研究人员现在可以以不依赖于观察者的方式计算从物体向外辐射的角动量量。
Maggie Chiang 为广达杂志
在阿尔伯特·爱因斯坦提出广义相对论一个多世纪后，他史诗般的引力理论已经通过了它所经历的每一项实验测试。广义相对论改变了我们对引力的理解，它不再像长期以来所认为的那样，将其描述为大质量物体之间的吸引力，而是在质量和能量存在的情况下空间和时间曲线的结果。该理论取得了惊人的胜利——从 1919 年证实光线在太阳引力场中弯曲到 2019 年观测揭示了黑洞的轮廓。因此，听到广义相对论仍在进行中的工作可能会令人惊讶。
尽管爱因斯坦在 1915 年引入的方程涉及由大质量物体引起的曲率，但该理论并没有提供一种简单或标准的方法来确定物体的质量是多少。角动量——衡量物体在时空中的旋转运动——是一个更难定义的概念。
一些困难源于建立在广义相对论中的反馈回路。物质和能量使时空连续体弯曲，但这种曲率本身就成为能量的来源，这会导致额外的曲率——这种现象有时被称为“万有引力”。并且没有办法将物体的固有质量与来自这种非线性效应的额外能量分开。此外，如果不首先牢牢把握质量，就无法定义动量或角动量。
爱因斯坦认识到量化质量所涉及的挑战，但从未完全说明质量是什么或如何测量它。直到 1950 年代末和 1960 年代初，才提出第一个严格的定义。物理学家理查德·阿诺维特、斯坦利·德瑟和查尔斯·米斯纳定义了一个孤立物体的质量，例如黑洞，从几乎无限远的地方观察，时空几乎是平坦的，物体的引力影响接近于零。
尽管这种计算质量的方法（其作者称为“ADM 质量”）已被证明是有用的，但它不允许物理学家量化有限区域内的质量。例如，假设他们正在研究两个正在合并的黑洞，他们想确定合并前每个黑洞的质量，而不是整个系统的质量。包围在任何单个区域内的质量——从该区域的表面测量，重力和时空曲率可能非常强——被称为“准局域质量”。
今年春天从哈佛大学退休并移居中国清华大学的著名数学家丘成桐自 1970 年代以来一直致力于广义相对论的数学分析。
派力
2008 年，哥伦比亚大学的数学家Mu-Tao Wang和现为中国清华大学教授、哈佛大学名誉教授的邱成桐提出了准局域质量的定义，该定义已被证明是卓有成效的。 2015 年，它使他们和合作者能够定义准局部角动量。今年春天，这些作者和第四位合作者首次发表了长期寻求的角动量定义，即“超平移不变”，这意味着它不依赖于观察者的位置或他或她选择的坐标系。有了这样的定义，观察者原则上可以测量旋转物体在时空中产生的涟漪，并计算这些涟漪从物体上带走的角动量的确切数量，这些涟漪被称为引力波。
“这是一个了不起的结果，”密歇根大学的数学家和广义相对论专家莉迪亚·比里 ( Lydia Bieri ) 在谈到 2022 年 3 月的论文时说，“并且是几年来复杂数学研究的高潮。”事实上，广义相对论的这些方面的发展不仅花费了数年，而且花费了数十年。
保持准本地化
在 1960 年代，斯蒂芬霍金提出了准局域质量的定义，由于其简单性，在某些情况下今天仍然受到青睐。为了计算黑洞事件视界（其不可见的球面边界）所包围的质量，霍金表明，您可以通过确定入射和出射光线被包含在其中的物质和能量弯曲的程度来计算任何球体内部的质量。虽然“霍金质量”具有相对容易计算的优点，但该定义仅适用于球对称的时空（理想化条件，因为现实世界中没有任何东西是完美的圆形）或“静态” （而且相当无聊）时空，没有任何变化。
继续寻找更通用的定义。 1979 年，在普林斯顿大学的一次演讲中，黑洞物理学的另一位先驱、英国数学物理学家罗杰·彭罗斯确定了描述准局域质量的任务——“一个人不需要‘一直走到无穷远’就可以得到概念要有意义地定义”——作为广义相对论中第一个未解决的问题。准局域角动量的定义在彭罗斯的列表中排名第二。
那年早些时候，丘和他的前学生、现在是斯坦福大学名誉教授的理查德·舍恩证明了建立这些准局域定义的主要先决条件。也就是说，他们证明了一个孤立物理系统的 ADM 质量——它的质量是从无限远的地方测量的——永远不会是负数。 Schoen-Yau“正质量定理”构成了定义准局域质量和其他物理量必不可少的第一步，因为如果时空和其中的一切能量没有底，它就会变得不稳定，而是会变成负数并无限下降. （1982 年，丘获得了数学界的最高荣誉菲尔兹奖，部分原因是他在正质量定理方面的工作。）
