关于数学曲线的老问题落到了年轻夫妇的头上

现在，在今年早些时候在线发布的证明中，布朗大学的两位年轻数学家埃里克·拉尔森和伊莎贝尔·沃格特终于对这个问题进行了最后一击，彻底系统地解决了这个问题。这篇论文标志着近十年工作的高潮，在此期间，他们逐渐解决了这个问题，解决了关于曲线是什么样子以及它们如何表现的重要相关问题——并且还结婚了。

“这真的是一个了不起的故事，”德克萨斯大学奥斯汀分校的数学家萨姆·佩恩说，“对于这么年轻、在数学发展初期的人来说，能够抓住如此深刻、困难的问题，然后如此坚持。”

嵌入曲线

插值问题的解决方案建立在可以追溯到 19 世纪的工作之上——该工作回答了一个更基本的问题。到底有哪些代数曲线？

曲线是位于高维空间中的一维对象。虽然通常不清楚如何使用特定方程来描述曲线，但数学家可以根据某些数值属性来描述曲线。其中第一个是曲线所在空间的维度。第二个是曲线的度数，即它与超平面相交的次数——一个维度比空间小一个的子空间。例如，二维平面中的圆的度数为 2，因为当它被一维线切割时，该线通常会在两个点上撞击它。同时，嵌入 20 维空间的曲线的度数是它与 19 维超平面相交的次数。您可以将度数视为曲线扭曲程度的一种度量。

数学家用来描述曲线的第三个数字称为它的属。因为曲线是用复数定义的一维对象，所以它的每个点也可以写成一对实数，而不是一个复数。这意味着从拓扑的角度来看，曲线实际上看起来像一个二维表面——并且该表面可以有孔。 （一个典型的例子是甜甜圈的表面。）那么，曲线的属性就是它有多少个孔。

在数学家甚至可以开始考虑给定属和度的曲线可能是什么样子之前，他们首先需要弄清楚这些曲线何时可能存在。即便如此，这也是一个巨大的挑战。

在 1870 年代，数学家 Alexander von Brill 和 Max Noether（著名数学家 Emmy Noether 的父亲）仅使用三个属性制定了预测：属 ( g ) 或它具有的孔数；度数（ d ），或其扭曲度；以及曲线所在的维数 ( r )。他们推测，当且仅当该曲线的度数足够大时，您可以将给定属的曲线嵌入到给定维数的空间中——即，如果曲线足够软。他们用g 、 d和r写出了一个精确的不等式，并认为只有这种不等式成立，你选择的曲线才是可能的。

但他们的论点缺乏实际证据。这不会在一个多世纪后出现，1980 年菲利普格里菲斯和乔哈里斯在代数几何中使用现代技术来证明布里尔-诺特定理确实是正确的。 （从那时起，数学家已经对该定理提出了大约六种不同的证明，并围绕它发展了丰富的理论。）

结果最终使数学家有可能回到插值问题——即计算出在r维空间中， g度d的曲线可以通过多少随机点。 （在这里，曲线被称为“一般”，这意味着它不会以特殊的方式嵌入到空间中。）根据 Brill 和 Noether 的工作，他们对这个问题的答案应该是什么有了一个有根据的猜测.与 Brill-Noether 定理一样，它以曲线参数需要满足的特定不等式的形式出现——这次不仅用g 、 d和r 来写，而且还用n （点数）来写.

但与 Brill-Noether 定理不同的是，这条规则有明显的例外，即曲线的几何形状限制了它原本预期通过的点数。 “这已经表明这是一个硬定理，这是一个深奥的定理，这需要大量的工作，”佩恩说。

这就是拉尔森和沃格特感兴趣的问题。他们的部分灵感来自哈里斯，哈里斯是他们的教授之一，当时他们是哈佛大学的本科生，他们于 2011 年在那里相遇。哈里斯后来成为拉尔森的博士生导师和沃格特的合作伙伴- 顾问，当他们作为麻省理工学院的研究生时，他们开始认真研究插值。

