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可分离扩展可由根式解当且仅当它可解

Posted on 2023-10-21

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介绍

多项式在分析、几何和代数等各个领域都引起了极大的兴趣。给定一个多项式,我们尝试提取尽可能多的信息。例如,给定一个多项式,我们当然想找到它的根。然而这不太现实。阿贝尔-鲁菲尼定理指出,一般来说,求解 $\ge 5$ 次多项式是不可能的。例如,对于任意$n$,人们总是可以求解多项式$x^n-1=0$,但是尝试在$\mathbb{Q}$上求解$x^5-x-1=0$是不可能的。伽罗瓦表明,可解性通量取决于伽罗瓦群的结构,取决于它在理论上是否是可解群。

在这篇文章中,我们将探索现代意义上的可解性理论,考虑任意特征的扩展,而不仅仅是 $\mathbb{Q}$ 上的数域。

可解扩展

定义1.设$E/k$是可分离的有限域扩展,$K$是包含$E$的$k$的最小伽罗瓦扩展。如果 $G(K/k)$($K$ 在 $k$ 上的伽罗瓦群)可解,我们就说 $E/k$ 可解。

在整个过程中,我们将处理可分离的扩展,因为如果没有这一假设,我们将处理正常的扩展而不是伽罗瓦扩展。尽管我们会得到类似的结果。

命题 1.令 $E/k$ 为可分离扩展。那么$E/k$ 是可解的当且仅当存在可解的伽罗瓦扩展$L/k$ 使得$k \子集E \子集L$。

证明。如果 $E/k$ 可解,则只需将 $L$ 视​​为包含 $E$ 的 $k$ 的最小伽罗瓦扩展即可。相反,假设 $L/k$ 是可解的伽罗瓦方程,使得 $k \subset E \subset L$。令$K$ 为包含$E$ 的$k$ 的最小伽罗瓦扩展,即我们有$k \子集E \子集K \子集L$。我们看到 $G(K/k) \cong G(L/k)/G(L/K)$ 是 $G(L/k)$ 的同态图像,并且它必须是可解的。 $\平方$

接下来我们介绍一个关于字段扩展的重要概念。

定义2.设$\mathcal{C}$为某类扩展域$F\subset E$。如果$\mathcal{C}$满足以下条件,我们就说它是可区分的:

  1. 令 $k \subset F \subset E$ 为字段塔。当且仅当$k \subset F$在$\mathcal{C}$中并且$F \subset E$在$\mathcal{C中时,扩展$k \subset E$在$\mathcal{C}$中}$。
  2. 如果 $k \subset E$ 在 $\mathcal{C}$ 中并且 $F$ 是 $k$ 的任何给定扩展名,并且 $E,F$ 都包含在某个字段中,则 $F \subset EF$也在 $\mathcal{C}$ 中。这里$EF$是$E$和$F$的组合,即同时包含$E$和$F$的最小字段。
  3. 如果$k \subset F$和$k \subset E$在$\mathcal{C}$中并且$F,E$是公共字段的子字段,则$k \subset FE$在$\mathcal{C中}$。

当同时处理多个扩展时,最好考虑它们所属的扩展类。例如,伽罗瓦扩展是不区分的,因为普通扩展不满足 1。这就是为什么我们需要有基本的扩展伽罗瓦理论定理,又名伽罗瓦对应,因为并非所有中间子域都是伽罗瓦。然而,可分离的扩展是有区别的。我们引入这个概念是因为:

命题 2.可解的扩展形成了一个特殊的扩展类。 (注意,默认情况下这些扩展是有限且可分离的。)

证明。我们验证定义 2 中提到的所有三个条件。然而,为了使我们的证明更容易,我们首先验证 2。

Step 1.令 $E/k$ 可解。令 $F$ 为包含 $k$ 的域,并假设 $E、F$ 是某个代数闭域的子域。我们需要证明 $EF/F$ 是可解的。根据命题 1,存在伽罗瓦可解扩展 $K/k$,使得 $K \supset E \supset k$。那么 $KF$ 是 $F$ 上的伽罗瓦,$G(KF/F)$ 是 $G(K/k)$ 的子群。因此 $KF/F$ 是伽罗瓦可解扩展,并且我们有 $KF \supset EF \supset F$,这意味着 $EF/F$ 是可解的。

