}, \quad y \ne 0.\]
那么\(d_{x,y}\)的特征值是\(x\pm \sqrt\varepsilon y\) ，其中不存在\(\mathbb{F}_q\) 。因此它与乔丹规范形式。我们将在这里探索 \(G\) 的其余共轭类。
遍历所有\(x\)和 \(y \ne 0\)，然后除以 \(2\)，我们得到 \(\frac{q(q-1)}{2}\) 共轭类。我们将它除以\(2\)因为 \(d_{x,y}\) 和 \(d_{x,-y}\) 可以通过任何共轭
\[\begin{pmatrix}a & -\varepsilon{c} \\c & -a\end{pmatrix}.\]
现在让\(\mathcal{E}=(d_{x,y})\)成为共轭类。注意\(d_{x,y}\)的各向同性群是\(K\)，所以我们可以得到基数\(|\mathcal{E}|=|G|/|K|=(q-1 )^2q(q+1)/(q^2-1)=q^2-q\)。现在我们的搜索完成了。
| 代表 | 类中的元素数 | 班级数 |
|---|---|---|
| \(a_x=\begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 &x\end{pmatrix}\) | \(1\) | \(q-1\) |
| \(b_x =\begin{pmatrix}x & 1 \\ 0 & x \end{pmatrix}\) | \(q^2-1\) | \(q-1\) |
| \(c_{x,y} =\begin{pmatrix}x & 0 \\ 0 & y \end{pmatrix} (x \ney)\) | \(q^2+q\) | \(\frac{(q-1)(q-2)}{2}\) |
| \(d_{x,y}=\begin{pmatrix} x & \varepsilon{y} \\y & x \end{pmatrix}, y \ne 0\) | \(q^2-q\) | \(\frac{q(q-1)}{2}\) |
这些矩阵不会经常出现在帖子的其余部分，因为它会弄乱格式。
不可约表示
有\(q-1+q-1+\frac{(q-1)(q-2)+q(q-1)}{2}=q^2-1\)共轭类，所以我们需要找到 \(q^2-1\) 不可约表示。当然，我们不能一一列举。相反，我们将根据某些推理对它们进行分类。可以在下一节中找到字符表。
省略了一些计算，因为如果没有，本节将无法阅读。但是，这篇文章的作者已经在纸上检查了其中的大部分内容。读者应该会发现自己很容易计算。对于已完成的计算，请参阅此注释。请注意，分类与此处略有不同。首先阅读本文可能会帮助您掌握它的窍门。
尝试 1 – 排列的子表示
回想一下我们如何找到 \(\mathfrak{S}_3\) 的不可约表示：考虑在维数 \(3\) 的向量空间中的 abasis 置换。我们在这里做类似的事情。让 \(G\) 通过置换作用于 \(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\)。这导致了\(q+1\)维表示\(W\) ，因为\(\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)\)具有\(q+1\) 个元素。它包含平凡的表示\(U\) 。令 \(V\) 为 \(U\) 的补码，即\(W=U\oplus V\) ，则\(V\)有维数\(q\) 。现在我们确定\(V\)的字符。由于\(\chi_V=\chi_W-\chi_U=\chi_W-1\)，我们只需要计算\(\chi_W\) ，即在每个共轭类上看置换的不动点。
-
\(\chi_W(a_x)=q+1\) 。它修复了每一点。
-
\(\chi_W(b_x)=1\) 。它只修复了一点： \((1:0)\) 。
-
\(\chi_W(c_{x,y})=2\) 。它修正了两个点： \((1:0)\)和 \((0:1)\)。
-
\(\chi_W(d_{x,y})=0\) 。如果 \(d_{x,y}\) 修正了 \((a:b)\)，则 \(a^2=\varepsilon b^2\)，这不会发生。
因此我们有
| \（斧头\） | \(b_x\) | \(c_{x,y}\) | \(d_{x,y}\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(\chi_V\) | \(q\) | \(0\) | \(1\) | \(-1\) |
我们看到， \((\chi_V,\chi_V)=1\) 。因此\(V\)是不可约的，我们不能进一步分解\(W\) 。我们必须找到不同的方法。
尝试 2 – Pontryagin Dual
群\(H\)的 Pontryagin 对偶定义为
\[\hat{H}=\operatorname{Hom}(H,S^1).\]
如果\(H\)承认拓扑，我们可能想要消除非连续同态，但这不是我们关心的，因为我们现在只关心有限群，它承认离散拓扑。请注意，如果\(H\)是有限且循环的，则\(\hat{H} \congH\) 。我们现在将使用这个事实。
由于\(G\)可能非常大，因此研究表示的所有特征值是不现实的。相反，我们考虑 \(\mathbb{F}_q^\ast\) 的 Pontryagin 对偶，它又是一个有限循环群。对于 \(\hat{H}\), \(\alpha:\mathbb{F}_q^\ast \to S^1\) 中的每个 \(q-1\) 元素，我们有一个一维\(G\) 的表示 \(U_\alpha\) 定义为
\[\chi_{U_\alpha}(g)=\alpha(\det(g)), \quad g \in G.\]
请注意，琐碎的表示是 \(U_\alpha\) 之一，一旦人们意识到 \(\alpha\) 由 \(\alpha(x)=1\) 定义，对于所有 \(x \in \mathbb{F }_q^\ast\) 也是\(S^1\)的同态。