解决问题

拉尔森在研究代数几何中另一个被称为最大秩猜想的主要问题时开始参与插值问题。当他还是一名研究生时，他将目光投向了这个已经公开了一个多世纪的猜想，这似乎是“一个非常愚蠢的想法，因为这个猜想就像一个墓地，”瓦基尔说。 “他试图追逐比他年长很多的人在很长一段时间内都失败了的东西。”

但拉尔森坚持了下来，并在 2017 年提出了充分的证据，证明他是该领域的一颗冉冉升起的新星。

该证明的关键在于解决插值问题的各种情况。这是因为拉尔森对最大秩猜想（这也是关于代数曲线）的方法的很大一部分是将感兴趣的曲线分解为多条曲线，研究它们的性质，然后以正确的方式将它们粘合在一起。为了将这些更简单的曲线粘合在一起，他必须让它们中的每一个都通过同一组点——这反过来意味着要证明一个插值问题。 “插值为您提供了构建这些 [更复杂] 曲线的机器，”拉尔森说。

Vogt 已经在研究插值。在她在研究生院写的第一篇论文中，她证明了 3D 空间中的所有插值案例（包括所有例外）；次年，她又与拉尔森合作解决了四维空间的问题。虽然这对夫妇此后在其他项目上进行了合作，但“这就是我们开始合作的方式，”沃格特说。同年——这也是拉尔森发布最高等级证明的那一年——他们结婚了。从那以后，他们经常发现自己在晚餐后讨论想法，在家里的黑板上解决问题。

插值问题询问某种类型的曲线是否可以通过给定的随机点集合。为了证明这一点，两人必须证明曲线可以以特定方式在空间中摆动。例如，考虑一条线上的三个点。如果将一个点稍微移离直线，但保持其他两个点固定，则不能以任何方式移动直线以使其通过新的点配置。试图击中所有三个将迫使线弯曲，因此它不再是一条线。所以一条线可以通过两个点进行插值，但不能通过三个点。

数学家想为高维空间中更复杂的曲线找出类似的东西——在某些点移动它们，并研究它们是如何移动的。

为此，他们需要研究一种称为曲线法线束的结构，它基本上控制着曲线如何摆动。然后可以将插值问题重写为关于计算曲线法线束属性的问题。

但是对于拉尔森和沃格特所关注的更复杂的曲线，这些研究变得异常困难。因此，他们使用了与拉尔森在最大秩猜想证明中使用的策略类似的策略。给定一条曲线，他们把它分成几块——但很微妙，就是这样。 Vakil 说：“他们解决了问题，并解决了问题，但以正确的方式解决了问题，因此他们可以确切地看到发生了什么。”

举一个简单的例子。假设您在平面上有一条双曲线，一条看起来像一对相互背对的镜像弧线的单一曲线。您可以“变形”这条曲线，直到它分成两条更简单的曲线，在本例中是一对以 X 形相互交叉的线。双曲线几何的某些方面仍然反映在这些线的几何中。但是由于线条更简单，它们更容易使用，并且更容易分析它们的正常束。

也就是说，您不能简单地查看各个线的法线束并立即将其转化为对双曲线法线束的理解。那是因为在两条线相交的地方，从某种意义上说，正常的捆绑行为异常。相反，数学家必须研究经过某些修改的正规丛。

当然，拉尔森和沃格特关注的不是双曲线和线条，而是更复杂的情况。他们首先将一条复杂的曲线分成两部分：一条线和一条在一个或两个点与该线相交的更简单（但仍然很复杂）的曲线。然后他们会将更复杂的曲线一分为二，一次又一次地重复这个过程，直到他们把所有东西都简化为真正简单的“基本”曲线，“那种你可以徒手解决的事情， ”沃格特说。在整个过程中，他们必须跟踪碎片的正常捆绑包——以及对堆积起来的正常捆绑包的所有修改——以证明他们需要证明原始正常捆绑包的内容。

