数学家消除了结猜想的长期威胁

60 多年前，拉尔夫·福克斯 (Ralph Fox) 提出了一个至今仍困扰着数学家的结问题。 他的问题现在通常被表述为“切片带猜想”，该猜想假设两组看似不同的结实际上是相同的。凭借其在绳结世界中优雅简洁的暗示，它已成为绳结理论中最引人注目的问题之一。波恩马克斯普朗克数学研究所的数学家Arunima Ray说：“这意味着世界比你想象的更结构化。”

几十年来，一个特定的结被怀疑是解决这个猜想的可能途径。然而在去年夏天发表的一篇论文中，五位数学家发现这个结根本不起作用。虽然他们引入的论点将为更广泛的结类提供新的见解，但整个工作让数学家对这个猜想不确定。罗格斯大学的数学家Kristen Hendricks说：“我认为关于它是否会被证明是真的存在真正合理的争议。”

切片带猜想涉及两种类型的结：切片结和带状结。新论文的作者之一阿布舍克·马利克 ( Abhishek Mallick ) 说，弄清楚哪些结是切片是“我们的主题围绕的基本问题之一”。

这个简单的带结示例显示了由结限定的圆盘如何穿过自身。所有的带结，包括这个，都被认为是切片的，但如果所有的切片结都是带状的，这仍然是一个悬而未决的问题。

丝带结是其圆盘类似于丝带的结。在三维空间中，这些丝带可以自己穿过，就像普通的丝带可以从中心的裂缝中拉出来一样。在数学上，这种通过称为带状奇点。与其他类型的奇点不同，带状奇点可以通过移动到四个维度来轻松消除。这使得数学家很容易证明所有带结都是切片的。

相反——每个切片结也是丝带——是切片丝带猜想，几十年来一直是一个悬而未决的问题。 （更复杂的是，切片结有几个相关的分类，包括“平滑切片”和“拓扑切片”。该猜想仅适用于“平滑切片”类型的结，这就是数学家通常所说的“切片”。）

为了反驳这个猜想，只要找到一个光滑的结，而不是丝带就足够了。几十年来，数学家们一直在关注一个候选者：8 字结的 (2, 1) 绳索，它是通过将第二根绳子沿着 8 字形结穿线，然后将两根绳子合并成一个结而制成的。

1980年，Akio Kawauchi证明了这个结既是有理切片又是代数切片，性质类似于平滑切片，但又不完全相同。 1994 年，宫崎骏证明它不是丝带，给数学家留下了悬念。如果 Kawauchi 的结果可以加强一点，表明结是平滑的切片，那么猜想就会被推翻。

新论文证明，有问题的结毕竟不是切片，砰的一声关上了这扇门。

8字结的(2, 1)索在1994年被证明不是带状的。新的证明表明它也不是光滑的切片。

“切片带猜想，仍然很强大，”亨德里克斯说，他与这篇新论文的两位作者密切合作。 “这非常令人兴奋，因为人们长期以来一直试图理解这个例子。”

新的证明是基于一种叫做分支双覆盖的东西。你可以通过想象一个空心球体来想象一个分支的双盖，就像一个篮球。要制作一个带分支的篮球双层封面，请沿着其中一条经线从上到下将其切开。现在，拉动您切割过的橡胶的一侧，沿着赤道拉伸它，直到材料完全包裹起来。完成此转换后，您将拥有一个由两层可互换材料制成的篮球，因此称为“双面”。 （在这种情况下，橡胶可以随心所欲地拉伸和扭曲，而不会断裂或起皱。）

“分枝双盖”中的“分枝”来自于变换的怪癖。因为你水平拉伸了，所以在球的最顶端和最底端仍然只有一层，即北极和南极。这些点称为分支点，它们的存在使双覆盖成为分支双覆盖。

当涉及到结时，分支双盖的组装方式使得分支点就是结本身：就像篮球的北极和南极一样，这些点只被覆盖一次。

“从历史上看，观察双分支封面一直是交易的标准工具，”佐治亚理工学院的数学家Jennifer Hom说，她曾与新论文的两位作者合作过。这是因为——就像篮球围绕着一个空气球一样——切片结的分支双层覆盖物围绕着一个特定的四维形状。如果数学家能够证明结的分支双覆盖层没有围绕正确的 4D 形状，他们就可以排除结是切片的可能性。

但这对 8 字结的 (2, 1) 索不太适用：它的分支双盖确实包围了正确类型的四维形状。显示 8 字结的 (2, 1) 索不是切片取决于形状的对称性经常被忽视。

当你拉伸篮球的表面形成一个分支的双面罩时，你可以想象做一些类似于内部三维空气球的事情。当您围绕球拉动橡胶时，只需将空气一起拉动即可。正如两层橡胶可以互换一样，空气球中有两个半球，它们都在同一个地方。换句话说，对称性从球的外侧延伸到内侧。

同样，切片结的分支双覆盖上的对称性延伸到内部的 4D 空间。数学家在试图证明结不是切片时通常会忽略这种对称性。但在这种情况下，这是必不可少的。如果新作品的作者能够证明不存在这种对称性，他们就能得出结不是切片的结论。

“因为这个问题没有提到任何对称性，你会想：嗯，对称性是如何进入画面来说明它的？但不知何故，神奇地，在这种情况下，对称性出现并为你解决了问题，”Mallick 说，他与斯坦福大学的Irving Dai和韩国科学技术高等研究院的 JungHwan Park 共同撰写了这篇新论文， Matthew密歇根州立大学的Stoffregen和韩国基础科学研究所的Sungkyung Kang 。

“我们知道那个结构就在那里。但人们没有研究它的部分原因是我们无法跟踪这种结构，”雷说。 “你需要一个花哨的、高性能的工具来检测它。”

为了进行论证，该团队不得不使用与结及其周围空间相关的深入、复杂的数学，依赖的对称性甚至比分支双盖的对称性更微妙。在之前的两篇论文中，Dai、Mallick 和 Stoffregen 计算了其中的一些特性。当 Kang 去年夏天拜访密歇根州立大学的 Stoffregen 时，8 字结的 (2, 1) 绳索仍在他的脑海中，研究人员很快意识到这些公式将解决其切片问题。 “有一种直觉告诉我，这种计算应该可行，”康说。 “通过计算它，我们现在应该能够解决这个问题。”

7 月下旬，他们的论文被发布到网上，证明结实际上不是切片。帕克说，论文中的想法应该适用于许多切片性目前存在问题的结。 “这仅仅是个开始，”他说。虽然这篇论文关注的是一个特定的结，但 Park 表示他们开发的工具将适用于更普遍的结家族。然而，原始结的非切片性确保切片带猜想目前仍未解决。