由于他的数学运动方法，菲尔兹奖章

日内瓦大学的数学系通常很安静——也就是说，除了从Hugo Duminil-Copin办公室传来的声音，这种情况并不少见。弗里堡大学的数学家、杜米尼尔-科平的前博士后Ioan Manolescu说：“我们系内一直以互相大喊大叫而闻名，因为我们会对自己所做的事情感到非常兴奋。”有时，当他们的声音越来越大时，邻座教授可能会抱怨音量，他们不得不关上办公室的门。 “我们被我们的同事讨厌，”杜米尼尔-科平开玩笑说。

尽管如此，他不会改变任何事情。那些激烈的讨论，有时在黑板前持续数小时，是他学习数学不可或缺的一部分。他喜欢与他人分享他的想法，将他们分开，然后作为一个团队重新组合在一起，成为团队的一员。瑞士苏黎世联邦理工学院 (ETH Zurich) 的数学家温德林·沃纳 ( Wendelin Werner ) 说，他的数学方式“非常运动”——充满活力、充满活力、协作。

这是有道理的：36 岁的 Duminil-Copin 是一个运动型的人。他徒步旅行、骑自行车、游泳和爬山，而且经常在这些短途旅行中获得阵阵数学灵感。他对各种活动的兴趣也体现了他的工作特点，他从各个领域采样工具，不断努力改变数学家对相变的理解。

在六角格子上自我避免的行走。

沃纳说，这项和其他研究生工作“清楚地表明他不是一个普通的学生”。在他博士的晚上。 2012 年，他在日内瓦获得了教职。 （他现在在法国高等科学研究所联合任命。）到 2014 年，29 岁的他成为了一名正教授。

受控怀疑

尽管他早期的成功——或者可能是因为这些——杜米尼尔-科平认为自己对学术等级制度过敏。同行成了他的博士后，但他们说他总是一视同仁。

访问 Duminil-Copin 的网站，在列出的数十篇论文中，只有几篇他是唯一作者。 （出于这个原因，他还希望更多的奖项，包括菲尔兹奖章，是共同的。）“当我与某人分享它时，它会更加愉快，”他说。 “我什至数不清有多少次我冲进我的一位博士后或一位同事的办公室，解释一些从一开始就实际上是错误的糟糕想法。”事实上，他倾向于与他的朋友和合作者讨论一切，而不仅仅是数学。它帮助他处理，理解事物。

“他会经常这样做，”马诺莱斯库说，他就是这样一位亲密的朋友和合作者。 “我会和他一起工作，做这五个小时。我会走出他的办公室，彻底死去。他会喝杯咖啡，然后请其他人过来谈论一些完全不同的话题。”

Vincent Tassion是苏黎世联邦理工学院的数学家，也是 Duminil-Copin 的另一位亲密朋友和合作者，他将其描述为有一个好伙伴一起爬山。这就像“当你遇到你的灵魂伴侣时，”他说。随着时间的推移，“我们建立了自己的语言。”有时他们甚至不需要说什么。 “一个微笑就够了。”

Tassion 回忆说，有一次，在完成与 Duminil-Copin 的证明后，双方都特别兴奋，“我们跳进了彼此的怀抱。” Tassion 说，他们的合作教会了他“数学是非常亲密的东西”。 “你正在分享……你的想法。这是你拥有的最亲密的东西。”

Duminil-Copin 办公室里的 Hagoromo 粉笔，深受数学家喜爱。

但对于 Duminil-Copin 来说，这种强度，这种全时沉浸在数学作为一项协作运动，也有助于他应对焦虑。他对自己所做的几乎所有事情都不确定。在研究生院，他可以有一个完整的证明，完整地写出来，而他仍然会怀疑几个月。让合作者检查他的工作让他更放心。尽管他有明显的智慧和魅力，“我并不那么自信，”杜米尼尔-科平说。

据他自己承认，他倾向于过度思考事情。不仅仅是在数学方面——一切。例如，他最近监督了他的新房子的规划和建设，他与他的伴侣 Séverine、他们 1 岁的女儿和他们的狗分享了这所房子。在建造过程中，他会与工人们讨论各种可能性，不断地想要修改哪怕是很小的细节。 “我完全，完全着迷，”他说。 “房子可能只有现在的一半漂亮，而且已经足够了。”

