介绍
设 $G$ 为局部紧阿贝尔群（例如，$\mathbb{R}$、$\mathbb{Z}$、$\mathbb{T}$、$\mathbb{Q}_p$）。那么每个不可约酉表示$\pi:G \to U(\mathcal{H}_\pi)$ 都是一维的，其中 $\mathcal{H}_\pi$ 是一个非零希尔伯特空间，在这种情况下我们把它当作 $\mathbb{C}$。它遵循 $\pi(x)(z)=\xi(x)z$ 对于所有 $z \in \mathbb{C}$ 其中 $\xi \in \operatorname{Hom}(G,\mathbb{T })$，将 $\mathbb{T}$ 视为复平面中的单位圆。这样的同态称为（酉）字符，我们用 $\widehat{G}$ 表示 $G$ 的所有字符，称之为 Pontryagin 对偶群。它应该为有限群中的表示论敲响警钟。为了方便，我们经常写 $\langle x,\xi \rangle$ 而不是 $\xi(x)$。我们也写成$\langle x,\xi\rangle\langle y,\xi \rangle=\langle x+y ,\xi\rangle$，下面的例子会提醒读者原因。
一些易于访问的示例是：
- $\widehat{\mathbb{R}} \cong \mathbb{R}$，$\langle x,\xi \rangle = e^{2\pi i \xi x}$。
- $\widehat{\mathbb{T}} \cong \mathbb{Z}$，$\langle z, n \rangle = z^n$。
- $\widehat{Z} \cong \mathbb{T}$，$\langle n,z \rangle = z^n$。
- $\widehat{\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}} \cong \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$, $\langle m,n\rangle =e^{2\pi imn /k}$。
p 进域的对偶
但我们想表明
它分为几个步骤。但应该清楚 $\mathbb{Q}_p$ 是一个关于加法的拓扑群。
第 1 步 – 找到最简单的字符
每个 $p$-进数 $x \in \mathbb{Q}_p$ 都可以写成下面的形式
其中 $m \in \mathbb{Z}$, $x_j \in \{1,2,\dots,p-1\}$ 对于所有 $j$。我们立即定义
并声称 $\xi_1$ 是一个字符。请注意，右侧始终是明确定义的，因为 $j \ge 0$ 时的所有加数都没有任何贡献，因为 $\exp(2\pi i x_jp^j)=1$。也就是说，右边可以理解为有限积：当$m \ge 0$，即$x \in \mathbb{Z}_p$时，对$\langle x, \xi \rangle = 1美元；但是，当 $m<0$ 时，$\langle x,\xi_1 \rangle = \exp\left( 2\pi i \sum_{j=m}^{-1}x_jp^j\right)$。因此写是合法的
由此可知，
函数 $\xi_1$ 是连续的，因为它在 $\mathbb{Z}_p$ 上是连续的，是常量。因此可以肯定地说 $\xi_1$ 是一个内核为 $\mathbb{Z}_p$ 的字符。
一个快速的想法是，从 $\xi_1$ 生成所有字符，例如 $\xi_p$、$\xi_{1+p+p^2+\dots}$。但这可能会导致下标的噩梦。相反，我们试图发现尽可能多的东西。对于任何 $y \in \mathbb{Q}_p$，我们定义
换句话说，$\xi_y$ 由 $x \mapsto \langle xy,\xi_1\rangle$ 定义。由于乘法是连续的，我们可以立即看出 $\xi_y$ 是一个字符，并不比 $\xi_1$ 复杂多少。我们将证明这就是我们所需要的。为此，我们需要表征所有字符。字符具有相同的图像，但它们的内核不同。这就是我们解决问题的地方。
第 2 步 – 研究字符的内核
对于上面的$\xi_y$，注意$\langle x,\xi_y\rangle=1$当且仅当$xy \in \ker\xi_1=\mathbb{Z}_p$，即$|xy|_p \le 1 美元。所以
我们期望所有字符的形式都是 $\xi_y$。因此，它们的内核自然应该像 $\ker\xi_y$。请注意，对于固定的 $y$，对于某些 $m \in \mathbb{Z}$，我们有 $|y|_p=p^m$。结果 $\ker\xi_y = \overline{B}(0,p^{-m})$。出于这个原因，我们有以下（更晦涩的）论点
引理 1.如果 $\xi \in \widehat{\mathbb{Q}}_p$，存在一个整数 $k$ 使得 $\overline{B}(0,p^{-k}) \subset \ker \xi$。
