从四边形的边长算出的面积 – 搞英语 → 看世界

上周， Heron 的公式出现在《意外的三角形》一文中。给定三角形的边长，三角形的面积有一个简单的表达式。

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

其中边是a 、 b和c ， s是半周长，即周长的一半。

四边形面积有类似的公式吗？是的，也不是。如果四边形是循环的，即存在一个穿过其所有四个顶点的圆，那么婆罗摩笈多四边形面积公式就是海伦三角形面积公式的直接推广。如果内接四边形的边长为a 、 b 、 c和d ，则四边形的面积为

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

其中s又是半周长。

但一般来说，四边形的面积并不仅仅由其边长决定。有一个更通用的表达式，即 Bretschneider 公式，它用边长和两个对角之和来表示一般四边形的面积。（任意一对对角相加所得的值相同。）

$A = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \, \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}$

在循环四边形中，对角 α 和 γ 之和等于 π，因此余弦项被删除。

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