爱好者发现数学难以捉摸的“爱因斯坦”方块

“它隐藏在众目睽睽之下，”宾夕法尼亚州摩拉维亚大学名誉数学教授 Doris Schattschneider 说。她形容自己“目瞪口呆”。

自 1960 年代以来，数学家一直在寻找像帽子这样的瓷砖，当时罗伯特伯杰构建了一组20,426 种形状，这些形状组合在一起，不定期地平铺平面。 Berger 的工作引发了一场构建更小的非周期性瓷砖组的竞赛，最终导致 Roger Penrose 在 1970 年代发现仅包含两个非周期性瓷砖的组。 1982 年，丹·谢赫特曼 (Dan Shechtman)发现类似于彭罗斯拼块中的对称性以称为准晶体的结构形式出现在自然界中，这项工作为他赢得了 2011 年诺贝尔化学奖。

从那时起，数学家们一直在试图找到一个可以非周期性地填充二维平面、没有间隙或重叠的单一瓦片。德国几何学家路德维希·丹泽 (Ludwig Danzer) 开玩笑地称这种瓷砖为“爱因斯坦”——德语短语“ein stein”的双关语，意思是“一块”。

在 1990 年代，两个小组找到了重叠单个 10 边形瓷砖的相邻副本以不定期覆盖平面的方法。大约十年后，塔斯马尼亚的业余数学家琼·泰勒 (Joan Taylor)发现了一个由多个不相连部分组成的形状。她和杜克大学的物理学家约书亚·索科拉尔 (Joshua Socolar)在 2010 年的一篇论文中表明，它会不定期地平铺平面。而就在去年，高等研究院的数学家Rachel Greenfeld和加州大学洛杉矶分校的Terence Tao 发现了一种高维形状，它可以不周期性地平铺空间，甚至不需要旋转或反射。

但是没有人能找到真正的爱因斯坦——一种不定期平铺的简单二维形状。史密斯学院 (Smith College) 的瓷砖研究员和名誉教授Marjorie Senechal说，最终，数学家们开始怀疑这样的瓷砖是否存在。她说，像史密斯的帽子一样简单的爱因斯坦一直存在的事实“令人难以置信”。

她推测，这顶帽子至今未被发现的原因可能是因为许多数学家都专注于具有“禁止”对称性的形状——那些不能出现在周期性平铺中的形状。例如，彭罗斯的瓷砖具有五重对称性，就像在五边形和五角星中发现的那样。正五边形不能平铺平面，因此五重对称是寻找不能周期性平铺的自然场所。

大卫史密斯的发现被称为“令人难以置信”。

作者写道，相比之下，这顶帽子没有对称性，“在其简单性上几乎是平凡的”。它的瓷砖确实与特定的周期性瓷砖有着深厚的关系：六边形的蜂窝格子。要从六边形拼贴中获得帽子平铺，首先连接六边形相对边的中点。这将每个六边形分成六个“风筝”。每顶帽子由八个相邻的风筝组成，由相邻的六边形组合而成。只需一点点工作，任何拥有魔术笔和六角形瓷砖浴室地板的人都可以画出帽子瓷砖。

Senechal 说，帽子瓦片表明周期性和非周期性瓦片之间的联系比数学家意识到的更紧密。

在公告发布后的几天里，数学家和瓷砖爱好者争先恐后地使用新瓷砖，制作剪纸，3D 打印，制作帽子被子和饼干。居住在英格兰北部沿海城镇布里德灵顿的史密斯说，瓷砖产生的兴奋感觉“有点超现实”。 “我不习惯这种事。”

但这远不是业余爱好者第一次在拼贴几何方面取得重大突破。担任邮件分拣员的罗伯特·阿曼 (Robert Ammann) 在 1970 年代独立发现了一套彭罗斯的瓷砖。 1975 年，加州家庭主妇马乔里·赖斯 (Marjorie Rice) 发现了一个新的五边形瓷砖家族。随后琼·泰勒 (Joan Taylor) 发现了索科拉-泰勒瓷砖。塞内查尔说，也许与数学家不同，业余爱好者“并不需要知道这有多难”。

形状中的形状

从也形成周期性瓷砖的瓷砖制作非周期性瓷砖很容易。例如，您可以使用几个垂直多米诺骨牌，同时用水平多米诺骨牌填充平面。 “真正的艺术是找到一种形状，它可以让你平铺整个平面，但不会让你以周期性的方式进行，”Socolar 说。

不可能创建一种算法来确定每个可能的图块集合是否平铺平面（更不用说它们是否非周期性了）。因此，在 Smith 告诉 Kaplan 关于帽子拼块的事情后，Kaplan 转向了他编写的一个程序，该程序只是将拼块的副本放置在不断增长的环中的初始种子拼块周围。除了产生重复图案且有无限多环的瓷砖外，还没有人找到可以持续超过六个环的瓷砖。这一次，节目继续进行。在 Kaplan 告诉它停止之前，它用帽子填满了 16 个环，认为他们有足够的数据可以使用。

