无穷大有多大？

在漫威大片《复仇者联盟：终局之战》的结尾，托尼·斯塔克预先录制的全息图向他的小女儿告别时说：“我爱你 3000 次。”这个感人的时刻与早先的场景相呼应，在该场景中，两人正在进行有趣的睡前仪式，量化他们对彼此的爱。根据扮演斯塔克的演员小罗伯特唐尼的说法，该台词的灵感来自与自己孩子的类似交流。

该游戏可以是探索大量数字的有趣方式：

“我爱你10。”

“但我爱你100。”

“好吧，我爱你101！”

这正是“googolplex”在我家成为流行词的原因。但我们都知道这个论点最终会导致：

“我爱你无限！”

“哦耶？我爱你无穷加一！”

有限集的两个例子，每个有四个元素。

确定有限集的大小很容易：只需计算它包含的元素数量即可。由于集合是有限的，你知道你最终会停止计数，当你完成后你知道你的集合的大小。

此策略不适用于无限集。这是自然数的集合，记为ℕ。 （有些人可能会争辩说零不是自然数，但这种争论并不影响我们对无穷大的研究。）

这个套装的尺寸是多少？由于没有最大的自然数，因此尝试计算元素的数量是行不通的。一种解决方案是简单地将这个无限集的大小声明为“无限”，这并没有错，但是当您开始探索其他无限集时，您会意识到它也不完全正确。

考虑一组实数，它们是可以用十进制扩展表示的所有数字，如 7、3.2、-8.015 或无限扩展，如 .由于每个自然数也是实数，实数集至少与自然数集一样大，因此也必须是无限的。

但是，将实数集的大小声明为与用于描述自然数大小的“无穷大”相同，这有些令人不满意。要了解原因，请选择任意两个数字，例如 3 和 7。在这两个数字之间总会有有限多个自然数：这里是数字 4、5 和 6。但它们之间总会有无限多个实数，数字比如 3.001、3.01、π、4.01023、5.666……等等。

值得注意的是，无论任何两个不同的实数彼此有多接近，它们之间总会有无穷多个实数。这本身并不意味着实数集和自然数集具有不同的大小，但它确实表明这两个无限集有一些根本不同的东西，值得进一步研究。

数学家乔治·康托尔在 19 世纪后期对此进行了研究。他表明这两个无限集确实有不同的大小。要理解和欣赏他是如何做到的，首先我们必须了解如何比较无限集。秘密是无处不在的数学课的主要内容：函数。

有很多不同的方式来思考函数——函数符号，比如 ，笛卡尔平面中的抛物线图，诸如“获取输入并在其上加 3”之类的规则——但在这里我们将函数视为一种将一个集合的元素与另一个集合的元素匹配的方法。

让我们将其中一个集合设为ℕ，即自然数集合。对于另一个我们称之为S的集合，我们将采用所有偶数自然数。这是我们的两组：

有一个简单的函数可以将 ℕ 的元素转换为S的元素： .这个函数只是把它的输入加倍，所以如果我们把 ℕ 的元素看作（我们将函数的输入集合称为“域”），输出将始终是S的元素。例如， , , ,等等。

您可以通过将两组的元素并排排列并使用箭头指示函数的方式来可视化这一点将 ℕ 的输入转换为S的输出。

注意如何将S的一个元素恰好分配给 ℕ 的每个元素.这就是函数的作用，但是以一种特殊的方式做到这一点。第一的，将S中的所有内容分配给 ℕ 中的某物。使用函数术语，我们说S的每个元素都是函数下 ℕ 的元素的“图像” .例如，偶数 3,472 在S中，我们可以在 ℕ 中找到一个x ，使得 （即 1,736）。在这种情况下，我们说函数将 ℕ 映射到S上。一个更好的说法是函数是“主观的”。无论您如何描述它，重要的是：作为函数将 ℕ 中的输入转换为S中的输出，在此过程中不会遗漏S中的任何内容。

关于如何的第二个特别之处将输出分配给输入是 ℕ 中没有两个元素被转换为S中的相同元素。如果两个数字不同，那么它们的双打就不同； 5 和 11 是 ℕ 中的不同自然数，它们在S中的输出也不同：10 和 22。在这种情况下，我们说是“1-to-1”（也写成“1-1”），我们描述作为“内射”。这里的关键是S中的任何内容都不会被使用两次： S中的每个元素都只与 ℕ 中的一个元素配对。

这两个特点以强大的方式结合起来。功能在 ℕ 的元素和S的元素之间创建完美匹配。事实是is “onto” 意味着S中的所有事物在 ℕ 中都有一个伙伴，事实上是 1 比 1 意味着S中的任何事物在 ℕ 中都没有两个伙伴。简而言之，函数将 ℕ 的每个元素与S的一个元素配对。

既是单射又是满射的函数称为双射，双射在这两个集合之间建立了一对一的对应关系。这意味着一个集合中的每个元素在另一个集合中恰好有一个伙伴，这是表明两个无限集合具有相同大小的一种方式。

