Tim Large 是 Simons Society of Fellows 的初级研究员。近距离观察，沙滩球的表面看起来不是圆的，而是平坦的。内胎的表面也是如此——即使这些物体看起来一点也不像。从数学上讲，这两个夏季配饰可以归类为二维流形：局部看起来是一样的，但是当你把它们放大看它们的整体时，它们显然是不同的。理解决定这些差异的属性，无论是对于这些例子还是更复杂的例子，都是现代几何学的中心主题。
然而，没有几何学家在真空中研究流形， Simons 初级研究员Tim Large说。相反，他们专注于提供额外理解的相关组件。在拉格的案例中，这意味着关注辛流形，它直接处理牛顿的运动理论，并试图弄清粒子在弯曲空间中的运动。虽然牛顿力学已有 300 多年的历史，但辛几何只是在过去几十年中才通过新的理论发展和在量子物理学和其他纯数学和应用数学领域的应用而形成。
拉格在剑桥大学获得本科学位和博士学位。来自麻省理工学院。他现在正在哥伦比亚大学完成数学博士后研究，在 Mohammed Abouzaid 的指导下。
拉格和我最近讨论了他的工作及其影响。为了清楚起见，我们的对话已经过编辑。
什么是辛流形？
辛流形有一个技术定义，即使对数学家来说也可能看起来很奇怪，但是，它们无处不在——从基础物理学一直到复杂的弦理论。
为了解释，让我们转向物理 101：钟摆的运动。如果我们知道钟摆的角位置和动量，我们就可以预测它的运动。摆的所有可能的不同角位置和动量一起形成一个二维流形，我们称之为相空间。
钟摆的运动如何转化为相空间。图片来源：Lucy Reading-Ikkanda/Simons Foundation近距离看，相空间看起来像一个平面，但它的形状是圆柱形的：如果我们将钟摆旋转 360 度，我们就会回到开始的地方。这是辛流形最基本的例子之一。更复杂的例子包括行星围绕其恒星的运动。辛流形对于帮助理解与重力相关的牛顿方程至关重要。
告诉我有关辛流形的更复杂示例。
辛流形出现在现代数学和物理学中。例如，弦理论的中心假设之一是宇宙带有额外的维度（通常是六个），甚至原子显微镜都无法看到。这些额外的维度被包裹在一起形成一种特殊类型的辛流形，称为卡拉比-丘流形，它反过来可以揭示已知宇宙中可观测粒子的新信息。
弦理论中出现的相同辛流形也出现在代数几何中，这是一个非常不同的纯数学领域，专注于由多项式方程定义的空间和形状。一些代数空间有一个隐藏的“镜像”辛流形。在这些情况下，镜像流形的弦理论编码了大量关于原始空间代数的信息。
数学家称这种现象为镜像对称，因为它使我们能够解决代数问题，以不同的方式看待它，并看到一些令人惊讶的辛几何。在过去的 30 年里，这个概念一直是几何和理论物理学的重要组成部分，我希望辛几何在下个世纪发挥更大的作用，因为我们对宇宙的基本结构有了更好的实验理解。
是什么吸引你去研究辛流形和辛几何？
真正让我对辛流形感到兴奋的是，对于它们存在的所有不同地方，我们基本上对它们知之甚少。与代数流形等其他流形相比，这是一个非常年轻的学科，代数流形具有数学家在研究中长期使用的完善工具集。
辛几何的基本工具包仍在开发中，尽管在证明新定理方面已经取得了显着的成功。我最喜欢在这个领域工作的一件事是，为了构建这些新工具，我需要利用来自广泛数学领域的知识——从偏微分方程到同伦理论。辛流形处于当代数学许多部分的十字路口。
你能详细说明这些工具和定理吗？
我最喜欢的例子之一可以追溯到钟摆。钟摆周期性地移动，这意味着它们会以相同的动量回到起点。这仅仅是牛顿方程的显式解的偶然事件，还是部分地体现了钟摆相空间的圆柱拓扑？在 1960 年代，俄罗斯数学家弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）非常笼统地提出了这个问题的一个版本：在任何经典机械系统的辛相空间中，牛顿方程何时存在周期解？他推测周期解的存在必须依赖于辛流形的全局拓扑。
