原始集是数字序列，其中没有数字可以整除任何其他数字。在这个集合的宇宙中，素数是独一无二的。
Quanta 杂志的 Kristina Armitage
作为算术的原子，素数在数轴上一直占据着特殊的位置。现在，牛津大学 26 岁的研究生Jared Duker Lichtman解决了一个众所周知的猜想，确立了素数特殊的另一个方面——在某种意义上，甚至是最优的。 “它为你提供了一个更大的背景，以了解质数在哪些方面是独一无二的，以及它们以何种方式与更大的数字集相关联，”他说。
该猜想涉及原始集合——其中没有数字除以任何其他数字的序列。由于每个素数只能被 1 和它自己整除，所以所有素数的集合是原始集合的一个例子。恰好有两个或三个或 100 个素因子的所有数字的集合也是如此。
原始集由数学家 Paul Erdős 在 1930 年代引入。当时，它们只是一种工具，使他更容易证明某种起源于古希腊的数字（称为完美数字）。但它们很快就成为人们感兴趣的对象——Erdős 在他的整个职业生涯中都会一次又一次地回到这些对象。
然后，他和 Pomerance 思考了这些倍数序列有多“密集”——也就是说，它们占据了多少数字线。 （例如，所有偶数的序列的密度为 1/2，因为偶数占所有数字的一半。）他们观察到，如果原始集合是原始集合，则其相关的倍数序列不会重叠，因此它们的组合密度最多为 1——所有整数的密度。
这一观察是相关的，因为 19 世纪数学家弗朗茨·默滕斯的定理本质上允许 Lichtman 和 Pomerance 根据这些密度重新解释原始集的 Erdős 和。根据 Mertens 定理，一个特殊常数（大约等于 1.78），当乘以一个相当于这些倍数的组合密度的项时，给出了一个原始集的 Erdős 和的最大值。由于组合密度至多为 1，Lichtman 和 Pomerance 证明了原始集的 Erdős 和至多在 1.78 左右。
“这是 Erdős 最初想法的一种变体，但它是一种非常巧妙、简洁的方法……获得了一个不严格但也不算太差的上限，”牛津大学的数学家James Maynard说。
几年来，这似乎是最好的数学家可以做到的。目前尚不清楚如何将最大值降至 1.64。与此同时，Lichtman 毕业并搬到牛津与 Maynard 一起攻读博士学位，在那里他主要研究与素数有关的其他问题。
“我知道他一直在考虑这个问题，”梅纳德说，“但当他突然想出一个完整的证明时，他似乎完全震惊了。”
Lichtman 首先意识到，对于素因数相对较小的数字，他先前与 Pomerance 的论点仍然有效：相对简单地表明，在这种情况下，常数 1.78 可以降低到远低于 1.64。
但是，具有相对较大素因数的数字——在某种意义上“接近”素数——是另一回事。为了解决这些问题，Lichtman 找到了一种方法，不仅可以将一个倍数序列与每个数字相关联，还可以将多个序列关联起来。和以前一样，所有这些序列的组合密度最多为 1。但这一次，“这些其他倍数会像杂草一样生长并占据一些空间，”Lichtman 说。
取数字 618 (2 × 3 × 103)。通常，您可能会将其最小素因数为 103 的所有 618 的倍数与它相关联。但可以使用一些被省略的较小素因数来构建序列。例如，一个序列可能由所有原始倍数组成，同时也允许被 5 整除的 618 的倍数。（一些限制规定可以使用哪些较小的素因数。）
这些额外倍数的存在意味着原始倍数的组合密度——默滕斯定理中使用的数量——实际上小于 1。Lichtman 找到了一种方法来更精确地确定该密度可能是多少。
然后，他仔细确定了原始集合的最坏情况可能是什么样的：它将在具有大素因数的数字和具有小素因数的数字之间取得什么样的平衡。通过将他的证明的两个部分拼凑在一起，他能够证明这种情况下的 Erdős 和的值小于 1.64。
“这是关键时刻，”梅纳德说。 “我不知道是运气还是什么，这在数字上已经足够了。”
Lichtman 于 2 月在网上发布了他的证明。数学家指出，这项工作特别引人注目，因为它完全依赖于基本论证。 “他并不是在等待所有这些疯狂的机器开发出来，”汤普森说。 “他只是有一些非常聪明的想法。”
这些想法现在巩固了素数在原始集合中的特殊性：它们的 Erdős 和至高无上。 “我们都认为素数很特别，”Pomerance 说。 “这只会增加他们的光彩。”