帮助星际迷航的中尉乌胡拉克服天文困难

一些谜题解决方案非常漂亮，远远优于常识方法，它们看起来像是一个奇迹。例如，在我们最近的 Insights 谜题中，第三个问题的解决方案展示了其中一些品质。这个问题——关于使用三个天平（包括一个给出随机结果的破损天平）来找到一枚假币的最佳方法——可以通过四次称重来巧妙地解决，尽管这个问题最初似乎需要至少六次称重。

今天我们展示了一个谜题，它的最佳解决方案比更明显的解决方案提高了惊人的 60 倍或更多！著名的匈牙利数学家保罗·埃尔德斯（ Paul Erdős ）将美丽的证明称为来自《圣经》 ——这是一本上帝存储所有数学问题的完美证明的神圣书籍。好吧，如果这本书包含任何谜题，则必须在其中。

为了纪念上个月去世的演员和活动家尼歇尔·尼科尔斯，我们的谜题想象了一场星际迷航冒险，她的角色乌胡拉中尉面临生死攸关的难题：

当企业号接近项链星云系统中一颗迄今未知的行星时，乌胡拉中尉被赋予了她的第六次地面任务。她的八名船员登陆队被运送到行星表面进行探索。不幸的是，进取号被拉走以响应求救信号，登陆队独自一人。

尽管船员们未能发现任何智能生命的踪迹，但行星上仍居住着 Catenati，这是一个拥有先进隐形技术的先进文明。 Catenati 俘虏了 Uhura 的登陆队，并以他们擅闯为由对其进行了审讯。

（例如，在上图中，玩家a最初在基地 C，所以她跑并取代 E 上的c 。接下来， c跑并取代e 。由于e在 A 上，他去空基地 C玩家a所在的位置，因此完成了一个长度为 3 的循环。事实证明，其他三个玩家b 、 d和f形成另一个长度为 3 的循环。这样就完成了一轮。在这种情况下，他们的跑步路径形成了一个六-尖星，但许多其他模式也是可能的。）

“虽然我们经常有四、五或六条腿的循环，但有很多回合没有超过三条腿的循环，”Uhura 回忆道。

在给定的一轮中，如果孩子们玩得正确，那么没有大于长度 3 的循环的概率是多少？

如果您遇到困难，请单击下面以显示提示。

点击提示：

谜题 3

回到故事：

“对，就是那样！”乌呼拉叫道。 “如果我的计算是正确的，我们有超过 35% 的机会获得自由。”

你能解释一下上面的游戏建议的策略是什么，以及它如何将登陆方的自由几率从不到 1% 提高到 35% 以上？

谜题 4

随着我们的故事继续进行，事实证明，其中一名 Catenati 对Enterprise船员特别反感，并正在远程监控他们。他怀疑他们已经根据乌呼拉的图表想出了一些有效的策略。他决心在轮盘赌开始前溜进房间并故意改变按钮标签的顺序来挫败他们的计划。他能成功地挫败这个计划吗？登陆方有什么要特别小心隐瞒的？

谜题 5

随着登陆方的规模无限增加，最大成功百分比接近什么限制？你能解释一下为什么这种方法比随机按下按钮更有效吗？

正如《未来史记》中记载的那样，乌呼拉的计划被执行了，带着一点好运气（但不是太多），船员们逃脱了，继续探索其他陌生而危险的世界。

这就是我们的太空冒险。快乐的困惑，愿你的大脑达到曲速。

编者注：在评论部分提交最有趣、最有创意或最有见地的解决方案（由专栏作家评判）的读者将获得Quanta 杂志T 恤或两本 Quanta书籍之一， Alice 和 Bob Meet the Wall of Fire或素数阴谋（获胜者的选择）。如果您想为未来的 Insights 专栏推荐一个最喜欢的谜题，请将其作为评论提交，并明确标明“NEW PUZZLE SUGGESTION”。 （不会出现在网上，所以上面的谜题的解决方案应该单独提交。）