与此同时，令卡普兰震惊的是，史密斯有了另一个发现：第二块瓷砖，形状像乌龟，似乎也是非周期性的。 “背靠背识别两个爱因斯坦的想法似乎好得令人难以置信，”研究人员写道。

到 1 月中旬，Smith 和 Kaplan 招募了另外两名研究人员： Chaim Goodman-Strauss ，国家数学博物馆和阿肯色大学的数学家，以及Joseph Samuel Myers ，英国剑桥的软件工程师，拥有博士学位组合学。迈尔斯开始将所有业余时间都投入到帽子瓷砖上，并且在短短一周多的时间里，他证明了它是非周期性的。卡普兰说：“他如此迅速地确定了这一切，我们都感到非常震惊。”

该证明采用了 Berger 在 1960 年代发起的一种方法，该方法涉及将瓷砖拼凑成更大的自身版本，从而创建层次结构。迈尔斯首先确定了四种由帽子构成的中间形状，他称之为H 、 T 、 P和F 。例如， H由四顶帽子组成，连接在一起形成一个大致类似于三角形的形状，其尖端被切掉。迈尔斯表明，你可以将四种形状组合在一起，制成更大的形状。你可以做一个更大的H ，例如，用三个H围绕一个T ，然后用P和F的组合围绕这个对象。

这提供了一种制作越来越大的帽子平铺的方法。您可以从H开始，增加它的大小，然后用上述四种形状的组合填充它。接下来，您可以给整个组件充气，并用各种H 、 T 、 P和F形状填充（现在很大的） H内的所有形状。您可以无限期地重复这些步骤，在形状中构建越来越大的形状层次结构。层次结构的底层是帽子。

研究人员证明，由这些层次结构创建的瓷砖从来都不是周期性的。他们还证明，分层结构是制作帽子拼贴的唯一方法。因此，平铺帽子永远不可能是周期性的。 “这是一个非常棒的结果，”Socolar 说。

调整帽子大小

剩下的就是史密斯找到的另一块瓷砖：乌龟。当 50 年来没有人发现任何非周期性瓷砖时，他想出了两种不同的非周期性瓷砖只是一个惊人的巧合吗？帽子和海龟的花纹看起来惊人地相似，这让研究人员怀疑海龟也是非周期性的。但他们的怀疑并不是证据。

然后迈尔斯发现了一个发现，研究人员在他们的论文中将其描述为“既是一种解脱又是一种启示”。他意识到，帽子和乌龟属于无穷无尽的瓷砖家族，它们都以相同的方式铺设在平面上。

每顶帽子有 13 个面：六个长边和六个短边对应风筝边，再加上一个由两个短风筝边组成的边。通过调整这些边的长度，您可以创建一个连续的新形状。想象一个滑杆：当你向左移动它时，短边会变短（就像单独的双短边一样）；当你向右移动它时，长边会变短。乌龟在帽子右边的某个地方，但也有无数种其他形状。

如果将滑块一直向左推，帽子的短边就会消失，留下一个六边形的人字形；如果你把它一直推到右边，长边就会消失，留下一个七边形的形状，研究人员称之为彗星。与帽子不同，人字形和彗星可以周期性地平铺平面。滑块中心的形状也可以，长边和短边相等。

但迈尔斯意识到，他可以利用人字形和彗星形的几何学来证明滑块沿线的所有形状都是非周期性的，除了两端和中点。这种被 Kaplan 称为“从帽子里变出的数学兔子”的论点对于拼贴世界来说是全新的。 Goodman-Strauss 说，在它被发现之前，该领域只有三种主要的方法来证明非周期性。 “现在我们有第四个。”

数学家们正在努力研究这种新方法。 “我必须坐下来处理这件事，并认真对待它，”Senechal 说。

格林菲尔德说，下一个自然而然的问题是数学家是否可以确定新瓷砖的某种来源。 1981 年， Nicolaas de Bruijn 表明彭罗斯拼贴是周期性五维拼贴的二维阴影。 Greenfeld 说：“如果这些 [新] 拼贴的动力学或结构对应于一些更高维的规则拼贴，这将非常有趣。”

作为一名物理学家，Socolar 已经开始探索瓷砖的材料特性。他发现，如果你通过这些瓷砖之一照射光线，就会出现衍射图案，它具有研究人员在准晶体中观察到的相同类型的尖峰。即便如此，帽子平铺“在我看来与我以前见过的任何其他东西都不一样，”他说。

与此同时，史密斯还没有完成他的“棘手的小瓷砖”。他打算探索它的艺术可能性，并弄清楚如何使用颜色来展现瓷砖似乎坚持的图案。 “如果你愿意的话，它似乎有一种态度，”他说。 “我认为它应该受到尊重。”