但这些打破曲线的方法还不够。它们不适用于布里尔-诺特定理所涵盖的所有类型的曲线。

拉尔森和沃格特不得不引入一种新的方法来打破他们的曲线——这种方法不涉及其中一个部分是一条线。弄清楚这一点是一个挑战，不仅因为它可能根本无法在他们论证的给定步骤中按照他们的意愿行事，而且还因为他们必须注意插值语句不成立的例外情况。 Vogt 说：“你的论点必须足够复杂，因为你永远不能 [最终得到] 例外”作为你的基本情况。 “那真的很糟糕。”

作为 2017 年的研究生，数学家 Eric Larson 解决了最大秩猜想，这是一个关于代数曲线的主要开放问题。

最终，他们找到了一种方法来做到这一点。 “这在技术上极其困难。这是一个非常非常苛刻的建设论点，”哈里斯说。 “坦率地说，我认为这需要具有拉尔森和沃格特非凡技能的人来执行它。”

同时，他们开发了处理在该论证过程中堆积的对正常捆绑包的所有修改的方法。柏林洪堡大学的数学家Gavril Farkas说：“跟踪所有这些数据并能够将其贯彻到底是一项了不起的壮举。”

“埃里克真的很擅长这件事，”沃格特说。伊利诺伊大学的数学家Izzet Coskun经常与 Larson 和 Vogt 合作，他对此表示赞同。 “埃里克有点吓人，”他说。 “我们中的大多数人，我们看到了一组 12 个不平等，我们放弃了，我们的眼睛呆滞了……但他没有放弃。对他来说没有什么太复杂的事情。”

最终，拉尔森和沃格特证明了曲线总是会通过预期的点数进行插值，除了四种特殊情况。他们提供了为什么这四种类型的曲线通过意外数量的点进行插值的几何原因。这样，他们就一劳永逸地解决了这个问题。

“他们让争论看起来很自然。就像，这似乎并不令人惊讶，”肯塔基大学的数学家戴夫詹森说。 “这很奇怪，因为这是其他人试图证明但无法证明的结果。”

“这是纯粹的毅力。不仅如此。实际上，能够完成它真是太棒了，”法卡斯说。 “这很值得一看。”

家族遗产

虽然这个证明可能标志着一个叙述线索的结束，但故事还远未结束——从数学和个人的角度来看。

关于曲线，您可以提出很多问题。拉尔森和沃格特的工作为掌握这些核心但难以捉摸的数学对象提供了一种方法。 “我认为现在很多经典问题更容易理解，”Coskun 说。 “我们认为你甚至无法开始考虑的事情……现在你可以问了。”

与此同时，拉尔森的妹妹汉娜·拉尔森 ( Hannah Larson ) 也是一名数学家——今年春天在斯坦福大学获得博士学位后，目前是克莱研究员——致力于研究代数曲线和 Brill-Noether 理论的相关问题。 “她是一台机器，”她的博士生导师瓦基尔说。 “她什么都能做。”

她最近开发了 Vakil 称为最先进的 Brill-Noether 定理的新证明。她也一直在独立工作，并与她的兄弟和 Vogt 合作，为某些特殊曲线证明 Brill-Noether 定理的类似物。 “他们是一个令人印象深刻的家庭，”詹森说。

“我们可以像这样一起做一些事情真是太有趣了，”汉娜拉森谈到与她的兄弟和嫂子一起工作时说。

和她的兄弟一样，汉娜在上完哈里斯教授的课程后，受到启发，在本科时学习了这些材料。但她也感谢埃里克和伊莎贝尔对这个主题的一些兴趣。 “当你和某人一起出去玩时，你会看到他们在做数学或特定类型的数学时有多么有趣，这让我也想尝试一下，”她说。

“真正整洁的 [is that] 他们相处得非常好，”Vakil 说。 “人不应该和他们三个人相处得那么好。”

他们现在继续在阐明不同类型的曲线的样子、它们的行为方式以及这对其他数学问题可能意味着什么方面取得进展。 “所以这个故事还没有以任何方式完成，”汉娜拉森说。