立方公式的肮脏过去

历史上充满了背叛的竞争：爱迪生和特斯拉、哈丁和凯瑞根、图帕克和比吉。同样引人注目的是 16 世纪意大利数学家 Gerolamo Cardano（一位才华横溢但陷入困境的博学家）与 Niccolò Fontana 之间的冲突，后者更为人所知的是 Tartaglia（意思是“结巴的人”，因一名法国士兵的剑造成青少年面部受伤）。中心问题：三次方程。

大多数高中生都知道如何解二次方程，例如，使用二次公式。它指出解决方案或根源是

.

对于更高次的方程（具有更大的x 幂）是否有类似的公式？本质上，确定这一点是卡尔达诺、塔尔塔利亚和他们同时代人面前的任务。

我们所知道的现代代数——像上面那些抽象的符号表达式以及操作它们的熟悉方式——可以追溯到 17 世纪，比这些学者的时代晚了很久。但是代数思维，以及求解我们认为的线性和二次方程的能力，在过去的几千年里发展缓慢。

在 16 世纪，代数方程仍然以修辞方式表达——用文字而不是符号——所有系数都必须是非负的，因为数学家不承认负数是合法的。没有未知变量x的概念，三次方程的形式为相反，被描述为“立方体和事物等于一个数字”，这被视为不同于“一个立方体等于事物和一个数字”， .因此，虽然今天我们将查看解决方案作为一个问题，当时它被视为十几个不同的问题，等号的一侧或另一侧有术语，或者完全不存在。

如果没有现代符号代数，数学家将进行几何推理。例如，我们可以查看熟悉的表达式就是说边长的正方形的面积等于边长为a 的正方形、边长为b的正方形和两个正方形的面积之和 矩形。

同样，将边长为t的立方体分解为六个盒子表明

（只要）。

Scipione del Ferro 是 16 世纪初博洛尼亚大学的教授，他首先在求解三次方程方面取得了重大进展。不幸的是，由于当时一种奇怪的学术保密文化，我们并不知道他的所有成就。与其争先恐后地发表他们的工作并沉浸在证明定理或解决问题的认可中，学者们会在“数学决斗”中相互挑战。他们会互相发送具有挑战性的问题，解决最多的人就是胜利者。获胜者通常会获得职业发展和更多的学生。因此，发现有时会被保留，秘密武器将在未来的比赛中部署。

但我们确实知道 del Ferro 可以求解以下形式的方程，当c和d为正时。没有平方项的三次方程，例如这个，称为“压抑三次”。虽然没有 16 世纪的数学家会这样表达，但德尔费罗证明了一个根是

这个现代公式适用于任何凹陷三次，但由于系数上具有不同符号的三次方程被认为是不同的问题，德尔费罗的解决方案不会自动延续到其他凹陷三次。我们只知道 del Ferro 可以解这些三次方程，因为他将这项技术教给了他的学生 Antonio Fior，他吹嘘在 del Ferro 死后他可以解这些方程。

与此同时，自学成才的塔尔塔利亚发现了如何求解另一种形式的立方——其中缺少线性项cx 。这为 Fior 和 Tartaglia 之间的数学决斗奠定了基础。 1535年，他们在一个半月的期限内交换了30个问题。 Tartaglia 给了 Fior 各种各样的问题，而数学上较弱的 Fior 采用了“一个篮子里的所有鸡蛋”策略，并给了 Tartaglia 30 个抑郁立方。就在截止日期前几天，塔尔塔利亚想出了如何解决这些问题，并在两个小时内完成了所有 30 个问题。与此同时，Fior 没有解决他的任何问题。塔尔塔利亚的成就的消息传遍了整个意大利，而菲奥受到了羞辱，从人们的视线中消失了。

普遍的看法是解三次方是不可能的，所以塔尔塔利亚的成就震惊了卡尔达诺。此时，卡尔达诺是一位备受追捧的医生，但脾气暴躁，一个接一个的麻烦缠身。他赌博，他与行为不端的儿子作斗争，他在宗教裁判所期间被判入狱等等。然而，他最终在数学、医学、哲学、宗教、音乐和物理学方面做出了贡献。几十年后，戈特弗里德·莱布尼茨写道：“卡尔达诺是一个有着所有缺点的伟人；没有他们，他将是无与伦比的。”他的作品集长达 7,000 页，其中包括对概率论的第一次认真研究。

