高地
定义。对于在数字域\(K\)中具有系数的多项式
\[f(t_1,\dots,t_n)=\sum_{j_1,\dots,j_n}a_{j_1\dots j_n}t_1^{j_1}\dotst_n^{j_n}=\sum_{\mathbf{j}} a_{\mathbf{j}}\mathbf{t}^{\mathbf{j}},\]
\(f\)的高度定义为
\[h(f)=\sum_{v \in M_K}\log|f|_v\]
在哪里
\[|f|_v=\max_{\mathbf{j}}|a_{\mathbf{j}}|_v\]
是任何地方 \(v\) 的高斯范数。
正如人们所预料的那样，这可以告诉我们多项式的一些复杂性，就像代数数的高度如何告诉我们它的复杂性一样。让我们计算一些例子。
计算高度
让我们考虑最简单的一个
\[f(x)=x^2-1 \in \mathbb{Q}[x]\]
第一的。由于对于所有位置\(v\)的\(|x^2-1|_v=1\) ，\(f\) 的高度是 \(0\) 的总和，它仍然是 \(0\)。
接下来，我们处理一个涉及素数的多项式
\[g(x)=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+x+2\]
我们看到\(|g(x)|_\infty=2\) , \(|g(x)|_2=2^{-(-2)}=4\), \(|g(x)| _3=3^{-(-1)}=3\)，所有其他素数的高斯范数\(1\) 。因此
\[h(g)=\log{2}+\log{4}+\log{3}=3\log{2}+\log{3}.\]
把\(u(x,y)=\sqrt{2}x^2 +3\sqrt{2}xy+5y^2+7 \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})[x,y ]\) ，我们可以仔细计算它的高度。请注意，对于所有位置\(v\) ，\(|\sqrt{2}|_v=\sqrt{|2|_v}\)，因此我们有
\[\begin{对齐}h(u) &= \log|u|_\infty + \log|u|_2 + \log|u|_3 + \log|u|_5+\log|u|_7\\ &= \log 7 + \log\sqrt\frac{1}{2}+\log\frac{1}{3}+\log\frac{1}{5}+\log\frac{1}{7 } \\ &= -\frac{1}{2}\log{2}-\log{3}-\log{5}.\end{aligned}\]
高度和产品
如果\(f \in K[s_1,\dots,s_n]\)和\(g \in K[t_1,\dots,t_m]\)是不同变量中的两个多项式，则作为 \(K[s_1 ,\dots,s_n;t_1,\dots,t_m]\), \(fg\) 的高度为 \(h(f)+h(g)\)。一旦我们注意到多项式的高度等于适当的投影空间中系数向量的高度，这一点就会立即实现。恒等式\(h(fg)=h(f)+h(g)\)来自 Segre 嵌入。
但如果变量一致，事情就会变得不同。例如，\(h(x+1)=0\) 但 \(h((x+1)^2)=2\)。这是因为我们没有 \(|fg|_\infty=|f|_\infty|g|_\infty\)。尽管如此，对于非阿基米德的地方，事情就容易多了。
高斯引理。如果 \(v\) 不是阿基米德，则 \(|fg|_v=|f|_v|g|_v\)。
证明。首先，对于单变量情况证明它就足够了。如果\(f\)和 \(g\) 有多个变量 \(x_1,\dots,x_n\)，则令 \(d\) 为大于\(fg\)度数的整数。然后是克罗内克替代
\[x_j=t^{d^{j-1}}\]
将我们的研究简化为\(K[t]\) 。这是因为，有了这样的\(d\) ，这种替换给出了具有相同系数集的单变量多项式。
因此我们只需要证明\(|f(t)g(t)|_v=|f(t)|_v|g(t)|_v\)。不失一般性，我们假设 \(|f(t)|_v=|g(t)|_v=1\)。写 \(f(t)=\sum a_k t^k\) 和 \(g(t)=\sum b_k t^k\)，我们有 \(f(t)g(t)=\sum c_jt^ j\) 其中 \(c_j=\sum_{j=k+l}a_kb_l\)。
我们假设\(|fg|_v<1\) ，即\(|c_j|_v<1\)对于所有 \(j\)，看看我们会得到什么矛盾。如果对于所有 \(j\) 有\(|a_j|=1\ )，则 \(|c_j|_v<1\) 意味着对于所有 \(k\) 有 \(|b_k|_v<1\)，因此\(|g|_v<1\)，矛盾。因此我们可以假设，不失一般性，\(|a_0|_v<1\) 但\(|a_1|_v=1\)。那么，由于
\[|c_j|_v=|a_0b_j+a_1b_{j-1}+\dots|_v<1,\]
我们有所有\(j \ge 1\) 的 \(|a_1b_{j-1}|_v=|b_{j-1}|_v<1\) 。由此可见\(|g(t)|_v<1\)，仍然是一个矛盾。 \（\正方形\）
非阿基米德案例就这么多。对于阿基米德的情况，事情更复杂，所以我们没有足够的空间来覆盖它。尽管如此，我们有
Gelfond 引理。设 \(f_1,\dots,f_m\) 是\(n\)变量集合 \(f=f_1\cdots f_n\) 中的复多项式，则
