递归序列的惊人行为

在数学中，简单的规则可以解开复杂而美丽的宇宙。以著名的斐波那契数列为例，它的定义如下：它以1和1开始，后面的每个数字都是前两个数字之和。前几个数字是：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 …

是的，很简单，但这种不起眼的配方却产生了一种具有深远意义的模式，一种似乎与自然世界的结构交织在一起的模式。它可以从鹦鹉螺壳的螺纹、我们手指的骨头以及树枝上叶子的排列中看到。它的数学范围延伸到几何、代数和概率等领域。自从这个数列被引入西方八个世纪以来（印度数学家早在斐波那契之前就已经研究过它），这些数字继续吸引着研究人员的兴趣，这证明了即使是最基本的数列也可以有多么深的数学深度。

在斐波那契数列中，每一项都建立在其之前的项之上。这种递归序列可以表现出各种各样的行为，其中一些行为非常违反直觉。以美国数学家Michael Somos在 20 世纪 80 年代首次描述的一组奇怪的序列为例。

与斐波那契数列一样，索莫斯数列也是从一系列数开始。 Somos- k序列从其中的k个开始。 Somos- k序列的每个新项都是通过将前面的项配对、将每对相乘、将各对相加、然后除以序列中的第k个位置来定义的。

如果k等于 1、2 或 3，这些序列就不是很有趣——它们只是一系列重复的序列。但对于k = 4、5、6 或 7，序列有一个奇怪的特性。尽管涉及很多除法，但分数不会出现。

“通常我们不会出现这种现象，”索莫斯说。 “这是一个看似简单的递归，类似于斐波那契数列。但这种简单背后隐藏着很多东西。”

其他数学家继续揭示索莫斯序列与看似不相关的数学领域之间的惊人联系。 7 月份发表的一篇论文使用它们构建了微分方程组的解，该微分方程组用于模拟从捕食者与猎物相互作用到在高能等离子体中传播的波的一切。它们还用于研究称为簇代数的数学对象的结构，并与椭圆曲线相关——这是破解费马大定理的关键。

戈贝尔序列可以通过用立方、四次方甚至更高的指数替换和中的平方来推广。 （根据这种约定，他的原始序列称为 2-Göbel 序列。）这些序列还显示出一种令人惊讶的趋势，即从整数项的扩展延伸开始。 1988 年，Henry Ibstedt证明3-Göbel 数列（使用立方体而不是平方）的前 89 项是整数，但第 90 项不是整数。随后对其他戈贝尔序列的研究发现了更长的延伸。例如，31-Göbel 序列一开始就有多达 1,077 个整数项。

7月，九州大学数学家Rinnosuke Matsuhira、 Toshiki Matsusaka和Koki Tsuchida分享的一篇论文表明，对于k -Göbel序列，无论k如何选择，序列的前19项始终是整数。他们受到一部名为《Seisū-tan》的日本漫画的启发，开始研究这个问题，《Seisū-tan》的意思是“整数的故事”。漫画书中的一个框架要求读者找出N _k的最小可能值，即k -Göbel 序列停止产生整数项的点。三位数学家着手回答这个问题。松坂说：“整数在如此长的时间内出乎意料地持续存在，这与我们的直觉相矛盾。”“当与直觉相反的现象发生时，我相信总会有美丽的存在。”

他们发现了随着k增加而重复行为的模式。通过关注有限数量的重复案例，他们使计算变得容易处理，并且能够完成证明。

仔细观察序列N _k会发现另一个惊喜：如果它是纯随机的，那么N _k为素数的几率比您预期的要高得多。 “对于k -Göbel 序列来说，它们不仅是整数，这一点也很引人注目，”科罗拉多大学数学家理查德·格林 (Richard Green)说。 “值得注意的是质数出现的频率如此之高。这使得看起来可能发生了更深层次的事情。”

尽管新论文证明了N _k始终至少为 19，但尚不清楚是否始终是有限的，或者是否存在序列无限包含整数的k 。 N _{k 的}行为很神秘。 ……人们有一种理解其潜在模式的基本愿望，”松坂说。 “这可能类似于我小时候解决老师布置的谜题时感受到的快乐。时至今日，那些当时的感觉仍然萦绕在我的心头。”

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