已故的英国物理学家斯蒂芬霍金（1979 年合照）设计了准局域质量的第一个定义。虽然计算起来非常简单，但霍金质量只适用于简单的场景。
1989 年，澳大利亚数学家罗伯特·巴特尼克根据该定理提出了准局域质量的新定义。 Bartnik 的想法是用一个表面包围一个有限大小的区域，然后用越来越大面积的多层表面包围它，将有限区域扩展到一个无限大的区域，以便可以计算其 ADM 质量。但是该区域可以通过多种方式扩展，就像气球的表面积可以均匀地膨胀或向各个方向拉伸，每个方向都会产生不同的 ADM 质量。根据 Bartnik 的说法，可以获得的 ADM 质量的最低值是准局域质量。 “在正质量定理之前，这个论点是不可能的，”王解释说，“否则质量可能会达到负无穷大，”并且永远无法确定最小质量。
康涅狄格大学数学家黄兰轩说，巴特尼克质量一直是数学中的一个重要概念，但它的主要缺点是实用性：找到最小值非常困难。 “几乎不可能计算出准局域质量的实际数字。”
物理学家大卫布朗和詹姆斯约克在 1990 年代提出了完全不同的策略。他们将一个物理系统包裹在一个二维表面中，然后尝试根据其曲率确定该表面内的质量。然而，Brown-York 方法的一个问题是它可能在完全平坦的时空中给出错误的答案：准局域质量可能会变成正值，即使它应该为零。
尽管如此，Wang 和 Yau 在 2008 年的论文中还是使用了这种方法。基于 Brown 和 York 的工作，以及 Yau 与哥伦比亚数学家Melissa Liu进行的研究，Wang 和 Yau 找到了绕过完全平坦空间中正质量问题的方法。他们在两种不同的环境中测量了表面的曲率：“自然”环境，一个代表我们宇宙的时空（曲率可能相当复杂），以及一个称为闵可夫斯基空间的“参考”时空，它是完全平坦的。因为它没有物质。他们推测，这两种设置之间曲率的任何差异都必须是由于限制在表面内的质量——换句话说，是准局域质量。
1979 年，也就是这张照片拍摄的前一年，牛津大学的数学物理学家罗杰彭罗斯指出，质量和角动量的准局域定义是广义相对论中第一个和第二个最重要的开放问题。彭罗斯因证明黑洞的形成是对爱因斯坦理论的有力预测而获得 2020 年诺贝尔物理学奖。
安东尼豪沃斯/科学资源
正如他们在论文中所说，他们的定义满足了“有效定义准局部质量所必需的所有要求”。也就是说，他们的方法存在一个限制其适用性的特征：“尽管我们的定义非常精确，”王说，“但它总是涉及求解几个非常困难的非线性方程。”这种方法在理论上很好，但在实践中往往很累人。
模棱两可的角度
2015 年，Wang 和 Yau 与加州大学河滨分校的Po-Ning Chen合作，着手定义准局域角动量。在经典力学中，在圆周上运动的物体的角动量简单地由它的质量乘以它的速度乘以圆的半径给出。这是一个有用的测量量，因为它是守恒的，这意味着它在事物之间传递，但永远不会被创建或破坏。物理学家可以跟踪物体和环境之间的角动量如何交换，从而深入了解系统的动力学。
为了定义一个表面内的准局域角动量，Wang、Yau 和 Chen 需要两件事：他们拥有的准局域质量的定义，以及关于时空旋转如何工作的详细知识。和以前一样，他们首先将表面嵌入到最简单的环境中，即闵可夫斯基时空——选择它是因为它非常平坦，因此具有旋转对称性，每个方向看起来都一样。旋转对称性使研究人员能够以一种不依赖于您放置用于测量速度和距离的坐标系原点的方式来定义准局部角动量（原点是x 、 y 、 z和t轴相交）。接下来，他们在 Minkowski 时空表面上的点与放置在其原始（自然）时空中的同一表面上的点之间建立了一对一的对应关系，从而确保了后者设置中的坐标独立性。