Step 2.考虑一个扩展塔 $E \supset F \supset k$。假设现在 $E/k$ 是可解的。那么存在一个包含$E$的伽罗瓦可解扩展$K$,这意味着$F/k$是可解的,因为$K \supset F$。我们看到 $E/F$ 也是可解的,因为 $EF=E$ 并且我们回到步骤 1。

相反,假设 $E/F$ 可解且 $F/k$ 可解。我们会找到一个包含$E$的可解扩展$M/k$。设 $K/k$ 为伽罗瓦可解扩展,使得 $K \supset F$,则 $EK/K$ 可通过步骤 1 求解。设 $L$ 为包含 $EK$ 的 $K$ 的伽罗瓦可解扩展。如果$\sigma$是给定代数闭包中$L$在$k$上的任何嵌入,则$\sigma K = K$,因此$\sigma L$是$K$的可解扩展。 【这句话值得解释一下。请注意,$L/k$ 不一定是伽罗瓦,因此 $\sigma$ 通常不一定是 $L$ 和 $\sigma L \ne L$ 的自同构。然而,由于 $K/k$ 是伽罗瓦,$\sigma$ 对 $K$ 的限制是自同构,因此 $\sigma K = K$。扩展 $\sigma L / \sigma K$ 是可解的,因为 $\sigma L$ 同构于 $L$ 且 $\sigma K = K$。]

我们让 $M$ 是 $L$ 在 $k$ 上的所有嵌入 $\sigma$ 的所有扩展 $\sigma L$ 的组合。那么 $M/k$ 是伽罗瓦,$M/K$ 也是伽罗瓦 [注:这是法向扩张的性质;此外,$M/k$ 是有限的]。我们有 $G(M/K) \subset \prod_{\sigma}G(\sigma L/K)$ ,它是可解群的乘积。因此 $G(M/K)$ 是可解的,这意味着 $M/K$ 是可解的扩展。我们有一个满射同态 $G(M/k) \to G(K/k)$ (由 $\sigma \mapsto \sigma|_K$ 给出),因此 $G(M/k)$ 有一个正规子群,其因子组是可解的,意味着 $G(M/k)$ 是可解的。由于 $E \subset M$,我们就完成了。

Step 3.如果 $F/k$ 和 $E/k$ 可解,并且 $E,F$ 是公共域的子域,我们需要证明 $EF$ 在 $k$ 上可解。通过步骤 1,$EF/F$ 是可解的。通过步骤 2,$EF/k$ 是可解的。 $\平方$

根式可解

定义2.设$F/k$是有限且可分离的扩张。如果存在包含 $F$ 的 $k$ 的有限扩展 $E$,并且承认塔分解,我们说 $F/k$ 是根式可解的

这样每个步骤 $E_{i+1}/E_i$ 都是以下类型之一:

  1. 它是通过邻接单位根而获得的。
  2. 它是通过将多项式 $X^na$ 的根与 $a_i \in E_i$ 和 $n$ 与特征素数相连而获得的。
  3. 如果$p$ 是特征$>0$,则通过将方程$X^pXa$ 的根与$a \in E_i$ 相连来获得它。

例如,$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})/\mathbb{Q}$ 可通过根式求解。我们考虑多项式$f(x)=x^2-2x+3$。我们知道它的根是 $x_1=-1-\sqrt{-2}$ 和 $x_2=-1+\sqrt{-2}$。然而,让我们从场论的意义上来看这个问题。请注意

