数学年

图论的重要一年

如果说 2023 年有一个数学领域特别富有成果的话，那就是图论。去年最大的数学发现之一是证明了拉姆齐数的新的、更严格的上限。这些数字衡量了图形在不可避免地包含称为派系的对象之前必须达到的大小。今年 3 月份宣布的这一发现是自 1935 年以来同类领域的首次进展。它涉及所谓的对称拉姆齐数。随后六月份针对更一般的不对称情况得出了新结果。

这两篇论文都涉及当图变得无限大时会发生什么。但广达也思考了中距离，看看数学家可以证明那些太大而无法使用蛮力分析但又小于无限渐近极限的图。

我们记录了有关互连振荡器网络如何同步以及图论如何与量子场论联系的新结果。我们报告了一项新发现，涉及以特定方式将称为向量空间的数学对象细分为称为设计的子集的可能性。我们的量化学院专栏作家 Patrick Honner 撰写了有关图的局部属性控制其全局结构的方式的文章。

广达还发表了有关两个长期存在的色彩问题的文章。其中一个探索了著名的四色定理的证明，该定理表明四种颜色足以为平面上的任何地图着色，以便没有两个相邻区域具有相同的颜色。另一个报道了一个不太为人所知但同样有趣的问题的新结果，该问题询问 平面的多少部分可以以确保没有两个恰好相距一个单位的点具有相同颜色的方式着色。

让组合猜想发挥作用

图论可以被认为是组合学的一个分支——计数的数学研究。在某种意义上，计算节点和边的集合可能发生的情况是更普遍地计算组合的一种特殊情况。

今年结束时，四位著名数学家对一个长期存在的猜想做出了具有里程碑意义的证明，该猜想将组合数学与集合的代数结构联系起来。

早在二月份，两位计算机科学家 Zander Kelley 和 Raghu Meka 就在一个古老的组合问题上取得了突破性的突破，震惊了数学家：你可以将多少个整数扔进一个桶中，同时确保不存在 3 个整数。它们形成均匀间隔的序列（如 3、8 和 13 或 101、201 和 301）？凯利和梅卡打破了长期以来存在的整数数量上限，即小于某个上限N的整数可以放入桶中，而无需创建这样的模式。

上个月，凯文·哈特内特 (Kevin Hartnett) 报道了另一位局外人在 2022 年 11 月发表的一篇论文，谷歌的研究员贾斯汀·吉尔默 (Justin Gilmer)几年前就离开了数学界，但从未停止思考一个称为并集闭猜想的组合问题。该猜想涉及 {1}、{1, 2}、{2, 3, 4}、{1, 2, 3, 4} 等集合族。该族是“联合封闭”的，因为如果您组合该族中的任意两个集合，则该组合也在该族中。吉尔默证明了这一猜想，如果一个家庭是联合封闭的，那么它必须至少有一个数字出现在至少一半的集合中。吉尔默使用了从信息论中得出的论点，该论点依赖于从满足某些特征的联合封闭族中随机选择两组。他的论点是如何使用随机性作为推断结构存在的工具的另一个例子。

相比之下， 凯文·哈特尼特 (Kevin Hartnett) 4 月份的一篇文章描述了一个例子，其中复杂但简单的结构令人惊讶地被证明是可能的。 Bernardo Subercaseaux 和 Marijn Heule 证明，可以用数字填充无限网格，只需使用 1 到 15 之间的数字，同一数字的两次出现之间的距离必须大于该数字本身。

Quanta 的长期撰稿人 Erica Klarreich 写到了所谓的不及物骰子的惊人流行。例如，三个骰子 A、B 和 C 组成的集合，其中 A 可能会击败（掷出的数字高于）B，B 可能会击败 C，C 可能会击败 A。一篇新论文表明，如果您只知道骰子 A 击败骰子 B 并且 B 击败骰子 C，则无法提供有关 A 或 C 在正面对决中是否可能获胜的信息。

数论中的新联系

也许与数学的任何其他领域相比，数论学家可以使用极其复杂的技术结构来证明听起来简单的定理。今年，广达带领读者参观了其中一些建筑。我们发布了模块化形式的深入视觉解释器，模块化形式被描述为数学的“第五种基本运算”，其他运算包括加法、减法、乘法和除法。我们带领读者踏上了二次互易的历史之旅，这是数论最强大的工具之一。模块化形式解释器的灵感来自于一篇关于所谓的非全等模块化形式的文章，这是一种研究较少的函数类型，但对物理学具有重大影响。

马克斯·利维（Max Levy）是二次互易解释器的作者，他在报道夏季关于圆可以形成的模式的令人惊讶的发现时对这个主题产生了兴趣。利维讲述了两名学生在暑期研究项目中如何帮助反驳了一个长期存在的猜想，即圆如何和谐地嵌套，即局部到全局猜想。这是今年展示计算工具在数学中日益实用的众多进展之一。学生们和他们的合著者首先通过仔细研究他们创建的计算机生成的图来发现该猜想是错误的证据，试图看看它是否有效。

