这张模块化形式的图表使用颜色和高度描述了其复值输出。
由 David Lowry-Duda（ICERM 和布朗大学）和 Adam Sakareassen（数学城 Youtube 频道）提供
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在一项新的证明中，一个长期被忽视的数学对象终于在聚光灯下崭露头角。
乍一看，模形式——其丰富的对称性吸引了数学家几个世纪的兴趣——似乎已经获得了足够多的关注。它们出现在各种各样的问题中：它们是安德鲁·威尔斯 1994 年证明费马大定理的关键要素，该定理解决了数论中最大的悬而未决的问题之一。他们在朗兰兹计划中发挥着核心作用，该计划是一项旨在发展“数学大统一理论”的持续努力。它们甚至被用于研究弦理论和量子物理学中的模型。
但是在这些上下文中出现的模块化形式是一种特殊类型。所谓的“全等”模块化形式拥有额外的结构，使它们更容易研究。但更一般的“不一致”模数形式大大超过了友好的同余形式。 “如果你采用随机模形式，它有 1 的概率是不一致的，”加拿大麦克马斯特大学的数学家Cameron Franc说。 “除非你有充分的理由遇到同余模形式，否则你不会期望遇到。他们非常罕见。”
然而，尽管非同余模形式无处不在，但数学家对它们知之甚少。 “它们完全是神秘的，”剑桥大学的数学家Anthony Scholl说。不仅很难对这样一类一般的函数做出包罗万象的陈述，而且为研究模形式而开发的工具在不一致的情况下也会崩溃。这让数学家们不确定他们应该尝试证明什么。
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然而，关于非全等模形式的一个主要猜想长期以来一直很突出：沙漠中一个孤立的、不稳定的路标。
1968 年，数学家 Oliver Atkin 和 Peter Swinnerton-Dyer 注意到非同余模形式似乎有一个特别显着的特性，将它们与同余模形式区分开来。加州大学圣克鲁兹分校的数学家杰弗里·梅森说，竟然有如此明目张胆的方法来区分两者“真是令人吃惊”。全等和非全等模形式非常不同，因为非全等模形式缺乏全等模形式所具有的对称性。但这些差异虽然很重要，但可能很微妙且难以察觉。
在这里，突然间，这些差异的鲜明证据变得显而易见。
Atkin 和 Swinnerton-Dyer 的观察后来被称为“无界分母”猜想。如果属实，它将允许数学家在很大程度上未开发的非同余对象领域中获得第一个立足点。通过提供一种简单的方法来识别给定的模形式属于哪一类，该猜想还可以将理论物理学中的一个主要项目——一个旨在理解称为共形场论的粒子相互作用模型——建立在更坚实的数学基础上。
但是50多年来，没有人能够证明这一点。终于，在 2021 年底，三位数学家成功了。他们的证明似乎凭空而来，采用了没有人期望在这一研究领域看到的技术。数学家和物理学家现在开始探索这项工作的后果。
对称与结构
不一致的模块化形式并不总是被边缘化。
在 19 世纪，数学家刚刚开始发展模形式理论。这是一种特殊类型的高度对称函数的名称——存在于称为复平面上半部分的域中的函数。
复平面是一种绘制复数的方法，复数有两部分：实部和虚部。模形式将虚部为正的复数作为输入，对应于平面的上半部分。 （上半平面可以很容易地映射到单位圆盘的内部；模块化形式通常使用这种映射来描述。）
全等模数形式（左）具有非全等模数形式（右）所缺乏的额外结构。
Quanta 杂志的 David Lowry-Duda
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模形式的许多对称性是根据 2×2 矩阵的特殊集合或“群”定义的——四个数字的方阵。在模块化形式中，这四个数字始终是整数。至关重要的是，与决定矩阵某些属性的矩阵相关联的数字（称为行列式）必须为 1。
这样的矩阵集有无穷多个。在某些组中，矩阵可以用相对简单的规则来描述。例如，在所有矩阵中，右上角和左下角的条目可能是偶数，而其他两个条目是奇数。或者也许右上角和左下角的条目可以被 11 整除，而其他两个条目都比 11 的倍数大 1。
可以由这些类型的关系定义的群——以及与这些群相关的模形式——是经过大量研究的同余群。
但它们就像大海捞针：大多数 2×2 矩阵的集合不能以这种方式用良好的规则来表征，这使得它们和它们相关的模形式不一致。
2021 年 1 月 1 日，高等研究院的数学家 Vesselin Dimitrov 给两位同事发了一封关于“一厢情愿”的电子邮件：他想应用他们一直在研究的技术来解决一个完全不相关的问题，即无界分母推测。
区分这两种模块化形式真的这么容易吗？
数学家们在 1968 年加利福尼亚州的一次会议上提到了他们的观察结果，表明无界分母可能是非全等模形式的普遍标志。达特茅斯学院的数学家约翰沃伊特说，这个猜想“非常引人注目”。 “它为我们提供了一个简洁的标准来决定模形式是否属于同余群”——这是数论学家可以随意使用的非常方便的试金石，而在其他情况下可能难以检测到。
“这简直好得令人难以置信，”他补充道。 “人们真的不希望出现那种奇迹。”
事实上，没有人能够证明无界分母猜想。李和其他一些人能够证明它适用于特定的非全等模形式族，但数学家不知道如何处理一般陈述。
然后在 2021 年 9 月，Tang 与芝加哥大学的Frank Calegari和高级研究所的Vesselin Dimitrov一起发布了一份 50 页的证明。 “这太棒了，真的出乎意料，”Franc 说。 “感觉社区对如何解决这个问题没有任何想法。”
