石溪大学的丹尼斯·沙利文。
约翰格里芬/石溪大学
丹尼斯沙利文一直受到普遍而美丽的数学洞察力的推动，并具有令人惊叹的力量——“像一首音乐一样吸引你的东西，”他说。在大学二年级时遇到这样一个定理，促使他将专业从化学工程转到数学。其他类似的遭遇后来会激发他在一个特定问题上花费数年甚至数十年的时间。
现在，石溪大学的数学家沙利文（Sullivan）在拓扑学和动力系统方面的工作带来了他自己强大的新见解，他获得了数学界最高荣誉之一的阿贝尔奖。奖项委员会认可沙利文“对拓扑学的开创性贡献”——对形状的研究和分类——以及他通过几何镜头观察各种数学问题的能力。
“自 1960 年代以来，他确实是现代拓扑学中最具影响力的人物之一，”卑尔根大学数学家兼阿贝尔奖委员会主席汉斯·蒙特-卡斯 ( Hans Munthe-Kaas ) 说。
沙利文的大部分职业生涯都致力于理解称为流形的拓扑空间——从表面上的任何点看时看起来平坦（或像普通坐标空间）的空间，但具有更复杂的全局结构。例如，球面和圆环面都是二维流形。
沙利文将目光投向了更高维度的这种形状。他提供了一个特定类型的流形在五个或更多维度上的完整分类，并在与将流形划分为更小的三角形块的不同方法相关的问题上取得了重大进展。为了实现这两个目标，他帮助进一步发展了一个称为手术理论的领域，该领域包括通过切割和重新粘合将一个歧管变为另一个歧管。
他的一些最具开创性的工作，在 1970 年非正式分发的一组笔记中进行了描述，涉及从其他角度切入“拥有一个具有流形拓扑的空间的真正含义”的核心，沙利文说。
通常，数学家通过将拓扑形状与称为同伦群的代数对象相关联来研究拓扑形状，这些代数对象捕获形状的重要属性。例如，这些组可能会描述循环如何在空间中相交和排列。但由于这些组很难计算，沙利文帮助开发了一种技术，使信息“可以分成盒子”，他说，“每个盒子都可以单独处理”。进行了这些更简单的计算后，“你可以找回完整的故事”并更好地理解感兴趣的多样性。
为了做到这一点，沙利文基本上发明了一种划分的概念，将原始流形上的环分成两个或三个或更多。尽管这样做意味着用一个看起来更复杂的对象替换流形，但它允许他处理涉及分数而不是整数的同伦群。他说，在代数中引入分数“让你在计算事物时变得更加简单”，并且可以用来证明某些性质。
“它只是促成了一种不同的话语，”芝加哥大学的数学家Shmuel Weinberger说。他将沙利文的创新与化学或基因分析进行了比较，因为它们“让你将事物分解成看起来与原始物体截然不同的基本部分。”
技术本身并不是沙利文最突出的部分。 “这对我来说就像是一种锻炼，”他说。对他来说，更重要的是，它让他能够证明对称性和其他性质存在于这种分裂或“局部”的意义上，这对于证明某些否则他可能无法理解的陈述至关重要（包括一个值得注意的结果）到球体的同伦群）。他最终用这种研究流形的方法证明了拓扑学中的几个重要结果。
挪威科技大学的数学家Nils Baas 回忆起 50 多年前第一次见到沙利文时说，无论是从思想上还是性格上，“他就像一股来自外界的新鲜风”。 “他的贡献如此之多，意义深远，这个奖项当之无愧。”
沙利文捕捉空间本质的努力并没有就此停止。在 1970 年代后期，与数学家 Daniel Quillen 并行，他创立了所谓的理性同伦理论：一种忽略有关流形拓扑的某些信息的方法，以便以更容易、更易于处理的方式包装剩余信息。
这项工作再次受到同伦群几乎不可能计算的事实的推动。 “空间真的很难理解。从某种意义上说，我们甚至无法从纯粹的 [代数] 角度理解球体是什么，”牛津大学数学家、今年阿贝尔奖委员会成员乌尔里克·蒂尔曼 ( Ulrike Tillmann ) 说。她说，有理同伦理论旨在将代数转换简化为“更具体”的东西，以便数学家仍然可以说出他们感兴趣的空间以及这些空间等价的东西。
在这种简化的背景下，奎伦和沙利文使用不同的代数模型来理解他们的流形。沙利文的方法值得注意，因为它依靠微积分工具来捕获有关不同空间的信息。 “他的进攻更加具体，”蒙特-卡斯说。 “它让人们能够真正使用这些结构进行计算。”
法国里昂高等师范学院的Étienne Ghys说，他发明的理性同伦理论是“一件美妙的艺术品”。 “这只是数学史上的一个伟大时刻。”它提供了以以前似乎完全无法访问的方式研究空间的机会。
然而，沙利文再次将其描述为“一种练习”。他说，让他兴奋的是，它成为回答他一直想知道的其他问题的关键，包括一个导致他所谓的“我的生命定理”的问题——尽管人们几乎没有注意到它，专注于更多关于理性同伦理论的发展及其将打开的大门。 “从某种意义上说，没有正义，”他打趣道。
进入 1980 年代，Sullivan 的工作几乎完全从他所谓的“外部”、更全球化的角度关注流形——根据定义，“流形实际上并没有任何本地个性，”他说。 “它的皮肤没有质感。它没有美丽的痕迹。每个地方看起来都像其他地方……就像一滩牛奶。”
他想找到当地的个性。因此，他改变了方向，将注意力转向了动力系统，即研究空间内或空间内的运动。 “一个动力系统在歧管的不同部分有不同的纹理，”他说。 “动力学真的是一个新世界。”
那时，人们对研究即使是简单函数的迭代也可能产生的复杂动力学重新产生了兴趣。考虑一个像f ( z ) = z 2 + 1 这样的函数，并插入一个复数（一个具有实部和虚部的数字）。然后取答案，将其重新插入函数中，然后重复。结果是一系列点形成穿过复平面的精细分形路径。沙利文证明了一个 60 年前的猜想，即这类系统中的点（及其周围的域）最终如何返回其起始位置，而不是永远四处游荡。
为了证明这一结果和其他结果（包括与某些混沌系统的普遍属性背后的数学相关的结果），他在两个看似无关的领域之间建立了联系：对迭代函数产生的动力系统的研究，以及对某些对称群的研究作用于特定类型的几何空间。所谓的沙利文词典“架起了桥梁……并改变了这两个主题，”温伯格说。
在 2000 年代初期，沙利文回到了他职业生涯早期的拓扑学的外部观点。与 Stony Brook 的数学家Moira Chas （和他的妻子）一起，他开发了一种通过研究流形表面上的环和路径来对流形进行分类的新方法。
现在，他开始将他对拓扑和动力系统的兴趣更加无缝地结合起来。他正在研究流体流动和从拓扑角度描述它们的方程。
“我不确定他是否像其他人一样看待不同数学领域之间的界限，”Munthe-Kaas 说。