介绍
设 $p$ 为质数。则 $p$-进数 $\mathbb{Q}_p$ 的空间是局部紧阿贝尔群。这个可以通过局部观察
其中 $|\cdot|_p$ 是 $p$-adic 范数，这样，每当我们写 $r=p^mq$ 使得 $q$ 是 $p$ 的质数时，我们就有 $|r|_p=p ^{-m}$。
我们提醒读者，每个局部紧阿贝尔群 $G$ 都承认 Haar 测度，它在标量乘法（证明）之前是唯一的。在这篇文章中，我们尝试在 $\mathbb{Q}_p$ 上找到 Haar 测度，这使得对其进行调和分析成为可能。出于这个原因，在以后的帖子中，我们还会找到 $\mathbb{Q}_p$ 的对偶组以及对偶测度。
哈尔测度
让我们先回顾一下 $\mathbb{Q}_p$ 的基本结构。每个元素都是洛朗级数的形式
其中 $m \in \mathbb{Z}$ 和 $c_j \in \{0,\dots,p-1\}$。整数环 $\mathbb{Z}_p$ 恰好是原点处半径为 $1$ 的闭圆盘。也就是说，$\mathbb{Z}_p=\overline{B}(0,1)$ 是一个紧集。设 $\mu$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 上的任意 Haar 测度。那么 $\mu(\mathbb{Z}_p)$ 是非零且有限的。因此我们可以把
然后特别是 $m_p(\mathbb{Z}_p)=1$。这是我们正在寻找的规范 Haar 度量。但是在这里结束帖子会很有趣。我们将仔细研究它，至少在 $p$-adic 级别上。
回想一下，在研究 $\mathbb{R}$ 上的勒贝格测度时，我们遇到过一些形式为的定义
其中下确界接管开区间 $\{I_j\}$ 的所有可数集合，使得 $\bigcup_j I_j \supset E$，并且 $\ell(I_j)$ 是 $I_j$ 的长度。其实我们其实可以这样写
在 $\mathbb{Q}_p$ 上，我们写
这里的重点是如何表达$V$。为此，我们需要回顾 $\mathbb{Q}_p$ 的一些拓扑结构。
一些 p-adic 拓扑
$\mathbb{Q}_p$ 是一个可分离的度量空间。因此，每个开集 $V$ 都是开球的并集。
这个声明没有什么特别之处。空间已经配备了规范。此外，由于 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{Q}_p$ 中是稠密的，我们无需担心二次可数性。
$\mathbb{Q}_p$ 的每个封闭球都是开放的（因此我们以后称它们为“球”）。球中的每一点都是一个“中心”。如果两个球相交，则一个包含在另一个中。
这与我们对 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 的理解截然不同。请注意，$p$-adic 范数 $|\cdot|_p$ 仅采用 $p^k$ 和 $k \in \mathbb{Z}$ 或 $0$ 的值。对于任何 $r>0$，存在一些 $\varepsilon>0$ 这样
$\mathbb{Q}_p$ 中球的开度如下。
接下来，回想一下 $|\cdot|_p$ 是非阿基米德的。考虑 $y \in \overline{B}(x,r)$。它遵循 $|xy|_p=|yx|_p \le r$。另一方面，对于任何 $z \in \overline{B}(x,r)$，我们有 $|xz|_p \le r$。因此 $|yz|_p \le r$。因此 $\overline{B}(x,r)\subset \overline{B}(y,r)$。对称地，我们看到 $\overline{B}(y,r)\subset\overline{B}(x,r)$。因此他们是平等的。
设 $\overline{B}(x,r)$ 和 $\overline{B}(x’,r’)$ 是相交的两个球，不失一般性，我们假设 $r \le r’$。设 $y$ 为交点中的一个点，则我们看到
到目前为止，一切都很好。接下来我们尝试计算每个球的 Haar 度量。
球的测量
每个半径为 $p^k$ 的球都有 $p^k$（$k \in \mathbb{Z}$）。
首先注意 $\overline{B}(0,1)=\mathbb{Z}_p$，我们定义 $m_p$ 使得 $m_p(\mathbb{Z}_p)=1$。因此，$\overline{B}(x,1)$ 形式的每个球的测度为 $1$。接下来，注意 $\overline{B}(0,p^k)=p^{-k}\mathbb{Z}_p$ 对于所有 $k \in \mathbb{Z}$，需要展开 $ \mathbb{Z}_p$ 多一点。
我们有
因此，当 $k>0$ 时，$\mathbb{Z}_p$ 是半径为 $p^{-k}$ 的 $p^k$ 球的不相交并集。因此在这种情况下，
正如预期的那样。换句话说，对于 $k<0$，球 $\overline{B}(0,p^k)$ 的测量值为 $p^k$。
对于对方，我们注意到
也就是说 $\overline{B}(0,p^k)=p^{-k}\mathbb{Z}_p$ 是半径为 $1$ 的 $p^k$ 球的不相交并集。因此它的度量是 $p^k$。我们对 $\mathbb{Q}_p$ 中的球的计算到此结束。
回到剩下的问题
现在我们回到 $m_p$ 的定义。现在每个开集 $V$ 都可以写成下面的形式
联合是可数的，因为 $\mathbb{Q}_p$ 是第二可数的。通过组合相交的球，我们可以假设并集也是不相交的。它遵循
注意：这应该从实数级的意义上理解，而不是 $p$ 进数，因为 $m_p$ 取 $\mathbb{R}$ 中的值。所以对于任意可测集，我们有