\[2^{-d}\prod_{j=1}^{m}\ell_\infty(f_j) \le \ell_\infty(f) \le 2^d\prod_{j=1}^{m }\ell_\infty(f_j),\]
其中\(d\)是\(f\)的部分度数之和，并且 \(\ell_\infty(f)=\max_j|a_j|=|f|_\infty\)。
结合 Gelfond 引理和 Gauss 引理，我们得到
\[\left|h(f)-\sum_{j=1}^{m}h(f_j) \right| \le d\log{2}.\]
马勒测量
最初并不是由马勒给出的。它以马勒的名字命名，因为他以一种优雅的方式成功地将其扩展到多变量案例。无论如何，我们将涵盖最初的动机。
原始版本和莱默猜想
假设我们想找到足够大的素数。皮尔斯想出了一个主意。考虑\(p(x) \in\mathbb{Z}[x]\) ，它被分解为
\[p(x)=a\prod_i(x-\alpha_i).\]
考虑 \(\Delta_n=\prod_i(\alpha^n_i-1)\)。然后通过一些伽罗瓦理论，这确实是一个整数。所以也许我们可以在\(\Delta_n\) 的因子中找到一些有趣的整数。此外，我们预计它会缓慢增长。 Lehmer 研究了 \(\frac{\Delta_{n+1}}{\Delta_n}\) 并观察到
\[\lim_{n \to \infty}\frac{|\alpha^{n+1}-1|}{|\alpha^n-1|}=\begin{cases}|\alpha|, & | \alpha|>1, \\1, & |\alpha|<1.\end{cases}\]
因此，将 \(p(x)\) 的所有根与 \(1\) 进行比较是有意义的。因此，他提出了与\(p(x)\)相关的以下函数：
\[M(p)=a\prod_i \max\{1,|\alpha_i|\}.\]
如果我们考虑 \(\lim_{n \to\infty}\Delta_{n+1}/\Delta_n\)，就会出现这个数字。
他还提出了以下问题，现在被理解为Lehmer 猜想，尽管在他的论文中他将编辑作为一个问题而不是一个猜想来解决：
是否存在一个常数\(c\)使得\(M(p)>1 \implies M(p)>c\) ？
它仍然开放，但我们可以提及一些关键界限。
- 莱默本人发现
\[M(x^{10}+x^9-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3+x+1)=1.1762808\cdots\]
而实际上这是迄今为止发现的最好的结果。正是因为这个发现，他才提出了他的问题。
这个多项式也导致了一个大素数\(\sqrt{\Delta_{379}}=1, 794, 327, 140,357\)的发现，尽管通过研究 \(x^3-x-1\)，我们找到了一个更大的素数\(\Delta_{127}=3, 233, 514, 251, 032,733\) 。
- Breusch（以及后来的 Smyth）发现如果 \(p\) 是一元的、不可约的和不互易的，即它不满足 \(p(x)=\pm x^{\deg p}f(1/x)\)，然后
\[M(p)=1.3247179\cdots=\text{ $x^3-x-1$.}的实根\]
- E. Dobrowlolski 发现，如果 \(p(x)\) 是一元的、不可约的和非分圆的，并且有度\(d\) ，则 t
\[M(p)>1+c\left( \frac{\log\log d}{\log d} \right)^3\]
对于一些\(c>0\) 。
通用版和詹森公式
定义。对于\(f \in\mathbb{C}[x_1,\dots,x_n]\) ，马勒测度定义为
\[M(f)=\exp\left(\int_{\mathbb{T}^n}\log|f(e^{i\theta_1},\dots,e^{i\theta_n})|d\ mu_1\dots d\mu_n \right),\]
其中 \(d\mu_i=\frac{1}{2\pi}d\theta_i\)，即\(d\mu_1\dots d\mu_n\)对应于 \(\mathbb {T}^n\)，总测度为 \(1\)。
我们通过 Jensen 公式看到，当 \(n=1\) 时，这与我们之前定义的一致。首先观察 \(M(fg)=M(f)M(g)\)。考虑 \(f(t)=a\prod_{i=1}^{d}(t-\alpha_i)\)，那么
\[M(f)=M(a)\prod_{i=1}^{d}M(t-\alpha_i)=a\prod_{i=1}^{d}M(t-\alpha_i)。 \]
另一方面，作为复分析的练习，可以证明
\[\int_0^{2\pi}\log|t-\alpha_i|d\mu=\log^+|\alpha_i|=\log\max\{1,|\alpha_i|\}.\]
结合它们，我们看到
\[M(f)=a\prod_{i=1}^{d}\exp\left(\log^+|\alpha_i|\right)=a\prod_{i=1}^{n}\max \{1,|\alpha_i|\}.\]
取对数我们也得到Jensen 公式
\[\log M(f)=\log|a|+\sum_{i=1}^{d}\log^+|\alpha_i|.\]