由于我们的功能是双射，这表明两个无限集 ℕ 和S大小相同。这可能看起来令人惊讶：毕竟，每个偶数自然数本身就是一个自然数，所以ℕ 包含S中的所有内容等等。那不应该让 ℕ 比S大吗？如果我们处理有限集，答案是肯定的。但是一个无限的集合可以完全包含另一个，并且它们仍然可以是相同的大小，就像“无限加 1”实际上并不比普通的旧“无限”更大的爱。这只是无限集的许多令人惊讶的属性之一。

更大的惊喜可能是有无限的不同大小的集合。前面我们探讨了实数和自然数的无限集的不同性质，康托尔证明了这两个无限集有不同的大小。他用他出色的、著名的对角线论证做到了这一点。

由于在任何两个不同的实数之间都有无穷多个实数，因此我们暂时只关注 0 和 1 之间的无穷多个实数。这些数字中的每一个都可以被认为是（可能是无限的）十进制展开式，就像这样。

这里等等只是数字的数字，但我们要求并非所有数字都为零，因此我们不将数字零本身包含在我们的集合中。

对角线论证本质上是从一个问题开始的：如果自然数和这些实数之间存在双射会发生什么？如果确实存在这样的函数，则这两个集合将具有相同的大小，您可以使用该函数将 0 到 1 之间的每个实数与自然数进行匹配。你可以想象一个有序的匹配列表，像这样。

对角线论证的天才之处在于你可以使用这个列表来构造一个不在列表中的实数。通过以下方式开始逐位构建实数：使小数点后的第一个数字不同于, 使第二个数字不同于, 使第三个数字不同于， 等等。

这个实数由它与列表对角线的关系定义。它在名单上吗？它不能是列表中的第一个数字，因为它的第一个数字不同。它也不能是列表中的第二个数字，因为它的第二个数字不同。事实上，它不可能是这个列表中的第n个数字，因为它有一个不同的第n个数字。这对所有n都是正确的，所以这个介于 0 和 1 之间的新数字不能在列表中。

但是所有介于 0 和 1 之间的实数都应该在列表中！这个矛盾源于假设自然数与 0 和 1 之间的实数之间存在双射，因此不存在这样的双射。这意味着这些无限集具有不同的大小。对函数多做一些工作（见练习）可以证明所有实数的集合与 0 到 1 之间的所有实数的集合大小相同，因此包含自然数的实数必须是更大的无限集。

无限集大小的技术术语是它的“基数”。对角线论证表明实数的基数大于自然数的基数。自然数的基数写成，发音为“aleph naught”。在数学的标准观点中，这是最小的无限基数。

下一个无限基数是（“aleph one”），一个简单的问题让数学家困惑了一个多世纪：是实数的基数？换句话说，自然数和实数之间是否存在其他无穷大？康托尔认为答案是否定的——这个断言后来被称为连续统假设——但他无法证明这一点。在 1900 年代初期，这个问题被认为非常重要，以至于当大卫希尔伯特将他著名的 23 个重要的数学开放问题列表放在一起时，连续统假设是第一位的。

一百年后，取得了很大进展，但这种进展带来了新的谜团。 1940 年，著名逻辑学家库尔特·哥德尔证明，在普遍接受的集合论规则下，不可能证明在自然数和实数之间存在无穷大。这似乎是向证明连续统假设正确迈出的一大步，但二十年后，数学家保罗科恩证明了不可能证明这样的无穷大不存在！事实证明，连续统假设不能以一种或另一种方式证明。

您还可以尝试定义一个匹配元素的函数。这个功能，

n$ 是奇数} \\
-\frac{n}{2} &\text{如果 $n$ 是偶数}
\结束{案例}$

将ℕ映射到 并且是 1-1。所以整数和自然数一样多，这是另一个奇妙的无穷壮举。

有很多可能性，但一个简单的就是 .每个正实数都是下图一个介于 0 和 1 之间的实数。例如，要查找与 102 配对的数字，只需设置并求解 x：

请注意，我们找到的 x 根据需要介于 0 和 1 之间。所以对于任何数字，比如 102，我们可以找到一个映射到它的输入，这表明是主观的。一种看待它的方法也是单射的（1-1）是通过绘制它并观察它通过水平线测试：笛卡尔平面中的每条水平线都通过最多一次，这意味着没有输出被使用两次。

与练习 3 一样，可以使用多个函数，但标准方法是使用切线函数的变换。对于域 ，标准正切函数 tan(x) 是 1-1 并且映射到所有实数的集合上。

您可以通过转换更改此函数的域。例如，我们可以将域从至通过将输入乘以 π。换句话说，函数 tan(πx) 映射到所有实数的集合上。然后我们可以使用翻译来转移这个域，最后得到函数 .此函数是 1-1 并映射实数到所有实数的集合上。这个双射证明在 0 和 1 之间的实数和实数一样多。