数学家如何理解混沌

1885 年，瑞典国王奥斯卡二世宣布了一项由四个数学问题组成的公开挑战。法国博学家亨利庞加莱专注于一个与天体运动有关的问题，即所谓的n体问题。我们的太阳系会无限期地继续其时钟般的运动，行星会飞入虚空，还是会坍缩成炽热的太阳死亡？

庞加莱的解决方案——表明至少有一些系统，如太阳、地球和月球，是稳定的——赢得了享有盛誉的奖项，并于 1889 年印刷了一篇随附的文章以供分发。不幸的是，他的解决方案是不正确的。

庞加莱承认了他的错误，并付钱销毁了他的解决方案的副本（这比奖金还贵）。一个月后，他提交了一个更正的版本。他现在看到，即使是只有三个物体的系统也可能表现得过于不可预测——太混乱——无法建模。于是开始了动力系统领域。

对于我们的目的，动态系统只是一个函数，其可能的输出也可以是输入。这使我们能够反复插入函数的输出，从而允许不断变化的行为。正如庞加莱的工作所表明的那样，这个简单的前提可以产生如此复杂和随机的例子，以至于它们实际上被称为混沌。

大约 70 年后，一种理解庞加莱结论并为混乱带来秩序的优雅方式出现了。在才华横溢的年轻拓扑学家（以及未来的菲尔兹奖章获得者）斯蒂芬·斯梅尔（Stephen Smale）写了他关于动力系统的第一篇文章后不久，他收到了一封信，让他发现了一个相对简单且普遍存在的函数，它解释了庞加莱在三体问题中观察到的混沌。斯梅尔称之为马蹄铁。

3的轨道和都接近吸引不动点.

在这个例子中，我们称一个吸引固定点：一个固定点，因为它产生固定的轨道,,……吸引，因为它像黑洞一样吸进附近点的轨道。

但同样，并非所有动力系统都表现出如此简单和可预测的行为。动力系统的轨道可以周期性地循环通过一组有限的点，向无穷大前进，或者没有明显的顺序。

为了理解这些对混沌系统至关重要的概念，请考虑一个特别有启发性的示例，称为帐篷图T ，它定义了介于 0 和 1 之间的x值。就像糖果制造商拉太妃糖一样，它将间隔拉伸到其长度的两倍，将其对折，并将其设置回原始间隔。这意味着 0 和 1 都映射到 0，并且映射到 1。因为 tent map 产生的值也在 0 和 1 之间，所以它可以是一个动态系统。与牛顿法一样，迭代函数意味着重复拉伸和折叠的过程。

帐篷地图，由等式描述 + 1，拉伸和折叠区间 [0, 1]。迭代函数对应于重复的拉伸和折叠。

正如在例如，帐篷地图有固定点，0 和 .但它也有一个在两点之间交替的轨道， 和 — 我们称之为周期 2 轨道 — 和周期 3 轨道，它循环通过 , 和 .令人惊讶的是，因为帐篷地图有一个点产生周期为 3 的轨道，我们可以证明它有每个周期的点——无论你选择什么正整数，都会有一个重复的轨道，路径中有那么多停靠点.

第一个发现实数线上函数这一事实的是乌克兰数学家亚历山大·沙尔科夫斯基。然而，他 1964 年关于该主题的论文在东欧以外仍然不为人知，直到 1975 年马里兰大学数学家李天一和詹姆斯·约克独立重新发现它时，结果才为人所知。他们证明了这样一个动力系统也有轨道没有可辨别的模式，例如点的轨道– 1 用于帐篷地图。他们写道， “周期 3 意味着混乱”，在此过程中创造了数学术语“混乱”。

的轨道– 1 为帐篷地图显示没有清晰的图案。

更有趣的是，即使这些点– 1 和– 0.999 靠得很近，它们的轨道很快分开：例如， T ⁹ (– 1) = 0.07734 而T ⁹ (– 0.999) = 0.58934。这种现象被称为“对初始条件的敏感依赖”，或者更通俗地说是蝴蝶效应。小的初始变化可能导致大的结果变化。正如数学家和气象学家 Edward Lorenz 所说，“巴西蝴蝶的翅膀拍打会不会在德克萨斯州引发龙卷风？”虽然混沌没有固定的定义，但这种敏感的依赖是它的标志之一。

为了帮助理解这些混乱的系统——以及 Smale 的马蹄铁——让我们使用一开始可能看起来很粗糙的技术。首先，将可能值的区间分成标记为 L 和 R 的两半。然后，随着轨道的前进，只需注意下一次迭代落在哪一半上。这个序列是轨道的“行程”。例如，周期 3 轨道的行程是 LLRLLRLLR… 因为和在 L 和在 R 中。– 1 开始 LRLRRRRRLL。

帐篷地图下，点产生一个周期为 3 的轨道，其行程为 LLRLLRLLR…，并且点– 1 生成以 LRLRRRRRLL 开头的行程…

用他们的路线来表示轨道看起来像是信息的巨大损失，但事实并非如此。这是因为 L 和 R 的每个可能序列都对应一个且仅一个点。的轨道是唯一一个有行程 LLRLLRLLR…，例如。此功能为分析帐篷地图的动态提供了方便的工具。它揭示了当它们的行程是周期性的时候，这些点是周期性的。它还允许我们从任何给定的行程中确定一个点的精确位置。