因此$f(x)=0$ 等价于$(x-1)^2=-2$。那么 $\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$ 中的 $x-1=\sqrt{-2}$ 和 $x-1=-\sqrt{-2}$ 是两个完全有意义的方程。这样我们就得到了我们想要的根。域给了我们基本算术的自由,而根式扩展给了我们寻找根式根的方法。

很明显,根式可解的扩展类是一个杰出的类。

一般来说,我们添加“某物的$n$次根”。然而,当场的特征不为零时,会出现一些复杂情况。例如,谈论特征 $p>0$ 的字段中元素的 $p$ 根是行不通的。因此我们需要好好照顾这一点。第二类和第三类分别是对 Kummer 理论和 Artin-Schreier 理论的认可,它们是从希尔伯特定理 90 的加法和乘法形式推导出来的。我们通过介绍各自的定理来打断这篇文章。


令$K/k$ 为$n$ 次的循环扩展,即$K/k$ 是伽罗瓦,$G(K/k)$ 是循环的。假设$G(K/k)$是由$\sigma$生成的。然后我们就有了著名的“定理 90”:

定理 1(希尔伯特定理 90,乘法形式)。如上所述,令$\beta \in K$。范数 $N_{k}^{K}(\beta)=1$ 当且仅当 $K$ 中存在元素 $\alpha \ne 0$ 使得 $\beta = \alpha/\sigma\alpha $。

为了证明这一点,我们需要 Artin 的独立特征定理。由此,我们看到定义 2 中的第二种扩展是循环的。

定理2.设$k$为域,$n$为整数$>0$与$k$的特征素数,并假设$k$存在原初的$n$次单位根。

  1. 令$K$ 为$n$ 次的循环扩展。那么存在 $\alpha \in K$ 使得 $K = k(\alpha)$ 且 $\alpha$ 对于某个 $a \in k$ 满足方程 $X^na=0$。
  2. 相反,令$a \in k$。令$\alpha$ 为$X^na$ 的根。那么 $k(\alpha)$ 在 $k$ 上循环 $d|n$ 次,并且 $\alpha^d$ 是 $k$ 的一个元素。

总而言之,定理 2 指出 $a$ 的 $n$ 次根产生循环扩展。然而,我们不会放弃 $n$ 对于 $k$ 的特征是素数的假设。如果情况并非如此,我们将使用 Artin-Schreier 定理。

定理 3(希尔伯特定理 90,加法形式)。令 $K/k$ 为 $n$ 次的循环扩展。令 $\sigma$ 为 $G(K/k)$ 的生成元。令 $\beta \in K$。迹 $\mathrm{Tr}_k^K(\beta)=0$ 当且仅当 K$ 中存在元素 $\alpha \使得 $\beta = \alpha-\sigma\alpha$。

该定理需要字符独立性的另一种应用。

定理 4(Artin-Schreier)。令 $k$ 为特征 $p$ 的字段。

  1. 令 $K$ 为 $k$ 的 $p$ 次循环扩展。那么存在 $\alpha \in K$ 使得 $K=k(\alpha)$ 和 $\alpha$ 满足方程 $X^pXa=0$ 以及一些 $a \in k$。
  2. 相反,给定 $a \in k$,多项式 $f(X)=X^pXa$ 要么在 $k$ 中有一个根,在这种情况下,其所有根都在 $k$ 中,要么它是不可约的。在后一种情况下,如果 $\alpha$ 是根,则 $k(\alpha)$ 是 $k$ 上 $p$ 度的循环。

换句话说,我们不是查看特征 $p$ 域中的第 $p$ 个单位根,而是查看 $X^pXa$ 的根,它仍然会产生循环扩展。


现在我们已经准备好本文的核心定理了。

定理 5.令 $E$ 为 $k$ 的有限可分外延。那么 $E$ 是根式可解的当且仅当 $E/k$ 可解。

证明。首先我们假设$E/k$是可解的。那么存在 $k$ 的有限伽罗瓦可解扩展,其中包含 $E$,我们称之为 $K$。令 $m$ 为所有素数 $l$ 的乘积,使得 $l \ne \mathrm{char}k$ 但 $l|[K:k]$。设$F=k(\zeta)$,其中$\zeta$ 是原初的$m$ 单位根。那么 $F/k$ 是交换矩阵并且根据定义可通过根式求解。