三人随后与国立成功大学的王业凯联手解决了大约 60 年仍未解决的问题：如何表征被引力波扫过的角动量，例如两个黑洞一起螺旋发射的角动量并猛烈地合并。他们对准局域角动量的定义不适用于这项任务，因为测量必须在远离漩涡的地方进行，而不是在靠近黑洞合并的地方进行。适当的有利位置被称为“零无穷”，这是彭罗斯发明的一个概念，指的是向外传播的辐射的最终目的地，包括引力和电磁辐射。
正如广义相对论中经常发生的那样，出现了一种新的复杂情况：引力波传输的角动量，即使在零无穷处（或足够远以成为合理的复制品）测量，似乎也会根据来源和方向的选择而变化观察者的坐标系。困难源于“ 引力波记忆效应”——引力波在穿越时空时会留下永久的印记。波会在一个方向上扩展时空并在正交方向上收缩（这是由 LIGO 和 Virgo 等引力波天文台探测到的信号），但时空永远不会完全恢复到其初始状态。 “通过的引力波改变了物体之间的距离，”康奈尔大学的广义相对论者 Eanna Flanagan解释道。 “海浪也可以稍微移动观察者……但他们不会知道自己被移动了。”
这意味着即使不同的观察者最初就其坐标系的原点所在的位置达成一致，但在引力波摇晃事物之后，他们也不会达成一致。这种不确定性反过来会导致在各自对角动量的评估中出现歧义，称为“超平移”。理解超平移的另一种方法是，虽然物体的质量和速度都不会被经过的引力波扭曲，但它的旋转运动半径会。根据半径相对于一个人的坐标系的方向，它可能似乎被引力辐射拉伸或收缩，从而导致角动量的不同可能确定。
王木涛（左）和陈宝宁在国立台湾大学的研讨室里，他们正在做他们关于超平移不变角动量的部分工作。
陈宝洁
守恒的物理量不应该根据我们选择标记事物的方式而改变，或者看起来会改变。这就是陈、王、王、丘希望改正的局面。从 2015 年对准局域角动量的定义开始，他们计算了有限半径区域内包含的角动量。然后他们将这个量的极限作为半径变为无穷大，这将与坐标无关的拟定域定义变成了零无穷处的超平移不变量。凭借首次发表在《理论与数学物理学进展》上的角动量超平移不变定义，原则上可以确定黑洞碰撞期间发射的引力波带走的角动量。
“这是一篇精彩的论文，也是一个了不起的结果，”纽约石溪大学的数学家Marcus Khuri说，“但问题是，它有多大用处？”他解释说，新定义是抽象的，难以计算，“而且，一般来说，物理学家不喜欢难以计算的东西。”
独特的选择
然而，难以计算是广义相对论几乎不可避免的特征。通常甚至不可能精确求解爱因斯坦在 1915 年提出的非线性方程，除非在高度对称的情况下。相反，研究人员依靠超级计算机来获得近似解。他们通过将时空分解为小网格并在不同的时间分别估计每个网格的曲率，从而使问题易于管理。随着添加更多网格，它们的近似值会变得更好——类似于向高清电视添加更多像素。
这些近似值使研究人员能够根据 LIGO 和 Virgo 天文台探测到的引力波信号计算合并黑洞或中子星的质量和角动量。根据德国波茨坦马克斯普朗克引力物理研究所的物理学家、LIGO 合作的成员Vijay Varma的说法，目前对引力波的观测还不够准确，以至于超平移引起的细微差异无法被注意到。 “但是当我们观察的准确性提高 10 倍时，这些考虑将变得更加重要，”Varma 说。他指出，这一秩序的改进最早可能在 2030 年代实现。
弗拉纳根有不同的观点，认为超平移“不是一个需要解决的问题”，而是我们需要忍受的广义相对论中角动量的必然属性。
芝加哥大学广义相对论专家、物理学家罗伯特沃尔德在一定程度上赞同弗拉纳根的观点，称超平移与其说是一个实际问题，不如说是一个“不便”。尽管如此，他还是仔细审查了 Chen、Wang、Wang 和 Yau 的论文，并得出结论认为证明是站得住脚的。 “它确实解决了超翻译的歧义，”沃尔德说，并补充道，“在广义相对论中，当你有所有这些替代定义可供选择时，”很高兴有一个“独特的选择”可供选择。
自 1970 年代以来一直致力于定义这些数量的 Yau 有着长远的眼光。 “数学思想渗透到物理学中可能需要很长时间，”他说。他指出，即使角动量的新定义暂时未被使用，LIGO 和 Virgo 的科学家“总是在进行近似计算。但最终，很高兴知道你想要近似的是什么。”
编者注：陈宝宁接受西蒙斯基金会的资助，该基金会也支持这本独立编辑的杂志。