“事实证明，高斯和是神奇的，因为天知道是什么原因，它们只是做了很棒的事情。”
Quanta 杂志的 Kristina Armitage
1950 年代初，高等研究院的一组研究人员着手开展一项高科技项目。在约翰·冯·诺依曼和赫尔曼· 戈德斯汀的要求下，物理学家海德维格·塞尔伯格对 IAS 的 1,700 个真空管计算机进行了编程，以计算其起源可以追溯到 18 世纪的奇怪数学和。
这些和与以著名数学家卡尔·弗里德里希·高斯命名的二次高斯和有关。高斯会选择一些素数p ，然后总结形式的数字 .自成立以来，二次高斯和已被证明对于计算某些类型方程的解等任务非常宝贵。布朗大学的数学家杰弗里霍夫斯坦说：“事实证明，高斯和是神奇的，它们只是做了很棒的事情，天知道是什么原因。”
在 19 世纪中叶，德国数学家 Ernst Eduard Kummer 正在玩弄这些二次高斯和的近亲，其中指数中的n 2被n 3取代。 Kummer 注意到他们倾向于以惊人的程度收集接近特定的值——这一敏锐的观察将导致数世纪的数论研究。
如果三次高斯和不被改造成一个更简单的公式，它们的值就很难推断出来。由于缺乏这样的公式，库默开始计算三次高斯和——然后计算，再计算。德克萨斯 A&M 大学的数学家Matthew Young说：“当时，他们手工进行这种英勇的计算非常普遍。”经过 45 次求和，对应于前 45 个非平凡素数，Kummer 最终放弃了。
调查他的结果，库默发现了一些有趣的事情。理论上，总和可以是介于 -1 和 1 之间的任何值（在“归一化”之后——除以一个合适的常数）。但是当他进行计算时，他发现它们的分布方式很奇怪。一半的结果在 ½ 和 1 之间，只有六分之一的结果在 -1 和 -½ 之间。它们似乎聚集在 1 附近。
Kummer 列出了他的观察结果和一个猜想：如果你设法绘制出所有无穷多个三次高斯和，你会看到它们中的大多数在 ½ 和 1 之间； -½ 和 ½ 之间更少； -1 和 -½ 之间的数量更少。
Selberg、von Neumann 和 Goldstine 开始在他们早期的计算机上进行测试。 Selberg 对其进行了编程，以计算所有小于 10,000 的非平凡素数的三次高斯和——总共大约 600 个和。 （Goldstine 和 von Neumann 将继续撰写这篇论文；她的贡献最终会归结为最后的致谢。）他们发现，随着质数变大，归一化和变得不太倾向于聚集在 1 附近。令人信服的证据表明库默的猜想是错误的，数学家开始尝试以一种超越单纯计算的更深层次的方式来理解三次高斯和。
该过程现已完成。 1978 年，数学家塞缪尔·帕特森（Samuel Patterson ）冒险解决了库默的数学之谜，但无法证明。然后去年秋天，来自加州理工学院的两位数学家证明了帕特森的猜想，终于结束了库默 1846 年的沉思。
1970 年代，帕特森在剑桥大学读研究生时第一次迷上了这个问题。他猜想的动机是当数字随机放置在 -1 和 1 之间时会发生什么。如果将这些随机数中的N个相加，总和的典型大小将是（可以是正面的也可以是负面的）。同样，如果三次高斯和从 -1 到 1 均匀分布，你会期望它们中的N加起来大约为
.
考虑到这一点，帕特森将N三次高斯和相加，忽略（暂时）坚持素数的要求。他发现总和大约是N 5/6——大于（可以写为N 1/2 ），但小于N 。这个值意味着总和的行为类似于随机数，但有一种微弱的力量将它们压向正值，称为偏差。随着N越来越大，随机性将开始压倒偏差，因此，如果您以某种方式一次查看所有无限多个三次高斯和，它们会显得均匀分布。
这似乎解释了一切：Kummer 的计算显示出偏见，以及 IAS 计算反驳了这一点。
但是帕特森不能对素数做同样的计算，所以在 1978 年，他正式把它写成一个猜想：如果你把素数的三次高斯和相加，你应该得到相同的N 5/6行为.