用 \(V\) 张张\(U_\alpha\ )，我们得到另一个不可约表示族\(\{V_\alpha = V\otimes U_\alpha\}\) 。注意\(V\)是\(V_\alpha\)之一。它们的字符表很容易计算。
| \（斧头\） | \(b_x\) | \(c_{x,y}\) | \(d_{x,y}\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(U_\阿尔法\) | \(\alpha(x)^2\) | \(\alpha(x)^2\) | \(\alpha(x)\alpha(y)\) | \(\alpha(x^2-\varepsilon y^2)\) |
| \(V_\alpha\) | \(q\alpha(x)^2\) | \(0\) | \(\alpha(x)\alpha(y)\) | \(-\alpha(x^2-\varepsilon y^2)\) |
尝试 3 -Pontryagin Dual x Pontryagin Dual
我们已经成功地确定了 \(2(q-1)\) 的不可约表示，其中仍有\((q-1)^2\)有待找到。我们现在利用我们已经确定的那些子组。对于每个 \(\alpha,\beta \in\widehat{\mathbb{F}_q^\ast}\)，我们有一个新的 arepresentation 字符：
\[\begin{aligned}\gamma_{\alpha,\beta}:B \to B/N \cong D \cong \mathbb{F}^\ast \times\mathbb{F}^\ast&\xrightarrow{( \alpha,\beta)}\mathbb{C}^\ast \times \mathbb{C}^\ast\xrightarrow{\times}\mathbb{C}^\ast\\\begin{pmatrix}a & b \ \ 0 & d\end{pmatrix}&\mapsto \alpha(a)\beta(b)\end{aligned}\]
令\(W’_{\alpha,\beta}\ ) 用字符\(\gamma_{\alpha,\beta}\)表示\(B\ ) ，并让\(W_{\alpha,\beta }=\operatorname{Ind}_B^GW_{\alpha,\beta}’\) 。我们可以很容易（不，有很多脏计算）写下 \(W_{\alpha,\beta}\) 的字符表。
| \（斧头\） | \(b_x\) | \(c_x\) | \(d_x\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(W_{\alpha,\beta}\) | \((a+1)\alpha(x)\beta(x)\) | \(\alpha(x)\beta(x)\) | \(\alpha(x)\beta(y)+\alpha(y)\beta(x)\) | \(0\) |
如果\(\alpha=\beta\) ，则 \(W_{\alpha,\beta}=U_\alpha \oplus V_\beta\) 所以不是不可约的。然而，如果\(\alpha \ne\beta\) ，那么\(W_{\alpha,\beta} \congW_{\beta,\alpha}\)是不可约的，如果计算 \((\chi,\chi )\)。 \(W_{\alpha,\beta}\)的维数为\([G:B]=q+1\)，有\(\frac{1}{2}(q-1)(q -2)\) 其中。仍然有\(\frac{1}{2}q(q-1)\)不可约表示被发现。
尝试 4 – Pontryagin Dual ofK
我们还没有使用过这个子群，所以我们首先在尝试 3 中探索它。我们考虑 \(\mathbb{F}’ \cong K\) 的对偶。每个 \(\varphi:(\mathbb{F}’)^\ast \to\mathbb{C}^\ast\) 也用字符 \(\varphi\) 确定 \(K\) 上的表示。马上想到\(\operatorname{Ind}_K^G(\varphi)\) ，我们只需写成 \(\operatorname{Ind}(\varphi)\)。到目前为止，很容易计算字符表。
| \（斧头\） | \(b_x\) | \(c_{x,y}\) | \(d_{x,y}\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(\运营商名称{Ind}(\varphi)\) | \(q(q-1)\varphi(x)\) | \(0\) | \(0\) | \(\varphi(\zeta)+\varphi(\zeta)^q\) |
我们把\(\zeta=x+y\sqrt\varepsilon \in K =(\mathbb{F}’)^\ast\) 。由于 \(\operatorname{Ind}(\varphi) \cong\operatorname{Ind}(\varphi^q)\)，我们得到 \(\frac{1}{2}q(q-1)\) 表示ofthis，限制为\(\varphi^q\ne \varphi\) 。然而，我们有 \((\chi,\chi)=q\) if \(\varphi^q=\varphi\), \((\chi,\chi)=q-1\) if \(\varphi ^q \ne \varphi\)。我们仍然需要从不同的方向努力。
尝试 5 – 充分利用它们