作者希望他们的论文是将沙漠中的路标发展为成熟道路网络的第一步。 “我们通过为最简单的问题提供答案，为数论的这一部分做出了微薄的贡献，”迪米特洛夫说。
回到老路
Calegari、Dimitrov 和 Tang 并没有着手解决无界分母猜想。在 2019 年底，他们希望证明某个数字（类似于黎曼 zeta 函数的值）是无理数——就像 2 的平方根一样，它不能写成分数。 （他们的最终目标是证明这个数字和其他类似的数字是超越的，这意味着，与数字π和e一样，它们不能写成具有整数系数的多项式方程的解。）
从表面上看，这个问题完全无关。但在 2021 年 1 月 1 日，季米特洛夫在新的一年里给其他人发了一封电子邮件，他在邮件中描述了“一个如意算盘”：也许他们在前一年开发的技术可以重新用于证明无界分母猜想。
他们试了一下。在七个月内，他们得到了证据。
在证明无界分母猜想后，加州大学伯克利分校的数学家 Yunqing Tang 继续与她的两位合著者一起研究最初激发证明的问题。 “我们正在努力完成我们开始的事情，”她说。
汤云清提供
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首先，他们考虑了两个空间：所有具有有界分母的模形式的空间，以及所有同余模形式的空间。根据无界分母猜想，这两个空间应该是相同的。由于空间满足某些性质，数学家只需证明它们的大小相同。这样做会自动暗示它们是等价的。
Calegari、Dimitrov 和 Tang 可以相对容易地计算出第二个空间的大小，获得一种粗略的全等模数形式。但是很难估计第一个空间的大小。他们必须结合许多不同的技术——包括来自超越数论的技术。
使用这些方法，他们表明具有有界分母的模形式的空间最多可以达到一定大小。这个最大尺寸比全等模形式空间的尺寸大一点。尽管如此，巴黎-萨克雷大学的数学家让-伯努瓦·博斯特 (Jean-Benoît Bost)说，这一步“确实是证明的核心”。 “你需要很大的毅力才能做到这一点。” （Calegari、Dimitrov 和 Tang 以几种不同的方式证明了空间大小的这一界限，这可能使他们的技术得到更广泛的应用。）
“这是非常非常经典、美丽的数学，带有 19 世纪的味道，”法国 École Polytechnique 的数学家Javier Fresán说。
然后三人组需要缩小两个空间之间的差距。这样做将确定任何具有有限分母的模形式必须是一致的。
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所以他们假设相反：存在一个分母有界的非全等模形式。根据定义，它会存在于 Calegari、Dimitrov 和 Tang 试图弥合的缺口中。三人随后表明，这种非同余模形式的存在自动意味着存在许多其他具有有界分母的非同余模形式。就好像一粒种子长出了整片森林。
但他们已经确定了差距的最大尺寸——它太小了，无法适应那么多不一致的形式。
这意味着即使是一种这样的形式也不可能存在。他们证明了 Atkin 和 Swinnerton-Dyer 几十年的猜想。
数学家发现工作中使用的技术比结果本身更有趣。 “这些想法以前从未用于研究模形式的算术，”Scholl 说。
正如 Voight 解释的那样，虽然模形式的研究最初是作为复分析领域的一部分，但目前的工作已经属于数论和代数几何的范围。他说，这篇新论文标志着复杂分析的回归：“这是一个令人耳目一新的旧观点。”
寻找新理论
数学家并不是唯一对无界分母猜想感到兴奋的人。它也出现在理论物理学中。
在 1970 年代，另一个故事与阿特金和斯温纳顿-代尔开始的故事平行展开。数学家们注意到一个叫做怪物群的对象和一个叫做j函数的模形式之间存在一种奇怪的联系。 j函数的系数恰恰反映了怪物群体的某些属性。
芝加哥大学的数学家 Frank Calegari 研究模形式和相关的数学对象。
“这是几十年来一直在传播的东西，”博斯特说。现在终于解决了。
“这真的是一个奇迹，”梅森说。 “这只是奇迹般地从这些序列是整数的事实中得出。”
他已经开始将结果应用到自己的工作中。 “自从那张纸出现的那一天起，我就一直在使用它，”他说。 “它为我想要解决的结果提供了一个非常受欢迎的捷径。 ……它削减了大量我看不到的潜在工作。”
它还将模块化引导程序和其他结果置于更强大的数学基础上。 “这将使数学家能够重新证明（以前的）结果，或者相信它们，”梅森说。
“我认为它真的会产生影响，尤其是在数学方面，只是为了真正、真正地把事情搞定，准确地理解正在发生的事情，”图伊特说。
数学超越
在他们发布证明后的一年里，Calegari、Dimitrov 和 Tang 继续合作。现在，他们又回到了最初激发他们对该猜想感兴趣的超越数论中的问题类型。 “我们正在努力完成我们开始的工作，”唐说。事实上，他们已经使用他们的技术证明了几个兴趣数字是不合理的。
“他们确实将 [方法] 推向了极限，”Fresán 说。 “我对此感到非常兴奋。”
这些方法也可能适用于数论中的其他问题。
撇开技术不谈，无界分母猜想的解决标志着为更好地理解非同余模形式所做的努力中的第一个重大里程碑之一。 “这是一项了不起的成就，我们可以通过这种方式在非一致性形式上取得一些进展，”Franc 说。 “我很期待接下来的 10 年、20 年，看看会发生什么。”
Li、Voight 和其他人已经开始寻找出现在这些神秘模数形式的分母中的数字类型的模式。他们希望通过这样做，他们可以找到更深层结构的线索。
“这个无界分母猜想只是一个开始，”李说。