证明。由于 $\xi$ 是连续的，$\langle 0,\xi\rangle=1$ 在圆上，存在 $k$ 使得 $\overline{B}(0,p^{-k}) \subset \ xi^{-1}\{z \in \mathbb{T}:|z-1| < 1\}$（这就是说右边是一个开集）。但是 $\overline{B}(0,p^{-k})$ 是一个群（因为 $|\cdot|_p$ 是非阿基米德群），因此它映射到 $\mathbb{T}$ 的一个子群, 只能是 $\{1\}$。 $\平方$
我们还不能说 $\xi$ 的内核完全是 $\overline{B}(0,p^{-k})$ 的形式，但我们现在有办法将它们形式化。如果 $\overline{B}(0,p^{-k}) \subset \ker\xi$ 对于所有 $k$，则 $\xi=1$ 是 $\widehat{\mathbb{Q} 中的单位}_p$。否则，对于每个 $\xi$，都有一个最小的 $k_0$ 使得 $\overline{B}(0,p^{-k_0})\subset \ker\xi$ 但 $\overline{B}(0 ,p^{-k}) \not \subset \ker\xi$ 只要 $k<k_0$。换句话说，我们有 $\langle p^{k_0-1},\xi\rangle \ne1$ 但只要 $k \ge k_0$ 就有 $\langle p^k,\xi\rangle=1$。正如人们可能猜到的那样，这样的 $k_0$ 受制于 $\xi$ 的“大小”。为了方便起见，我们首先研究 $k_0=0$ 的情况。
引理 2（“傅里叶级数”）。假设给定 $\xi \in \widehat{\mathbb{Q}}_p$, $\langle 1,\xi \rangle = 1$ 但 $\langle p^{-1},\xi \rangle \ne 1 $。有一个序列 $(c_j)$ 在 $\{0,1,\dots,p-1\}$ 中取值使得 $\langle p^{-k},\xi \rangle=\exp\left( 2\pi i\sum_1^k c_{kj}p^{-j}\right)$ 对于所有 $k=1,2,\dots$。特别是 $c_0 \ne 0$。
证明。设 $\omega_k=\langle p^{-k},\xi\rangle$。然后 $\omega_0=1$ 但 $\omega_k \ne 1$ 对所有 $k \ge 1$。自从
每个 $\omega_{k+1}$ 都是 $\omega_{k}$ 的第 $p$ 个根，特别是 $\omega_1$ 是第 $p$ 个单位根。存在 $c_0 \in \{1,\dots,p-1\}$ 这样
$\omega_k$ 的整体公式遵循归纳法。 $\平方$
人们会猜测，对于相应的 $k_0$，$\xi$ 的“大小”应该是 $p^{k_0}$。这看起来很现实，但会很乏味。目前我们还是只研究$k_0=0$的情况。
引理 3.符号在引理 2 中，存在 $y \in \mathbb{Q}_p$ 且 $|y|_p=1$ 使得 $\xi = \xi_y$。
证明。从引理 2 我们得到一个序列 $y=\sum_{j=0}^{\infty}c_jp^j$ with $c_0 \ne 0$。然后特别是 $|y|_p=1$。通过扩展术语，我们看到
它遵循 $\langle x,\xi \rangle = \langle x,\xi_y \rangle$ 对于所有 $x \in \mathbb{Q}_p$。 $\平方$
现在我们准备结束对偶群的观察。
第 3 步 – 实现对偶组
定理。映射 $\Lambda:y \mapsto \xi_y$ 是拓扑群的同构。因此 $\mathbb{Q}_p \cong \widehat{\mathbb{Q}}_p$。
证明。首先我们研究代数同构。首先如果$\xi_y=1$，那么
因此映射 $\Lambda$ 是单射的。为了证明 $\Lambda$ 是满射，修正 $\xi \in \widehat{\mathbb{Q}}_p$。根据引理 1 下面的注释，存在最小整数 $k$ 使得 $\langle p^j,\xi \rangle = 1$。然后考虑由定义的字符 $\eta$
它满足引理 3 中的条件，因此存在 $z \in \mathbb{Q}_p$ 使得 $\eta=\xi_z$，并且它遵循 $\xi=\xi_{p^{-k}z }$。
接下来我们证明 $\Lambda$ 是同胚。观察以下集合
范围超过 $\ell \ge 1$ 和 $k \in \mathbb{Z}$。这些集合构成 $\widehat{\mathbb{Q}}_p$ 在 $1$ 处的局部基数。我们需要证明它对应于映射 $\Lambda$ 下的 $\mathbb{Q}_p$ 的局部基：
集合$\{x:|x|_p \le p^k\}$在$\xi_1$下的像是$\{1\}$如果$k \le 1$是$p^的群如果 $k>0$，则第 k$ 个单位根，因此包含在 $\{z:|z-1|<\ell^{-1}\}$ 当且仅当 $k \le 0$ .它遵循 $\xi_y \in N(\ell,k)$ 当且仅当 $|y|_p \le p^{-k}$，即 $y \in \overline{B}(0,p ^{-k})$。我们完了。 $\平方$