现在让我们将帐篷地图的想法扩展到更多维度，最终满足 Smale 的马蹄形函数h 。从一个正方形开始，将其拉伸成一个细长的矩形，将其折叠成马蹄形，然后将其放在原来的正方形上。

Smale 的马蹄形地图在其自身上延伸并折叠了一个正方形。

与所有动力系统一样，我们可以迭代这个过程——拉伸、折叠、拉伸、折叠、拉伸、折叠——在马蹄铁中产生马蹄铁。

迭代 Smale 的地图会产生马蹄铁内的马蹄铁。

马蹄形图是可逆的——除了知道点x的去向，如h ( x ) 所描述的那样，我们还知道它来自哪里，如h ^-1 ( x ) 所描述的那样。将h ^-1应用于原始正方形会产生与第一个正方形成直角的新马蹄形。如果您继续前进，您将在新马蹄铁内获得更多马蹄铁。

现在将这些地图的图像放在一起：

马蹄形图是可逆的，产生两组垂直的马蹄形。

有一组点，我们称之为H ，它由所有水平和垂直马蹄铁的交点组成。这就是有趣的动作发生的地方。

始终保持在正方形内的高度不连贯的点集H是h和h ^-1的所有嵌套马蹄铁的交集。

就像帐篷地图一样，马蹄地图可以使用行程进行分析。让我们将 L 定义为垂直马蹄形的左侧，将 R 定义为右侧。

我们将马蹄形的左臂和右臂分别表示为 L 和 R，并使用这些标签来生成H中的轨道路线。

现在，如果我们取H中的任何一点，我们就可以计算其前向轨道的行程。而且因为马蹄铁是可逆的，我们也可以确定后向轨道的行程。

例如，假设我们从 L 区域中的一个点开始，当我们运行前向轨道时，我们会得到 LRRLRR……，一直到无穷大。当我们运行后向轨道时，我们得到 LRRLRR……。所以我们可以把它的行程写成…LRRLRRLRRLRR…，下划线表示我们的起点。这是一个周期 3 轨道。

现在对H中的每个点执行此操作。

马蹄铁每个周期都有周期点，周期体现在行程中。

有了这些行程，我们就有了马蹄形地图的完整描述——我们完全理解它——尽管（就像帐篷地图一样）它具有混乱的动态：每个时期的点、对初始条件的敏感依赖等等。

现在我们可以看到斯梅尔的马蹄铁如何更清楚地描述庞加莱三体问题中的混沌。在他混乱的马蹄铁中，一定有一个固定点（我们称之为p ）与行程……LLLLLLL……，因为每个可能的行程都存在点。这意味着还必须有一点——让我们称之为q——与行程……LLLRLLL……。这个点的前向轨道接近p （我们说“进入未来”），它的后向轨道也接近（“进入过去”）。

在 Smale 的马蹄铁中，点q和行程 …LLLRLLL…，在未来和过去都接近固定点p ，行程 …LLLLLLL…。

同时，庞加莱观察到某些函数的不动点具有吸引和排斥的方向。这意味着有一条点曲线向固定点移动，就像静脉将血液送回心脏，还有一条点曲线移开，就像动​​脉将血液送入体内。如果这些曲线相交，则称为同宿点的交点具有奇怪的特性，即它们在未来和过去都接近固定点。

点q是同宿点，因为它在前后时间都接近固定点p 。当这种情况发生时，曲线会产生同宿缠结并表现出混乱的行为——就像马蹄形一样。

Smale 指出q是一个同宿点，因为它的轨道在未来和过去都接近p 。至关重要的是，斯梅尔也证明了相反的情况：如果你有一个同宿点（就像庞加莱所做的那样），那么你就有一个马蹄铁。既然我们知道马蹄铁是混沌的，庞加莱的系统也一定是同样混沌的。换句话说，庞加莱的复杂系统——以及任何具有同宿点的系统——表现得像斯梅尔的更简单的系统。了解马蹄铁，你就能掌握混乱本身。

Smale 还证明了这种混乱是稳健的。如果我们将正方形映射到稍有不同的马蹄形，则生成的地图将具有相同的混沌行为。尽管系统中存在局部不稳定，但全局行为非常稳定。也就是说，即使在很小的扰动下，这种混乱也不会转瞬即逝。混沌本身被证明是稳定的。

混沌理论将继续引起公众的注意。它在 1986 年《科学美国人》的一篇文章中被描述为“科学建模的新范式”，詹姆斯·格莱克 1987 年的畅销书《混沌》的副标题是挑衅性的：“创造新科学”。流行文化中出现了混乱，例如 1990 年的小说侏罗纪公园和汤姆·斯托帕德 1993 年的戏剧《阿卡迪亚》。

虽然一些数学家对这种炒作感到愤怒——毕竟动力系统并不是什么新鲜事——但混沌系统对数学和科学的影响是深远的。混沌的存在表明，即使在确定性系统中，由于其对初始条件的敏感依赖，我们也可能无法准确预测未来。但是由于像 Smale 的马蹄铁这样的工具，我们仍然可以从这些系统中提取有用的信息。