我们首先给出一个合理且有用的 \(M(f)\) 估计，用于证明 Northcott 定理。
定义。对于 \(f(t)=a_dt^d+\dots+a_0\)，\(f\) 的 \(\ell_p\)-范数自然定义为
\[\ell_p(f)=\left(\sum_{j=0}^{d}|a_j|^p \right)^{\frac{1}{p}}.\]
对于\(p=\infty\) ，我们有 \(\ell_\infty(f)=\max_j|a_j|\)。
引理 1.上面的符号 \(M(f) \le \ell_1(f)\) 和
\[{d \选择 \lfloor{d/2}\rfloor }^{-1} \ell_\infty(f)\le M(f) \le \ell_2(f) \le\sqrt{d+1} \ell_\infty(f).\]
证明。首先，我们观察那些明显的。首先，
\[\begin{aligned}|f(e^{i\theta})|&=|a_d e^{id\theta}+\dots+a_0| \\ &\le |a_de^{id\theta}|+\dots+|a_0| \\ &=|a_d|+\dots+|a_0| \\ &=\ell_1(f).\end{对齐}\]
所以
\[\begin{对齐}M(f) &=\exp\left(\int_0^{2\pi}\log|f(e^{i\theta})|d\mu \right) \\ &\ le \exp\left(\int_0^{2\pi}\log\ell_1(f)d\mu \right) \\ &=\ell_1(f).\end{aligned}\]
接下来，由 Jensen 不等式
\[\begin{aligned}M(f) &=\exp\left(\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\log|f(e^{i\theta})|^2d \mu\right) \\ &=\sqrt{\exp\left( \int_0^{2\pi} \log|f(e^{i\theta})|^2d\mu\right)} \\ & \le \sqrt{\int_0^{2\pi}|f(e^{i\theta})|^2d\mu} \\\end{对齐}\]
然而，根据 Parseval 的公式，最后一项等于
\[\ell_2(f)=\sqrt{\sum_{j=0}^{d}|a_j|^2} \le \sqrt{d+1}\ell_\infty(f).\]
对于剩余的不等式，我们使用 Vieta 公式
\[\left|\frac{a_{dr}}{a_d} \right| = \left|\sum_{j_1 < \dots< j_r}\alpha_{j_1} \cdots \alpha_{j_r}\right|\]
因此
\[|a_{博士}| \le {d \选择 r}|a_d|\prod_{j=1}^{d}\max\{1,|\alpha_j|\}={d \选择 r}M(f)\le {d \选择 \lfloor{d/2}\rfloor }M(f)\]
对于所有\(0 \le r \le d\) 。将\(|a_{dr}|\)替换为 \(\ell_\infty(f)\)，我们完成了证明。 \（\正方形\）
在证明诺斯科特定理之前，我们展示了马勒测度和高度之间的联系。
命题 1.令 \(\alpha \in \overline{\mathbb{Q}}\) 并令\(f\)为\(\alpha\)在 \(\mathbb{Z}\) 上的最小多项式。然后
\[\log M(f) = \deg(\alpha)h(\alpha)\]
和
\[\log|N_{\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb Q}(\alpha)| \le\deg(\alpha)h(\alpha).\]
证明。放 \(d=\deg(\alpha)\) 并写
\[f(t)=a_dt^d+\dots+a_0.\]
选择一个包含\(\alpha\)并且是\(\mathbb{Q}\)的 Galoisextension 的数域\(K\ ) ，具有 Galois 群\(G\) 。那么 \((\sigma\alpha:\sigma \in G)\ ) 正好包含 \(\alpha\)的每个共轭\([K:\mathbb{Q}]/d\)次。由于 \(a_0,\dots,a_d\) 互质，因此对于任何非阿基米德绝对值\(v \inM_K\) ，我们必须有 \(\max_i|a_i|_v=|f|_v=1\)。结合高斯引理和伽罗瓦理论，我们看到
\[|a_d|_v\prod_{\sigma \inG}\max\{1,|\sigma\alpha|_v\}^{d/[K:\mathbb{Q}]}=1.\]
现在我们准备计算 \(\alpha\) 的高度以重新发现马勒测度。请注意
\[h(\alpha)=\sum_{v \in M_K}\log^+|\alpha|_v, \quadh(\sigma\alpha)=h(\alpha),\quad \forall \sigma \in G .\]
因此我们得到
