表面如此不同，即使是第四维也无法使它们相同

在几何和密切相关的拓扑领域中，添加空间维度通常会产生奇妙的效果：以前不同的对象变得无法区分。但是一项新的证明发现，有些物体的差异是如此明显，它们不能再多一点空间就被抹去。

该作品于 5 月底发布，解决了Charles Livingston在 1982 年提出的关于被称为 Seifert 表面的二维物体的问题。利文斯顿知道，许多对特定类型的 Seifert 曲面在位于 3D 空间的狭窄范围内时是不同的，但在有更多空间移动它们的 4D 空间中变得等价。

斯坦福大学和克莱数学研究所的玛吉米勒说：“拓扑学中很常见的事情是，当你有一些有趣的东西并添加额外的维度时，它可能不再有趣了，”与凯尔海登 ( Kyle Hayden ) 的新证明的合著者。哥伦比亚大学、首尔国立大学的Seungwon Kim 、韩国科学技术高等研究院的JungHwan Park和布林莫尔学院的Isaac Sundberg 。

在双孔圆环表面上描绘的一个结创建了两个互补的 Seifert 表面，此处以粉红色和紫色显示。

Livingston 的问题是关于 Seifert 曲面之间的等价性。具体来说，他对可以逐渐变形以看起来完全一样的表面感兴趣，例如可以拉伸成椭圆形圆盘的圆形圆盘。以这种方式可以使彼此完全相似的任何两个表面称为同位素等效。

利文斯顿想知道是否存在任何来自同一个结（并且属于同一属——意味着它们具有相同数量的孔）的 Seifert 曲面对，它们在 3 维或 4 维空间中都不是同位素。在随后的几十年里，数学家们找不到任何在传输到更高维度后幸存下来的三维差异。

“我提出了这个问题，它在那里坐了 40 年，”利文斯顿说。

米勒去年首次对这个问题产生了兴趣。今年四月，米勒、海登和桑德伯格在罗德岛普罗维登斯参加了一次会议，他们发现自己在一个深夜交谈。米勒提到了她、金和朴为了证明利文斯顿猜想而想到的一对曲面。这些表面于 1975 年首次被发现，虽然没有人证明它们在四个维度上是同位素的，但也没有人反驳它。这些表面由一个有 19 个交叉点的结构成，看起来像彼此的偏移图像。

这些由同一个结形成的 Seifert 表面不能在三个或四个维度上相互转换。

为了确定像一对曲面这样的拓扑对象是否等价，数学家使用了各种测试。这些称为不变量的测试有多种形式。有些运行起来更复杂，对物体的感知更多；其他的更容易实现，但感知更少。

Hayden 和 Sundberg 最近使用称为 Khovanov 同调的不变量进行了一些令人兴奋的工作，该不变量使用代数来提取关于对象如何组合在一起的信息。这些计算可能很难执行，而且对于非常复杂的物体——比如有数百个交叉点的结——它们非常困难。但是对于 Miller、Kim 和 Park 想到的结和相关的 Seifert 曲面，它们非常容易处理。然后，确定两个曲面是否等价就变成了比较计算每个曲面的 Khovanov 同调不变量时得到的数字的问题。

“如果你知道数字不同，你就会知道表面是不同的，”Khovanov 说，他在 1990 年代后期开发了他的同名技术。

Hayden 和 Sundberg 观察了 Miller 引起他们注意的这对 Seifert 曲面，并很快表明他们的 Khovanov 同调不变量不匹配，证明曲面是不同的。

“事实证明，这些例子确实隐藏了很长时间，”海登说。

在这一点上，数学家已经解决了利文斯顿的问题——确定了一对在三维空间中不是同位素并且在四维空间中保持不变的塞弗特表面——但他们并没有就此止步。在海登和桑德伯格的消息的鼓舞下，该小组决定看看他们是否可以使用更基本的不变量来证明相同的结果。他们做到了，使用了拓扑学中一种称为分支覆盖的基本技术。

普林斯顿大学的Patrick Naylor说：“他们用大约一页数学来回答一个 40 年前的问题。” “这种情况并不经常发生。”

他们还继续确定了另外几对 Seifert 表面，这些表面在四维空间中不是某种意义上的同位素（它们不是“平滑”同位素），而是另一种意义上的（它们是“拓扑”同位素）。这种拓扑等价和平滑等价之间的区别不适用于三维空间，并且是四维空间的深层奥秘之一——尽管现在对于 Seifert 曲面来说不太如此。