卡尔达诺试图用立方复制塔尔塔利亚的成功，但失败了，所以他开始施压以说服塔尔塔利亚分享他的方法，甚至承诺保密：

我以神圣的福音向你发誓，并以我作为一个绅士的信念向你发誓，如果你告诉我，不仅永远不要公布你的发现，而且我还承诺并保证我作为一个真正的基督徒的信念将它们以密码记录下来这样在我死后没有人能够理解它们。

最终，在 1539 年，塔尔塔利亚心软了，并与卡尔达诺分享了他的抑郁三次方技术，但他没有分享它有效的证据。然而，对于聪明的卡尔达诺来说，仅仅知道这个方法就足以发现潜在的数学。不久之后，卡尔达诺就能解出任何压抑的三次方。然后他观察到替换

进入产生一个带有变量t 的凹陷三次.通过求解t的方程并将其代入代入公式，他可以找到x。因此，卡尔达诺能够解出每一个三次方程。

尽管他向塔尔塔利亚发誓，卡尔达诺还是将这些结果传授给了他才华横溢的助手卢多维科·法拉利。虽然他最初是卡尔达诺的仆人，但法拉利最终成为卡尔达诺的数学平等。通过帮助卡尔达诺研究立方，他在代数方面变得如此熟练，以至于他发现了如何将任何四次方程（4 次方程之一）简化为立方。因此，卡尔达诺和法拉利可以求解任何四次或更少的方程。

卡尔达诺认识到这些成就的重要性，并迫切希望公布结果。但既然都是塔尔塔利亚种下的种子，那么就违背了他的誓言。

然后，在 1543 年去博洛尼亚的一次旅行中，卡尔达诺在德尔费罗的笔记本上看到他在塔尔塔利亚之前已经解决了抑郁立方。在卡尔达诺看来，这一发现使他摆脱了对塔尔塔利亚的义务。两年后，卡尔达诺出版了Ars Magna （伟大的艺术），其中包含他和法拉利在三次方程和​​四次方程方面的工作。

塔尔塔利亚很生气，尽管卡尔达诺在书中承认了他的工作。塔尔塔利亚指责卡尔达诺盗窃和违反神圣誓言。卡尔达诺将责备留给了他忠诚的攻击犬法拉利。以公开小册子的形式进行的激烈来回持续了数月，导致塔尔塔利亚和法拉利之间的数学决斗，最终在法拉利的家乡米兰举行了公开辩论。塔尔塔利亚宁愿与受人尊敬的卡尔达诺作战，但卡尔达诺拒绝了。细节很少，但对于塔尔塔利亚来说，这场辩论非常糟糕，尤其是在喧闹的家乡人群中。第二天，到了继续辩论的时候，塔尔塔利亚已经无处可寻——他已经离开了米兰。

法拉利的工作机会泛滥成灾，塔尔塔利亚的名声也毁了。尽管有许多与立方无关的显着成就，塔尔塔利亚还是身无分文地死去，而且在很大程度上不为人知，而卡尔达诺却获得了永恒的名声。许多人认为Ars Magna的出版标志着现代数学的开始。

征服了三次方程和​​四次方程后，数学家想知道它们能走多高。事实证明，不是很远。

五次方程（5次多项式）的故事也很精彩，它有一个令人震惊的结论：一般来说，不可能表达就a 、 b 、 c 、 d 、 e和f而言，仅使用加法、减法、乘法、除法和n次根。例如，多项式有大约的根 ，但这些工具无法表达确切的值。

Niels Abel 于 1824 年首次全面证明了这一事实，比Ars Magna 晚近三个世纪。然后，在 1830 年，18 岁的政治煽动者 Évariste Galois 扩展了这项工作，给出了任何次数的多项式何时可解的精确标准。尽管伽罗瓦在两年后的一场决斗中死去（一次是用枪而不是数学打架），但他对数学的贡献是巨大的。

这些不可能的结果并不是故事的结局。数学家仍在研究多项式、它们的根和它们的性质。举一个例子，大卫希尔伯特在 1900 年提出的一个著名问题是关于七次多项式的根。它被认为在 1950 年代已得到解决，但现在 又重新引起人们的兴趣。据推测，现代数学家可以在这个问题上取得进展，而无需重新创建围绕立方的竞争。