舍入等于截断的神奇土地 – 搞英语 → 看世界

四舍五入的数字具有数量惊人的细节。这可能看起来微不足道，但与大多数事情一样，需要考虑的因素比显而易见的要多得多。我预计 IEEE 期刊中有数百甚至数千页专门讨论舍入问题。

舍入的复杂性的一个例子是威廉·卡汉（William Kahan）所说的“制表师的困境” ：一般情况下，没有办法提前知道需要多准确地计算一个数字才能正确舍入它。

在任何数字系统中，四舍五入都可能很微妙，但有一种替代数字系统，它比以 10 为基数的舍入要简单一些。它是以 3 为基数，但有所不同。我们不使用 0、1 和 2 作为“数字”，而是使用 -1、0 和 1。这被称为平衡三元系统：三元是因为基数为 3，平衡是因为数字关于 0 对称。

我们需要一个−1 的符号。一个常见且方便的选择是使用 T。想象一下将减号从 1 前面移到它的上面。现在我们可以将一天中的小时数表示为 10T0 因为

$1 \乘以3^3 + 0 \乘以3^2 + (-1)\乘以3 + 0 = 24$

描述数字x的平衡三元表示的更正式方法是一组系数t _k ，使得

$x = \sum_{k=-\infty}^\infty t_k 3^k$

限制是每个t _k都在集合 {−1, 0, 1} 中。

平衡三元表示有许多有趣的特性。例如，正数和负数都可以不带负号来表示。例如，请参阅 Brain Hayes 的优秀文章《三垒》。我们在这里感兴趣的属性是，要将平衡三进制数舍入到最接近的整数，只需去掉小数部分即可。舍入与截断相同。要看到这一点，请注意最大可能的小数部分是全 1 的序列，它代表 ½：

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots = \frac{1}{2}$

类似地，最负可能的小数部分是所有 T 的序列，它表示 -1/2。因此，除非小数部分恰好等于 1/2，否则截断小数部分会四舍五入到最接近的整数。如果小数部分恰好是1/2，则不存在最接近的整数，而是两个同样接近的整数。

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