三位数学家发现了迄今为止最有效的圆方化方法——或者，等效地，环绕正方形——将形状切割成足够简单以便可视化的小块，然后重新排列它们。
安德拉斯·马特
大约在公元前 450 年，克拉佐梅奈的阿纳克萨哥拉斯有时间思考。这位希腊数学家因声称太阳不是神，而是像伯罗奔尼撒半岛一样大的炽热岩石而入狱。一位相信“理性统治世界”的哲学家，他在监禁期间解决了一个现在著名的数学问题，即圆的平方：使用指南针和直尺，你能得出一个与给定圆相等面积的正方形吗？ ?
令人惊讶的是，数学家仍在研究这个问题。他们正在取得进展。上周，华威大学的Andras Máthé和Oleg Pikhurko以及维多利亚大学的Jonathan Noel在网上发表的一篇论文是最新加入这一古老传统的人。作者展示了如何通过将圆切割成可以可视化和可能绘制的小块来使其平方。这是建立在丰富历史基础上的结果。
Anaxagoras 提出的确切问题在 1882 年得到了回答，当时德国数学家 Ferdinand von Lindemann 证明用经典工具不可能对圆进行平方。他证明了 pi——半径为 1 的圆的面积——是一种特殊的数字，被归类为超越数（这个类别还包括欧拉数e ）。因为之前的结果已经证明不可能用圆规和直尺来构造一个等于超越数的长度，所以也不可能用这种方法来做一个圆的平方。
Clazomenae 的希腊数学家 Anaxagoras，在此显示为纽伦堡编年史中的一位中世纪学者，是第一个写到“平方圆”的人——一个看似困难的问题。
这可能是故事的结局，但在 1925 年，阿尔弗雷德·塔斯基通过调整规则重新解决了这个问题。他问是否可以通过将一个圆切成有限数量的小块来完成这项任务，这些小块可以在平面内移动并重新组装成一个面积相等的正方形——这种方法称为等分解。
换句话说，如果两个对象可以分解成大小和形状相同的部分，或者更准确地说，“如果你可以将它们分成有限的多个部分，使得相应的部分彼此一致，”那么两个对象是等分的，”Pikhurko说。
1964 年的一篇论文首次在塔斯基的问题版本上取得了实质性进展。作者表明，用剪刀无法完成等分解。如果可能的话，这项任务将需要更复杂的分形碎片，布满孔洞和错综复杂的锯齿状边缘。
直到 1990 年，Miklós Laczkovich 以响亮的肯定回答了塔斯基的问题：圆形可以重新配置为方形。
为了形象化 Laczkovich 的成就，想象一个圆形和方形并排在页面上。他证明，如果将圆圈分成最多 10 50块，所有这些块都复杂且形状不寻常，那么这些块可以被移动——甚至不需要旋转——直到它们完全填满正方形。
但是为了达到这个结果，Laczkovich 没有使用形状。相反，他将几何问题转化为图论问题。他拍摄了一张带有两组不同顶点的大图——一组对应于圆形，另一组对应于正方形——然后在一组顶点与另一组顶点之间建立了一对一的对应关系。
Macalester 学院的数学家Stan Wagon将结果描述为“令人瞠目结舌”。 Laczkovich 展示了如何“取一个圆形空间并使其笔直”。
然而，有一个问题。 Laczkovich 的证明是存在证明，数学家称之为“非建设性的”。他证明了这是可以做到的，但他不能说如何构建这些碎片，也不能以任何方式描述它们。更糟糕的是，这些碎片是“不可测量的”，这意味着无法确定它们的面积。
经过几个世纪的努力——这些图表可以追溯到 16 世纪和 17 世纪——费迪南德·冯·林德曼证明了仅使用圆规和直尺不可能将等面积的正方形与给定的圆画出。但如果我们不需要这些工具，问题就会重新焕发生机。
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几十年后，在 Łukasz Grabowski、Máthé 和 Pikhurko 于 2016 年 1 月发表的一篇论文中，又迈出了一大步。与 Laczkovich 的不同，他们的证明几乎是完全建设性的，这意味着这些部分大多是明确定义的。但同样有一个问题：圆圈中定义明确的部分不会填满整个正方形。仍然需要额外的部分来覆盖正方形的一小部分。这部分非常小，没有面积，数学家将其称为“零测度集”。
“几乎所有的空间都得到了照顾，”加州大学洛杉矶分校的数学家安德鲁·马克斯说。他说，你甚至不能画出丢失的部分，因为这组看起来是不可见的。
马克斯说，尽管有这些必要的额外部分，但结果是向前迈出了一大步。 “他们找到了一种方法来使几乎在任何地方都有效的圆平方——除了一组测量零之外的所有地方。”
Marks 与现在在多伦多大学的 Spencer Unger 一起，一年后取得了重大进展，提供了第一个完全建设性的圆平方证明——一个在任何地方都有效的证明，无一例外。他们的论文完整地描述了使圆成方形所需的所有部分。 “他们的作品更好，”Máthé 说。 “他们没有这种丑陋的零区域。”
也就是说，他们的证明涉及更多的碎片——大约 10200个——而且这些碎片仍然相当复杂。 “我们论文的缺点，”马克斯说，“即使这些片段是从数学的角度明确定义的，也很难将它们可视化。”
这留下了一些改进的空间，这是 Máthé、Noel 和 Pikhurko 所提供的。他们的作品，再次编号约 10 200 ，形状更简单，更容易让数学家形象化。
“这里最大的飞跃是，您无法以容易看到的方式绘制斯宾塞和我的作品，但有了这些作品，您可以，”马克斯说。
但这不是故事的结局。加州理工学院的数学家亚历山大·凯克里斯说，这个问题“还有更多的数学要做”。 “这是一个过程。”
Pikhurko 已经有了进一步简化这些部件的想法，减少它们的总数并减少它们的不均匀性。 Marks 做过的计算机实验表明——但没有证明——等分解可以用 22 块来完成。他认为最低数字可能会更低。
“我敢打赌，你可以用少于 20 块的啤酒来摆正圆圈，”他说。 “但我不会赌 1,000 美元。”