皱纹的新数学

2018 年在密歇根大学的一次演讲开始几分钟后，伊恩·托巴斯科拿起一张大纸，把它揉成一个看似无序的混乱球。他把它举起来让观众看，捏了几下，然后又摊开。

“我得到了大量的褶皱，这就是谜团，”他说。 “是什么从另一个更有序的模式中选择了这个模式？”

然后，他举起第二张大纸——这张纸预先折叠成著名的平行四边形折纸图案，称为三浦折纸——然后将其压平。他说，他在每张纸上使用的力大致相同，但结果却大不相同。三浦织被整齐地划分为几何区域；皱巴巴的球是一团锯齿状的线条。

“你会感觉到，”他指着皱巴巴的纸上零散排列的折痕说，“只是这个的随机无序版本。”他指了指整洁有序的三浦织。 “但我们还没有确定这是否属实。”

建立这种联系需要建立弹性模式的通用数学规则。托巴斯科多年来一直在研究这个问题，研究描述薄弹性材料的方程式——通过试图弹回其原始形状来响应变形的材料。用力戳一个气球，就会形成放射状皱纹的星爆图案；移开你的手指，它们会再次变得平滑。挤压一个皱巴巴的纸球，当你松开它时它会膨胀（尽管它不会完全不皱）。工程师和物理学家已经研究了这些模式在特定情况下是如何出现的，但对数学家来说，这些实际结果提出了一个更基本的问题：一般来说，是否有可能理解是什么选择了一种模式而不是另一种模式？

他们曾怀疑高斯曲率对起皱很重要，但 Vella 表示，令人惊讶的是域如此严重地依赖于符号。更重要的是，托巴斯科的理论也适用于广泛的弹性材料，而不仅仅是保尔森的形式。 “这是一个很好的几何结构，可以显示皱纹出现的位置，”Vella 说。 “但理解它的来源真的很深刻，有点令人惊讶。”

保尔森同意了。 “伊恩的理论非常美妙地做的是一次性给你整个模式。”

现实生活中的皱纹

2018 年初，托巴斯科的理论基本确定了——但即使它在纸上有效，他也不能确定它在现实世界中是否准确。托巴斯科联系了保尔森，询问他是否有兴趣合作。 “有些东西马上就奏效了，”保尔森说。 “伊恩的一些预测，放在实验图片之上，我们可以立即看到它们排列整齐。”

在当年的工业和应用数学学会材料科学数学方面的会议上，托巴斯科被介绍给宾夕法尼亚大学的物理学家Eleni Katifori ，他正在探索受限壳中的皱纹模式问题并建立一个结果数据库。这是一个偶然的时刻。 “我们可以看到 Ian 的工作所解释的领域[在模拟中]，”她说。这场比赛是不可思议的。即使在他们的第一次讨论中，很明显托巴斯科的理论、保尔森的实验图像和卡蒂福里的模拟都描述了相同的现象。 “即使在早期阶段，当我们没有任何具体的东西时，我们也可以看到这种联系。”

这种早期的兴奋很快引起了怀疑。这似乎好得令人难以置信。 “他是一位数学家，他把所有这些东西都变成了无维度的，”保尔森说，他指的是托巴斯科关于曲率的想法如何可以扩展到二维平面材料之外。 “我们真的在看同一个系统吗？它同意了，但它应该同意吗？”

在接下来的两年里，三位研究人员对细节进行了讨论，表明托巴斯科的理论确实确实——准确地——预测了保尔森在他的实验中看到的皱纹的排列，以及卡蒂福里在她的计算机模型中发现的皱纹的排列。 8 月 25 日，他们在Nature Physics上发表了一篇论文，展示了这三种方法是如何汇聚在相同的、直接的皱纹几何排列上的。值得注意的是，他们发现这些图案属于整齐的等腰三角形家族，这些三角形划分了有序和无序的领域。此外，结果不仅限于对不可能薄的材料的数学抽象，而是解决了多个数量级的厚度问题。

他们的工作还为扩展该理论及其应用提供了机会。 Katifori 说，作为一名物理学家，她有兴趣利用这些预测来设计新材料。 “我想了解如何设计表面，以便它们实际上将起皱图案自我组织成你想要的东西。”

另一个悬而未决的问题是该理论如何普遍适用于不同类型的曲面。 “它非常关注 [高斯曲率] 为正或负的情况，但在很多情况下，有些区域是正的，有些是负的，”Vella 说。

保尔森同意这是一个令人兴奋的可能性，托巴斯科说他正在这个领域积极工作，并考虑其他形状的贝壳——比如那些有孔的贝壳。

但保尔森表示，即使就目前而言，这个理论也是美丽而令人惊讶的。 “如果我给你一个壳和一个边界形状，以及伊恩理论预测的这套简单规则，那么你可以拿一个指南针和尺子，基本上画出皱纹，”他说。 “它不必以这种方式发生。这可能是完全可怕的。”