介绍
设 $\mathbb{F}_3$ 为三个元素的域，$SL_2(\mathbb{F}_3)$ 为行列式为 $1$ 的 $2 \times 2$ 矩阵群。我们证明$SL_2(\mathbb{F}_3)$是$H_8$和$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$的半直积。
首先我们确定 $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 的基数。为此，我们考虑 $GL_2(\mathbb{F}_3)$ 并注意到 $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 是 $\det$ 函数的核心。
要确定 $GL_2(\mathbb{F}_3)$，请固定 $\mathbb{F}_3 \oplus \mathbb{F}_3$ 的基，并令 $A$ 为 $GL_2( \mathbb{F}_3)$。 $A$ 的第一列有 $3^2-1$ 个选择：我们只排除 $(0,0)^T$ 的情况。第二列有 $3^2-3$ 个选项。我们排除第一列的标量乘法给出的 $3$ 可能性，以防止线性相关。因此$|GL_2(\mathbb{F}_3)|=(3^2-1)(3^2-3)=48$。接下来考虑确切的顺序
我们得到$|SL_2(\mathbb{F}_3)|=|GL_2(\mathbb{F}_3)|/(\mathbb{F}_3)^\ast|=48/2=24$。
我们立即想到$SL_2(\mathbb{F}_3)\cong \mathfrak{S}_4$的可能性。是这样吗？
结构的测定
2阶元素
$\mathfrak{A}_4$ 中有 ${4 \choose 2}/2!=3$ 个阶 $2$ 的元素，即两个 $2$ 循环的乘积。然而，$SL_2(\mathbb{F}_3)$ 中有多少个 $2$ 阶的元素？设$A$为这样的元素，则$A^2 = I$。因此 $2$ 阶的所有元素都被多项式取消
如果 $A \in SL_2(\mathbb{F}_3)$ 的阶数为 $2$，则 $A$ 的最小多项式除以 $f(X)$，因此要么是 $X+1$ 要么是 $X^2 -1$。第二种情况是不可能的，因为 $f(X)$ 将是 $A$ 的特征多项式，因此 $A$ 具有特征值 $1$ 和 $-1$，因此行列式 $-1$。我们得到
命题1. $SL_2(\mathbb{F}_3)$中$2$阶的元素仅为$A=-I$。特别是，$SL_2(\mathbb{F}_3)$ 与 $\mathfrak{S}_4$ 不同构。
使用 Sylow 理论确定群
检查订单 $2$ 的元素并非凭空而来。由于 $24=2^3 \cdot 3$，因此查看 $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 的 $2$-Sylow 和 $3$-Sylow 子群是有意义的。西洛定理保证存在一个$3$阶子群，它只能是$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$。我们还确定$2$阶的子群是$\{-I,I\}$。接下来我们确定订单$8$的组。
4 阶元素
为了研究 $4$ 阶的元素，我们立即考虑多项式
令 $A \in SL_2(\mathbb{F}_3)$ 为阶 $4$ 的元素。那么$g(A)=0$。但由于 $A+I \ne 0$ 和 $AI \ne 0$，我们将考虑 $h(X)=X^2+1$。请注意，$h(X)$ 在 $\mathbb{F}_3[X]$ 中是不可约的，因此它是 $A$ 的最小多项式。由于$h$的次数为$2$，我们还可以看到$h(X)$是$A$的特征多项式。
从这个多项式我们可以看出$\mathrm{tr}(A)=0$。结合 $|A|=1$ 的事实，我们可以很容易地推断出阶 $4$ 的元素包括
我们特别有 $i^3=i^{-1}=-i$、$j^3=j^{-1}=-j$ 和 $k^3=k^{-1}=-k $。此外，$k=ij=-ji$。这些恒等式敲响了四元数的钟声。因此，我们将四元数群作为 $2$-Sylow 子群位于 $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 中：
还有其他 $2$-Sylow 子群吗？答案是不。为了看到这一点，让 $H’$ 是另一个 $2$-Sylow 群。那么SL_2(\mathbb{F}_3)$中存在一些$g，使得$H’=gH_8 g^{-1}$，它等于$H_8$，因为$K$中的所有元素都有顺序4 美元。
命题2.四元数群$H_8$可以作为唯一的$2$-Sylow群嵌入到$SL_2(\mathbb{F}_3)$中。特别是，$SL_2(\mathbb{F}_3)$没有$8$阶的元素。
3阶元素
令 $A \in SL_2(\mathbb{F}_3)$ 为阶 $3$ 的元素。然后它的最小多项式 $m(X)$ 除以 $X^3-1=(X-1)^3=(X-1)^2(X-1)$。由于$AI \ne 0$，我们必须有$m(X)=(X-1)^2=X^2+X+1$。我们还可以看到$A$的特征多项式也是$X^2+X+1$。特别是，我们看到$A$的迹是$-1=2$。然后我们可以选择
因此 $K=\{I,A,A^2\}$ 是 $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 的 $3$-Sylow 子群，它不是唯一的，因为例如我们也可以考虑该群由 $A$ 转置生成。
结论
注意 $H \cap K = \{1\}$ 因为 $\gcd(3,4)=1$。因此 $(x,y) \mapsto xy$ 给出的映射 $H \times K \to HK$ 是双射的。由于$H$也是正规的，我们可以安全地写$G=H\ltimes K$，因为$|HK|=|H||K|=24=|G|$。
参考
- Serge Lang，代数修订第三版
- 奥利维尔·塞尔曼， $SL_2(\mathbb{F}_3)$ 。