模形式与椭圆曲线密切相关，椭圆曲线是两个变量的平滑函数，其中一个变量是平方，另一个是立方。 （这些函数还满足一些特定的数学约束。）两者之间的关系是 Andrew Wiles 1994 年证明费马大定理的核心。 Hartnett 撰写了关于研究人员对椭圆曲线关系的理解的进展，椭圆曲线是用从虚二次域中提取的变量（ a + b形式的数字）定义的其中a和b都是有理数或分数。

他还写了一篇期待已久的巨著——菲尔兹奖得主 Akshay Venkatesh 与 Yiannis Sakellaridis 和 David Ben-Zvi 共同撰写的 451 页手稿，详细阐述了与模形式和L函数相关的对象之间的进一步联系，这是一个重要的与素数有密切关系的无限和类型。

数论学家特别关注素数以及它们在其他整数中微妙而美丽的分布方式。有趣的是，如果你考虑它们无穷大，人们早就知道素数除以某个数字时会留下相同数量的余数 – 例如，如果你将所有素数除以 5，你将得到相同数量的余数为 1、2、3 和 4。但是数学家们一直在努力证明素数均匀化的速度有多快。十月份，我们报道了新一代数学家证明素数分布方式的定理。

我们还引入并重新引入了一款名为Hyperjumps的有趣数学游戏，该游戏通过挑战玩家使用基本算术创建简单的数字序列来探索结构与随机性之间的紧张关系。

长期搜寻后发现非周期性单瓦片

这对于几何学来说也是激动人心的一年。今年最引人注目的成果是发现了一种新型瓷砖，它以永不重复的图案覆盖平面。自 20 世纪 70 年代以来，两块瓷砖的组合就已为人所知，但由一位名叫 David Smith 的业余爱好者发现并于 3 月份宣布的单块瓷砖引起了轰动。粉丝们将这个简单的设计用作饼干切割器，并将其缝成被子。我们在新闻报道之后推出了一个专栏，解释了一些基础数学知识，另一个专栏则介绍了平铺的简要历史。

说到针，这也是挂谷猜想取得进展的一年，该猜想询问理想化的针在向各个方向旋转时可以占据多大的空间体积。该猜想的一个特殊情况（称为“粘性”挂谷猜想）的新证明有力地证明了更一般的猜想是正确的。

事实证明，这个猜想不仅对几何有影响，而且对调和分析和偏微分方程的研究也有影响。 后续解释者将研究这些含义。量化学院专栏将带领读者了解该猜想的基本逻辑。

在其他几何新闻中，一个长期存在的关于不同维度球体之间的地图的想法，称为望远镜猜想， 被证明是错误的。长期以来被认为不可能的特定类型的接触结构（满足某些数学特性的平面图案）最终被证明是存在的。

我们采访了艾米·墨菲（Emmy Murphy） ，一位研究此类接触结构的几何学家。墨菲将接触几何（及其兄弟，辛几何）描述为存在于刚性和柔性范围的中间。她说，在刚性几何中，很大程度上取决于精确的测量，而灵活的几何往往类似于代数。但她说，在这两者之间，“视觉思维更有用”。

一月份，数学家 Assaf Naor 和计算机科学家 Oded Regev 证明了所谓球形立方体的存在。这些物体的表面积增长缓慢——就像高维球体的表面积一样——但它们可以像立方体一样完全填充空间。

20 世纪最著名的几何学家之一尤金尼奥·卡拉比 (Eugenio Calabi) 于 9 月 25 日去世，享年 100 岁。他的一位长期同事杰里·卡兹丹 (Jerry Kazdan) 表示，卡拉比会“提出其他人没有想到的有趣问题”。我们对卡拉比的讣告探讨了这些问题，特别关注他最著名的发现——卡拉比-丘流形，它后来成为物理学弦理论的核心。

毕竟这是一个不稳定的世界

说到物理学，我们还发表了几项有关黑洞数学的新结果，这是特约作家史蒂夫·纳迪斯最喜欢的主题。他写了一篇新论文，该论文在更高维度中发现了无数种不同的黑洞形状，另一篇论文则阐明了黑洞边界的数学原理。

四月，我们描述了数学家如何与物理学家合作来理解量子场论中的新型对称性。

凯瑟琳·曼 (Kathryn Mann) 和托马斯·巴塞尔梅 (Thomas Barthelmé) 以及史蒂文·弗兰克尔 (Steven Frankel) 发表了一系列论文，描述平衡混沌与稳定性的称为阿诺索夫流的动力系统。在任何给定点，流动在一个方向上汇聚并在另一个方向上发散。

在这可能是今年最令人不安的数学文章中，我们报道了 Marcel Guàrdia、Jacques Fejoz 和 Andrew Clarke 的一系列三篇论文的新闻，这些论文表明模型太阳系中的行星轨道总是不稳定的。好消息是，他们的模型与我们的太阳系完全不同，尽管克拉克认为这里也可能存在类似的不稳定性。

但如果他们这样做了，他们不会很快将任何行星送出轨道，所以你可以期待 2024 年Quanta又一年的数学报道。