在谈到他在 Kummer 问题上的工作后不久，一位名叫 Roger Heath-Brown 的研究生联系了帕特森，他建议结合素数理论中的技术。两人联手并很快发表了关于这个问题的进展，但他们仍然无法证明帕特森预测的N 5/6偏差对于素数是准确的。
在随后的几十年里，进展甚微。最后，在千禧年之交，希思布朗取得了另一项突破，他开发的一种称为立方大筛的工具在其中发挥了重要作用。
为了使用立方大筛，Heath-Brown 使用了一系列计算将立方高斯和的总和与不同的总和联系起来。使用这个工具，Heath-Brown 能够证明，如果将小于N的素数的三次高斯和相加，结果不会比N 5/6大很多。但他认为他可以做得更好——筛子本身可以改进。如果可以的话，它将精确地降低到N 5/6的界限，从而证明帕特森的猜想。在短短的一行文字中，他勾勒出了他认为最好的筛子配方。
即使有了这个新工具，数学家也无法进一步前进。 20 年后，加州理工学院博士后Alexander Dunn和他的导师Maksym Radziwił的一次幸运相遇标志着结束的开始。在邓恩于 2020 年 9 月上任之前，拉齐维乌提议他们一起研究帕特森的猜想。但随着 Covid-19 大流行仍在肆虐，研究和教学远程继续进行。最终，在 2021 年 1 月，当两位数学家在帕萨迪纳的停车场意外撞到对方时，机会——或命运——介入了。 “我们亲切地聊了聊，我们同意我们应该开始开会讨论数学，”邓恩在一封电子邮件中写道。到 3 月，他们正在努力研究帕特森猜想的证明。
“工作令人兴奋，但风险极高，”邓恩说。 “我的意思是，我记得连续四五个月每天早上 5 点来我的办公室。”
Dunn 和 Radziwiłł 和他们之前的 Heath-Brown 一样，发现立方大筛子对于他们的证明是必不可少的。但是当他们使用 Heath-Brown 在他 2000 年的论文中写下的公式时——他认为这是最好的筛子，数论界已经开始相信的猜想是正确的——他们意识到有些不对劲. “经过非常非常复杂的工作，我们能够证明 1 = 2，”Radziwiłł 说。
那时，拉齐维乌确信这是他们的错误。 “我有点相信我们的证明基本上有错误。”邓恩以其他方式说服了他。立方大筛，出乎意料，无法改进。
凭借立方大筛的正确性，邓恩和拉齐维乌重新校准了他们对帕特森猜想的方法。这一次，他们成功了。
“我认为这是没有人这样做的主要原因，因为这个 [Heath-Brown] 猜想误导了所有人，”拉齐维乌说。 “我想如果我告诉 Heath-Brown 他的猜想是错误的，那么他可能会想办法做到这一点。”
Dunn 和 Radziwiłł 于 2021 年 9 月 15 日发表了他们的论文。最后，他们的证明依赖于广义黎曼假设，这是一个著名的未经证实的数学猜想。但其他数学家认为这只是一个小缺点。 “我们希望摆脱这种假设。但无论如何，我们很高兴得到一个有条件的结果，”现在是牛津大学名誉教授的希思-布朗说。
对于希思-布朗来说，邓恩和拉齐维乌的工作不仅仅是对帕特森猜想的证明。凭借对立方大筛子的出人意料的洞察，他们的论文为他参与了数十年的故事带来了令人惊讶的结局。 “我很高兴我实际上并没有在我的论文中写道，’我相信人们可以摆脱这个，’”他说，指的是邓恩和拉齐维乌发现的那块筛子是必不可少的。 “我只是说，‘如果能摆脱这个就好了。看来你应该能够做到。我错了——不是第一次。”