由于可解扩展形成了一个杰出的类,因此我们看到 $KF/F$ 是可解的。 $F$ 和 $KF$ 之间有一个子域塔,使得每一步都是素数阶循环,因为每个可解群都承认一个循环群塔,并且我们可以使用伽罗瓦对应。由定理2和定理4,我们看到$KF/F$是根式可解的,因为素数阶的扩展已经由这两个定理确定了。由此可知 $E/k$ 可被根式求解: $KF/F$ 可被根式求解, $F/k$ 可被根式求解 $\implies$ $KF/k$ 可被根式求解 $\implies$ $ E/k$ 可以通过根式求解,因为 $KF \supset E \supset k$。


“if”部分的详细说明如下。为了证明 $E/k$ 是根式可解的,我们证明存在一个更大的域 $KF$ 包含 $E$,使得 $KF/k$ 是根式可解的。首先,存在一个包含$E$的有限伽罗瓦可解扩展$K/k$。接下来我们定义一个分圆扩展$F/k$,其意图如下

  1. $F/k$ 应该可以通过根式求解。
  2. $F$包含足够的单位原根,使我们可以自由地使用定理2。

为了实现这两个目标,我们决定设置 $F=k(\zeta)$,其中 $\zeta$ 是 $m$ 次单位根,$m$ 是 $[K:k]$ 除的根式必要时根据$k$的特征。该域 $F$ 当然确保 $F/k$ 可通过根式求解。对于第二个目标,我们需要查看 $F$ 和 $KF$ 之间的子字段。设 $k = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K$ 为域扩展塔,使得每个步骤 $K_{i+1}/K_i$ 都是素数[这是可能的,因为可解性$K/k$]。这些素数只能是 $[K:k]$ 的因数 那么在提升域扩展 $F=K_0F \subset K_1F \subset \dots \subset K_nF=KF$ 中我们不引入新的素数。为什么我们考虑 $[K:k]$ 的质因数?假设 $[K_{i+1}F:K_iF] = \ell$ 是一个素数。如果 $\ell=\mathrm{char}k$ 那么我们可以使用定理 4。否则我们仍然有 $\ell|[K:k]$,所以我们使用定理 2。但是这个定理需要一个原语 $\ell$-根号在 $K_{i}F$ 中。我们选择 $m$ 和 $\zeta$ 保证了这种情况的发生,因为 $\ell|m$ 以及因此 $F$ 中存在一个原始的 $\ell$ 单位根。我们可以让 $m$ 更大,但没有必要。 “仅当”部分几乎做同样的事情,只是逻辑链发生了变化。


相反,假设 $E/k$ 可通过根式求解。对于 $E$ 在 $E^{\mathrm{a}}$ 中 $k$ 上的任何嵌入 $\sigma$,扩展 $\sigma E/k$ 也可以通过根式求解。因此,$E$ 的最小伽罗瓦扩展 $K$ 包含 $k$,它是 $E$ 及其共轭的复合体,可通过根式求解。令 $m$ 为所有不等于除以度 $[K:k]$ 的特征的素数的乘积,并再次令 $F=k(\zeta)$ ,其中 $\zeta$ 是本原 $m$ 根的团结。只需证明 $KF$ 在 $F$ 上可解,因为 $KF$ 可通过 $k$ 可解,因此 $G(K/k)$ 可解,因为它是 $G 的同态图像(KF/k)$。但 $KF/F$ 可以分解为扩展塔,使得每一步都是素数,并且属于定理 2 和定理 4 中描述的类型。相应的单位根在域 $F$ 中。因此 $KF/F$ 是可解的,证明了定理。 $\平方$

原文: https://desvl.xyz/2023/10/21/solvable-by-radical/

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