让我们尝试张量我们发现的内容。容易看出 \(V_\alpha \otimes U_\gamma =V_{\alpha\gamma}\) 和 \(W_{\alpha,\beta} \otimesU_{\gamma}=W_{\alpha\gamma ,\beta\gamma}\)。所以我们在这里找不到任何新东西。但是张量 \(W_{\alpha,\beta}\) 和 \(V_\alpha\) 给了我们一些完全不同的东西。我们看到\(\alpha \ne1\) ，
| \（斧头\） | \(b_x\) | \(c_{x,y}\) | \(d_{x,y}\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(V \otimesW_{\alpha,1}\) | \(q(q+1)\alpha(x)\) | \(0\) | \(\alpha(x)+\alpha(y)\) | \(0\) |
令\(\varphi \in\widehat{(\mathbb{F}’)^\ast}\)是一个同态使得 \(\varphi|_{\mathbb{F}_{q}^\ast}= \alpha\).计算内积给了我们
\[\begin{对齐}(\chi_{V \otimes W_{\alpha,1}},\chi_{W_{\alpha,1}})&=2, \\(\chi_{V \otimes W_{ \alpha,1}},\chi_{V \otimes W_{\alpha,1}})&=q+3,\\(\chi_{\operatorname{Ind}(\varphi)},\chi_{W_{ \alpha,1}}) &= 1, \\(\chi_{\operatorname{Ind}(\varphi)},\chi_{V \otimes W_{\alpha,1}})&= q.\end{对齐}\]
我们看到\(W_{\alpha,1}\)包含在由 \(\operatorname{Ind}(\varphi)\) 确定的表示中。我们还看到\(W_{\alpha,1}\)包含在 \(V \otimes W_{\alpha,1}\) 中。此外，\(\operatorname{Ind}(\varphi)\) 和\(V \otimes W_{\alpha,1}\) 有很多共同的子表示。第一个猜测是 \(\operatorname{Ind}(\varphi)\) 是\(V \otimesW_{\alpha,1}\)的子表示。所以，也许我们可以在这里找到我们一直缺少的东西。因此，考虑虚拟角色
\[\chi_\varphi=\chi_{V \otimesW_{\alpha,1}}-\chi_{W_{\alpha,1}}-\chi_{\operatorname{Ind}(\varphi)}.\]
我们可以计算出 \((\chi_\varphi,\chi_\varphi)=1\)。为了看到这实际上是一个真实的字符，我们计算了字符表。
| \（斧头\） | \(b_x\) | \(c_{x,y}\) | \(d_{x,y}\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(\chi_\varphi\) | \((q-1)\alpha(x)\) | \(-\alpha(x)\) | \(0\) | \(\varphi(\zeta)+\varphi(\zeta)^q\) |
由此可知\(\chi_\varphi(1)=q-1>0\)。因此 \(\chi_\varphi\) 是不可约的。由于每个\(\chi_\varphi\)由 \(\varphi\) 和 \(\varphi^q \ne \varphi\) 确定，并且有\(\frac{1}{2}q(q- 1)\)这样的\(\varphi\)，我们实际上已经确定了所有的不可约字符。它们用 \(X_\varphi\) 表示。
字符表
| \(GL_2(\mathbb{F}_q)\) | \（斧头\） | \(b_x\) | \(c_{x,y}\) | \(d_{x,y}\leftrightarrow\zeta\) | \（\暗淡\） |
|---|---|---|---|---|---|
| \(U_\阿尔法\) | \(\alpha(x^2)\) | \(\alpha(x^2)\) | \(\alpha(xy)\) | \(\alpha(\zeta^q)\) | \(1\) |
| \(V_\alpha\) | \(q\alpha(x^2)\) | \(0\) | \(\alpha(xy)\) | \(-\alpha(\zeta^q)\) | \(q\) |
| \(W_{\alpha,\beta}\) | \((q+1)\alpha(x)\beta(x)\) | \(\alpha(x)\beta(x)\) | \(\alpha(x)\beta(y)+\alpha(y)\beta(x)\) | \(0\) | \(q+1\) |
| \(X_\varphi\) | \((q-1)\varphi(x)\) | \(-\varphi(x)\) | \(0\) | \(-(\varphi(\zeta)+\varphi(\zeta^q))\) | \(q-1\) |
一些评论是有序的。我们可以通过以下方式调用这四类不可约表示（摘自本文档）：
-
\(U_\alpha\) ：\(1\) 维表示。其中有\(q-1\)个。
-
\(V_\alpha=V \otimes U_\alpha\) : \(q\)维表示。这里\(V\)也称为 Steinbergrepresentation。其中有\(q-1\) 个。
-
\(W_{\alpha,\beta}\) : (\(q+1\)) 维不可约原则系列。其中有 \(\frac{1}{2}(q-1)(q-2)\)。一些作者也可能将 \(q\) 维表示视为原理级数。
-
\(X_\varphi\) ：不可约的尖瓣表示或互补序列表示。其中有\(\frac{1}{2}q(q-1)\) 。如果 Jacquet 模块微不足道，则表示是尖顶的。