离散泰勒级数 – 搞英语 → 看世界

牛顿插值公式看起来非常复杂，除非您引入正确的符号。如果符号正确，它看起来就像泰勒级数。这种表示法不仅更简单、更容易记住，而且还暗示了扩展。

我们需要的符号分为两部分。首先，我们需要前向差分算子 Δ 定义为

$\Delta f(x) = f(x+1) - f(x)$

及其扩展 Δ ^k通过将 Δ 应用于函数k次来定义。

我们需要的另一个符号是下降幂，用指数下方的小条表示：

$x^{\underline{k}} = x(x-1)(x-2) \cdots (x - k + 1)$

Δ 算子类似于微分算子D ，下降幂类似于普通幂。使用这种表示法，牛顿插值公式基于

$f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{\Delta^k f(a)}{k!} (x - a)^{\underline{k}}$

看起来类似于基于a的幂级数的泰勒公式

$f(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{D^k f(a)}{k!} (x - a)^k。$

牛顿公式适用于多项式，无限和实际上是有限和，因为对于超出某个点的所有k， Δ ^k f ( a ) 均为 0。

牛顿公式是泰勒公式的离散模拟，因为它仅使用离散点处的f值，即整数处（移位a ）并且仅涉及有限运算：有限差分不涉及极限。

收敛

正如我今天早上在@AlgebraFact上提到的，

将有限级数写为具有有限数量的非零系数的无限级数通常很有用。

这消除了显式跟踪术语数量的需要，并且可以建议下一步做什么。

将牛顿公式写成无限级数使我们不必写下线性插值的一个版本、二次插值的另一个版本、三次插值的另一个版本等等。（当您刚开始接触时，写出这些特殊情况是一个很好的练习。主题，但请记住接下来的无限级数版本。）

至于建议下一步做什么，很自然地会探索如果无限级数确实是无限的，即如果f不是多项式，会发生什么。级数在什么情况下收敛？如果它确实收敛到某个值，那么它是否一定在每个x处收敛到f ( x ) ？

示例f ( x ) = sin(π x ) 表明牛顿定理并不总是成立，因为对于该函数，当a = 0 时，牛顿定理右侧的级数完全相同为零，因为所有 Δ ^k项为零。但卡尔森定理 [1] 本质上是说，对于沿虚轴增长慢于 sin(π x ) 的整个函数，牛顿定理中的级数收敛于f 。

说一个函数是“完整的”意味着它在整个复平面上是解析的。这意味着上面的泰勒级数必须处处收敛才能使牛顿级数收敛[2]。