如果我们让蒙娜丽莎更加对称会怎样？

玛格丽特·沃尔夫·亨格福德 (Margaret Wolfe Hungerford) 在她的小说《莫莉·鲍恩》( Molly Bawn , 1878) 中写道：“情人眼中有美” ；威廉·莎士比亚在《爱情的迷途》中也作了类似的陈述（“美是靠眼睛的判断买来的”）；这种情绪甚至被归因于柏拉图。

然而，几个世纪以来，人们一直在努力寻找客观的方法来描述这种无法言喻的美（更广泛地说，美学）的品质。某些形状或形式是否比其他形状或形式更具吸引力？是否可以根据遵守某些普遍规范来规范甚至预测视觉吸引力？是否有美丽的公式、标准或衡量它的方法？

这些问题在我们的数字时代变得更加重要，因为它要求在数字尺度上对所有事物进行评级。对评估美貌的数学方法的探索出现在各种不同的环境中，例如人工智能网站根据上传的面部照片给出吸引力分数，以及旨在为整形手术提供指南的医学研究。

文艺复兴时期出现了一些用数学术语来构建美和美学的最早尝试。例如，安德里亚·帕拉迪奥 (Andrea Palladio) 受到公元前 1 世纪维特鲁威 (Vitruvius) 提出的想法的启发，提出了至今仍存留的建筑的详细量化建议。黄金比例是这一时期流行的最经久不衰的比喻之一，这个数字大约等于古希腊人已知的 1.618，并在欧几里得公元前 300 年的巨著《几何原本》中进行了讨论。研究艺术和神学的意大利数学家卢卡·帕西奥利 (Luca Pacioli) 出版了他的三卷本《 Divina proportione 》（1509 年）一书，即他对黄金比例的称呼，即“神圣比例”，从而推动了这种普及。

帕乔利对这个比例赞不绝口，用“基本”、“美妙”和“至高无上”等语言来描述它的效果，并特别吹捧黄金矩形的和谐，它是通过创建一个边长符合比例的矩形而形成的1:1.618。他的朋友、伟大的列奥纳多·达·芬奇 (Leonardo da Vinci ) 也向帕乔利 (Pacioli) 学习数学，他为他的书贡献了60 幅图画，这可能不会影响他传达的信息。

对称性表明健康，因此适合成为生育伴侣；没有缺陷的面部部位或缺失的四肢

达芬奇是否像一些学者试图建立的那样，对黄金比例着迷到足以将其纳入自己的作品中，这是一个有争议的问题。不可否认的是，这个比例已经获得了一种神秘的品质，就像 Pacioli 所宣传的那样，作为一个特别令人赏心悦目的比例。已经进行了研究（其中大部分没有定论）来测试黄金矩形是否是最受受试者青睐的矩形，以及被认为有吸引力的面孔是否具有更接近黄金比例的比例。蒙娜丽莎经常出现在互联网上，从黄金矩形中窥视，以强调她的美丽源于比例的流行观念。

许多历史人物（包括柏拉图、亚里士多德和维特鲁威）提出的另一种数学品质是美的主要贡献者：对称性。就人脸（和身体）而言，发现对称具有吸引力的原因可以根据进化原因来解释——对称表明健康，因此适合成为生育伴侣；没有缺陷的面部部位或缺失的四肢。这一生物学标准仅适用于双侧对称：即左右两侧互为镜像。但出于审美原因，设计通常可以包含额外的对称性——例如，通过使它们在多个轴上形成镜像，而不仅仅是一个轴。例如，在波斯和莫卧儿 Charbagh 花园、伊斯兰艺术、艺术家MC Escher 的图案以​​及更常见的多边形中都可以找到这种对称性。矩形跨两个轴镜像对称，正方形跨四个轴。正如我们将要看到的，正八边形有八个对称轴。法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦 (Évariste Galois) 在 1832 年死于枪战的前一天晚上将所有定理写在纸上，他通常被认为是群论的创始人，群论是数学的一个分支，它提供了一种精确描述物体特性的方法对称。

增加物体的对称性会增强其审美吸引力吗？哈佛数学家乔治·大卫·伯克霍夫 (George David Birkhoff) 于 1933 年提出了两者之间的正式联系，他开发了一个数学公式，其中对象的“美学度量” M等于其“阶数” O除以其“复杂性” C。正如伯克霍夫自己承认的那样，给这些术语下定义，更不用说赋予它们数值，充满了困难。从那以后的几年里，有几项相互矛盾的研究通过实验检验伯克霍夫的论文，或提出他的推测公式的替代方案（例如， M = O × C而不是M = O ÷ C ）。然而，从所有这些相互矛盾的工作中得出了两个广泛的共识点：首先，随着阶数的增加，审美尺度也会增加；其次，对于具有更多对称性的物体，该阶数更大。换句话说，使物体更对称应该使它更漂亮。

她看起来有点精神错乱，头骨尖尖，鼻子像热拉尔·德帕迪约 (Gérard Depardieu)

我们将用蒙娜丽莎来测试这一点，正如许多人所断言的那样，蒙娜丽莎非常符合美丽的黄金比例标准。然而，就基于对称性的替代标准而言，她有点笨拙，甚至未能通过双边对称性测试。因此，让我们通过使她更对称来对她进行数学改造，看看她是否在这个过程中变得更漂亮。

首先复制右边脸的左半部分（你需要稍微拉伸一下才能恢复到原来的大小）。不幸的是，这效果不太好——它让她看起来有点精神错乱，头骨尖尖，鼻子像热拉尔·德帕迪约 (Gérard Depardieu)。然而，让我们坚持下去——通过剪切和粘贴并进一步调整大小，使她更加对称。像这样：

您可能会指出，这更丑陋，而不是更美丽。但是你可以听到数学家们的欢呼声，因为莫娜现在在水平轴和垂直轴上都是对称的——就像矩形一样！因此，让我们继续——将 Mona 切成四等分，并将顶部楔形的四个副本粘贴在一起以形成一个整体：

好吧，我承认她开始看起来有点臃肿，就像一个有害的足球。但是请注意，她现在在对角线上也是对称的：也就是说，她已经上升到与正方形相同的水平，对称性！如果你拿同一个楔子，把它缩小成一个更薄的三角形，然后把八个副本粘在一起，你就会得到一个八角形。 （看看你是否能发现八个对称轴。）进一步缩小它，这样12 个副本就可以放在一起，你就得到了一个十二边形。

有什么变化，你注意到了吗？它是对称的，发挥着它的魔力。莫娜又变漂亮了，以一种华丽的、桌布般的方式。因此，将每个楔子切成您可以管理的最薄的条子，然后将尽可能多的楔子粘贴在一起。

现在你可以知道极限内会发生什么。在她最后的转变中，莫娜将转世为一个圆圈——最对称的图形。她的精髓仍将弥漫在唱片中，但以一种混合的、抽象的方式。

出现的是一种全新的美学——一种非常几何化、非常有序并且与原始蒙娜丽莎的黄金矩形吸引力截然不同的美学。也许这是对柏拉图、伽罗瓦和伯克霍夫试图捕捉的东西的升华。

这表明在寻找超越个人品味的普遍美的标准时存在困难。我们探索过的两种启发法——黄金比例和对称性——都可能会产生受到普遍赞赏的美。然而，由此产生的美学本质上是相互冲突的。