迈克尔·查普曼 (Michael Chapman) 是西蒙斯研究员协会的初级研究员。迈克尔·查普曼 (Michael Chapman)喜欢解决谜语和逻辑难题。这种热情是他追求数学事业的催化剂之一。作为以色列耶路撒冷希伯来大学的博士生，查普曼成为群论、对称性数学研究及其与理论计算机科学的各种联系方面的专家。例如，他研究了群体随机游走的动力学，该领域除其他外，还检查一副纸牌需要多少次洗牌才能正确“混合”。在最近的探索中，查普曼专注于群的性质测试问题及其与代数结构逼近论的关系。
查普曼是西蒙斯研究员协会的二年级初级研究员。他在纽约大学库朗数学科学研究所获得博士后职位，师从 Subhash Khot 和 Oded Regev。我们最近谈论了他目前的工作和博士成就，以及指导他今天工作的一般数学概念。
为了清晰起见，我们的对话已被编辑。
您的学术兴趣包括组合学、群论和概率。这些领域如何相互关联？
人们可以——而且许多人确实——分别研究这些主题中的每一个。但即使将这些主题放在一起研究，这种组合也会采取多种形式。组合学是对离散（通常是有限）对象的研究，例如图（在节点网络及其之间的连接的意义上）。群论关注对象的对称性。例如，正方形有八个对称性，而圆形有无限多个。在数学中，有限对称集合本质上既是“群论”又是“组合”，因此可以通过这两个领域的视角来研究。
关于对称性的一件有趣的事情是它们可以相互通勤或不通勤。在这种情况下，如果应用一对对称性的顺序提供相同的结果，则一对对称性彼此交换。
例如，假设您有一个时钟，其指针指向 12。然后您将时钟顺时针旋转 90 度，然后通过其（垂直）中间反射它。指针现在将指向 9。但是，如果您首先反映然后旋转，您会得到不同的结果：指针现在将指向 3。这意味着，对于时钟来说，并非所有对称性都相互交换。
概率论是对随机事件的严格研究，这是它可以发挥作用的一点：给定两个随机选择的对称性，它们通勤的可能性是多少？另一个有趣的随机事件如下：假设我开始一次又一次地抛硬币。每次正面朝上，我就把时钟旋转 90 度。但每次它出现反面时，我都会通过它的中间反射时钟。例如，抛掷 500 次硬币后，时钟指针的预期位置是什么？第二种类型的问题是我的一个博士项目的重点，其中你在一个对象上随机应用对称性并研究预期的行为。这些过程称为随机游走或醉酒游走，因为您可以将它们视为在对称图上以随机（或不清醒）方式行进。
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洗一副牌是对称性应用于这副牌的一个例子。当你洗一副牌时，你的目标是最终得到一个场景，其中牌的每个顺序都有相同的可能性。因此，洗牌时间越长，您就会期望越来越接近所有排序的理想均匀分布。这是事实，但令人惊讶的是，从远离均匀到接近均匀的转变突然发生。
这类似于相变的物理现象。水是 0 到 100 摄氏度之间的液体，这是一个很大的温度范围。但如果你把水从 1 摄氏度冷却到零下 1 度——仅仅两度的变化——它就会变成冰，这是全球行为的一个重大变化。
洗牌时也会发生同样的情况。洗牌过程中有很长一段时间，最终的牌组仍然很容易让人想起最初的顺序。但是，只需进行几次额外的洗牌，卡片就可以达到所有顺序的理想均匀分布。在随机游走的研究中，这种时间相变现象被称为“截止”。
我研究各种自然发生的随机游走中的截止现象。
这项工作与理论计算机科学有何关系？
随机游走出现在整个理论计算机科学中。所以，我上面描述的例子已经处于数学和计算机科学的风口浪尖。但我对计算机科学的关注来自不同的角度。进入博士学位后，我开始研究群论背景下的属性测试问题。这些问题至今仍然是我的主要兴趣。
属性测试器是一种快速、随机的算法，其目标是确定测试器没有时间彻底检查的大对象是否满足特定属性。例如，假设您要将所有 Instagram 用户分为 200 个组，这样同一组中的用户就不会相互关注。如果能做到这一点，我们会说 Instagram 是“200 种颜色”。确定情况是否确实如此需要大量的计算资源。但还有一种更简单的方法：从 Instagram 上随机抽取一小部分人，分析谁关注了谁，然后根据本地观点对 Instagram 上的所有人做出裁决。
显然，我们不能用这种方法来确定地推断 Instagram 是 200 色的。然而，我们可以构建我们的快速随机过程，使得 Instagram 距离 200 可着色越远，该过程发现这种不可着色属性的机会就越大。
事实证明，为群体之间的某些功能属性寻找良好的属性测试器具有深远的应用——无论是理论还是实践。计算机科学中的概率可检验证明领域以及代数结构的近似理论与这些问题密切相关。在我最近与 Oren Becker 的合作中，我们研究了服从群的 Blum-Luby-Rubinfeld线性或同态检验的广义版本，并证明，在这个更通用的设置中，它是一个很好的测试器。
同态是群之间的结构保持映射，它是群理论中的重要组成部分。目前，我研究了更有效的候选测试器来验证函数是否接近同态。受到量子信息理论中MIP *=RE 突破的启发，我和我的合作者最近设计了与纯数学中的重大开放问题（例如奥尔德斯-里昂猜想）相关的复杂性类。希望更好地理解这些复杂性类别可以解决纯数学中的这些问题。
最后，您对西蒙斯青少年奖学金有何看法？
当我攻读博士学位时，我有很多与我年龄相仿的同事。我们参加了很多社交活动，并且普遍分享了攻读博士学位期间的挣扎和胜利。
现在我长大了，有了妻子和两个年幼的女儿。我通常社交活动少得多。此外，博士后的生活往往更加个人主义。由于所有这些原因，西蒙斯研究员协会社区受到了热烈的欢迎。我找到了真正的朋友，希望他们在未来的岁月里继续成为我生活的一部分。
我也喜欢了解一般科学领域发生的事情，西蒙斯研究员协会使我能够做到这一点。我喜欢参加基金会每周举行的主席讲座，并享受与其他初级研究员非正式交谈的无数机会，无论是他们的工作、我的工作还是我们刚刚参加的讲座。总的来说，这是一次真正具有启发性的经历。