辛几何的现代观点真正始于 1980 年代的德国数学家安德烈亚斯·弗洛尔，距阿诺德猜想大约 20 年。弗洛尔没有根据在辛流形上描绘一条线的点来考虑动力学，而是设想了环或弦扫过流形内的表面，就像弦理论家所做的那样。而粒子运动是由牛顿方程给出的——它们是常微分方程——这些表面必须满足一个更复杂的偏微分方程。
乍一看，这使问题变得更加复杂，因为偏微分方程通常更难显式求解。但是弗洛尔巧妙地表明，关于这些方程的更多间接问题——例如解的存在和不存在，或者附近解的空间族形成什么样的空间——编码了辛流形的大部分拓扑。他定义了某些类型的辛流形的代数不变量，我们现在称之为弗洛尔同调，并用它来证明阿诺德的几个猜想。
自引入以来，Floer 同调一直处于辛几何的中心。很多工作都在扩展它的定义以适用于不同种类的辛流形，以找出它在镜像对称背景下的含义，并增强其查看更多辛流形拓扑的能力。
你的工作是如何建立在 Floer 同源性的基础上的？
同源性本身已有近 100 年的历史；它可能是衡量一个流形有多少“洞”的最基本指标。例如，它会告诉您沙滩球没有孔，而内胎有孔。但事实证明这是查看流形的粗略方法，并且有许多更精细、更强大的方法可以回答这个问题。这是同伦理论的主题。
我致力于在 Floer 同源中构建和应用其他结构，以模仿同伦理论中的结构。 Floer同调和同伦理论看起来非常相似，所以我想知道：你可以在多大程度上使用同伦理论的机制来直接回答辛几何中的问题？我正在建立一个连接弗洛尔同调和同伦理论的字典。
你能更详细地描述一下这项工作吗？
现代同伦理论家有一个强大的概念，称为稳定同伦类型，它是流形的抽象，它失去了一些几何特征，但保留了许多最重要的拓扑特征。同伦理论家使用的许多更复杂的工具实际上是用于操纵稳定的同伦类型。在我的工作中，我想使用 Floer 同调来创建与辛几何相关的稳定同伦类型——本质上是使用同伦理论家的工具包来证明关于辛几何的新结果。在麻省理工学院，我为特定种类的称为刘维尔域的辛流形构建了一个稳定的 Floer 同伦版本，并将我的构建放入一个更广泛的称为深谷范畴的结构中。 Fukaya 范畴基本上是一种组织 Floer 同调代数的方法。它们可能很难计算，但如果你能做到，你就可以很好地处理辛流形。
我现在在哥伦比亚大学的重点是掌握这些同伦理论版本的 Floer 同调，并了解它们可以告诉我们关于辛几何和镜像对称的哪些新内容。许多最早的镜像对称例子来自辛流形，这些辛流形以各种方式与另一个著名的流形家族相关，称为复射影空间。复射影空间有很多额外的对称性，这可以使 Floer 同调和计算更容易。我目前正在为这些空间构建 Floer 同源和 Fukaya 类别的同伦理论版本，并使用额外的对称性来具体理解它们。我希望这可以让我们深入了解镜像对称的同伦理论解释。
最后，您对 Simons Junior Fellowship 有什么看法？
在大流行最严重的时候，我参加了初级奖学金的面试，这是我六个月来第一次与不是数学家的人交谈。当事情变得遥远时，我自己的所有部门会议都继续进行，但基本上不可能与另一个领域的人见面和联系。在我的采访中终于能够与生物学家交谈真是令人耳目一新！现在我是一名初级研究员，我真的很喜欢学习和谈论各种各样的科学领域。
甚至在数学方面，我也从其他初级研究员那里学到了很多东西。例如，在与我的初级同事黄焦洋交谈之前，我从未意识到随机矩阵的重要性。 Simons Junior Fellowship 在我的领域内外都具有变革性，我非常感谢它培养的纽约市内的知识界。