\[\begin{aligned}h(\alpha)&=\frac{1}{[K:\mathbb{Q}]}\sum_{\sigma \inG}h(\sigma\alpha) \\ &=\ frac{1}{[K:\mathbb{Q}]}\sum_{v \in M_K}\sum_{\sigma \inG}\log^+|\sigma\alpha|_v \\ &=\frac{1 }{[K:\mathbb{Q}]}\sum_{v\mid\infty}\sum_{\sigma\in G}\log^+|\sigma\alpha|_v + \frac{1}{[K :\mathbb{Q}]}\sum_{v\nmid \infty}\sum_{\sigma\in G}\log^+|\sigma\alpha|_v \\\end{aligned}\]
最后一项对应于我们上面计算的关于非阿基米德绝对值的内容，因此我们将其分解一下：
$$ \[\begin{对齐}\sum_{\sigma \in G}\log^+|\sigma\alpha|_v &= \sum_{\sigma \in G}\log\max\{1,|\ sigma\alpha|_v\} \\ &=\log\prod_{\sigma \in G}\max\{1,|\sigma\alpha|_v\} \\ &=\frac{[K:\mathbb{ Q}]}{d}\log\prod_{\sigma \in G} \max\{1,|\sigma\alpha|_v\}^{d/[K:\mathbb{Q}]} \\ & =-\frac{[K:\mathbb{Q}]}{d}\log|a_d|_v \\ &=\frac{[K:\mathbb{Q}]}{d}\log|a_d|_w \end{对齐}\]
$$
对于一些\(u \mid \infty\) ，根据产品公式。另一方面，对于 \(v \mid \infty\)，
\[\sum_{\sigma \in G}\log^+|\sigma\alpha|_v =\frac{[K:\mathbb{Q}]}{d}\sum_{j=1}^{d} \log^+|\alpha_j|_v.\]
总而言之，
\[\begin{对齐}h(\alpha)&=\frac{1}{[K:\mathbb{Q}]}\frac{[K:\mathbb{Q}]}{d} \sum_{v \mid \infty}\left( \log|a_d|_v+\sum_{j=1}^{d}\log^+|\alpha_j|_v \\ \right) \\ &=\frac{1}{d }\log M(f).\end{对齐}\]
第二个断言紧随其后，因为
\[\log|N_{\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}}(\alpha)|=\sum_{v\mid \infty}\sum_{j=1}^{d}\日志^+|\alpha|_j.\]
诺斯科特定理
高度为 \(0\) 的非零代数整数的集合位于单位圆上，根据克罗内克定理，它们实际上是单位的根。但是请记住，单位圆上的代数整数不一定是单位的根。见这篇短文。
当涉及到小高度的代数整数时，事情可能会变得复杂，但诺斯科特定理保证我们将研究有限集。
诺斯科特定理。给定一个整数 \(N>0\) 和一个实数 \(H \ge1\)，只有有限个代数整数\(\alpha\)满足\(\deg(\alpha) \le N\)和\(h(\alpha) \le \log H\) 。
证明。设\(\alpha\)为度\(d<N\)和高度\(h(\alpha) \le \log H\)的代数整数。假设\(f(t)=a_dt^d+\dots+ a_0 \in\mathbb{Z}[t]\)是 \(\alpha\) 的最小多项式。然后引理 1 告诉我们
\[\max|a_i|=\ell_\infty(f) \le {d \选择 \lfloor d/2 \rfloor} M(f) \le 2^dM(f).\]
另一方面，根据命题 1，
\[\log M(f) =dh(\alpha) \le d\log{H}=\log H^d,\]
我们实际上有
\[\最大|a_i| \le (2H)^d.\]
这产生不超过\((2\lfloor(2H)^d \rfloor+1)^{d+1}\) 个不同的多项式 \(f\)，最多产生 \(d(2\lfloor (2H)^d\rfloor+1)^{d+1}<\infty\) 代数整数。 \（\正方形\）
我们也有Northcott 财产，我们不关心学位。一个代数整数集合\(L\)被称为满足 Northcott 属性，如果对于每个\(T>0\) ，集合
\[\{\alpha \in L:h(\alpha)<T\}\]
是有限的。这样的集合\(L\)被称为满足Bogomolov 属性，如果存在 \(T>0\) 使得集合
\[\{\alpha \in L:0<h(\alpha)<T\}\]
是空的。就基本拓扑而言，Northcott 属性隐含 Bogomolov 属性。如果 \(L\) 是一个字段，那将非常有趣。这篇论文可能很有趣。
参考文献/进一步阅读
-
Erico Bombieri，Walter Gubler，丢番图几何中的高地。
-
Michel Waldschmidt，线性代数群上的丢番图近似，多个变量中指数函数的超越性质。
-
Chris Smyth，代数的马勒度量：ASURVEY 。