这就是他的证明写作的样子：不断改进，对细节着迷。

对细节的过分关注有其优势。这家人的新家建在山坡上，让他们可以看到整个日内瓦——包括湖泊和著名的喷泉。他的办公室很宽敞；地板的一部分被六角形瓷砖覆盖，让人想起他的博士工作和渗透理论中的一个重要过程。 （设计是故意的。）

“我喜欢事情以正确的方式完成，”他说——一旦完成，它们就真正完成了。 “例如，对于这所房子，我不必再搬家了。”再一次，他使用的语言反映了他如何描述他的数学工作：正确完成的证明给他一种完成感。

坐在外面的露台上——有几个户外空间，他可以在那里停下来思考——杜米尼尔-科平观察周围的环境。 “我喜欢这个地方，”他说。 “这是一个思考事物的邀请。”

“当你看到这个时，”他继续说道，指着身后升起的阿尔卑斯山峰和远处蔓延开来的湖水，“它让事情变得清晰起来。 ……周围有几百万年来一直存在的山脉。它们将在数百万年后出现。这让你确信自己是多么渺小。”

尽管他态度随和，但他说他需要感觉自己在控制之中。这适用于建造新房子（他没有专业知识）和现在抚养孩子。即使是他肯定会获得菲尔兹奖的新闻报道也让他有些不舒服。这是他无法控制的另一件事。住在山里有助于使事情看起来更容易处理。

数学也是如此，他也将其用作治疗机制。在那里，他可以行使更多的控制权，因为“我掌握了我正在做的事情，”他说。此外，他所做的数学与日常生活领域脱节，“这是非常令人放心的事情，因为它非常纯粹。”它所需要的强度让他忘记了其他一切。

鲜明的区别

Duminil-Copin 彻底改变了我们对渗流理论的数学理解，但从物理学家的角度来看，由于在现实生活场景中对渗流的实验观察，他所证明的大部分内容已经为人所知多年，甚至几十年。 “每个人都知道答案会是什么，但没有人知道如何证明它，”维尔纳说。

Duminil-Copin 关于渗流的工作可分为三个部分：确定相变发生的临界点；描述该点上方和下方系统中发生的情况；并了解当时实际发生的事情。

其中大部分已因伯努利渗透而闻名，这是一种简单的模型，其中黑边的存在与否是通过独立的硬币翻转来确定的。但对于大多数渗滤模型，情况并非如此。相反，格子的某一部分存在黑边会影响其他地方是否有黑边。由于这些长期依赖关系，这样的渗透模型更难理解。

但它们也是更好的现实模型。黑色边缘的路径可以代表自然系统不同部分之间的相关性或通信通道，如磁铁。事实上，Duminil-Copin 经常使用相关的渗透模型来深入了解 Ising 模型，该模型用于研究铁磁体和相关系统的行为。

然而，在他这样做之前，他必须弄清那些依赖的渗透模型。他的第一个成功之一是为一大类二维相关渗透模型确定临界点——相变发生的概率阈值。他和数学家文森特贝法拉得到的公式也产生了伯努利渗流的已知答案。 “这在某种意义上是故事的开始，”杜米尼尔-科平说。

他接下来想了解系统在临界点之上和之下的行为。在它之下，晶格上的连通分量都是有限的。但它们有多小？ Duminil-Copin 与 Tassion 和Aran Raoufi一起证明了他们很小。找到一个大的连接组件——一个巨大但有限的连接黑边岛——的概率随​​着该岛的所需大小变得越来越大而迅速下降。也就是说，当您考虑距离彼此越来越远的点时，两个顶点位于同一连通分量中的概率呈指数下降。

类似地，在临界点之上，与无限并存的有限连通分量也很小。

这个属性被称为“锐度”，Dumiil-Copin 和他的同事们使用分析和计算机科学的工具，在所有维度的一类主要依赖渗透模型中证明了这一点。为了扩展渗透理论，这个结果（也发表在年鉴上）“是我长期以来目标的基石之一，”他说。这是因为许多其他与临界点以上和以下相关渗滤模型的行为有关的证明都假设该属性是一个猜想。结果，一旦 Duminil-Copin 得到证明，其他结果就立即出现了，这些结果提供了对某些数量和特征（例如连接组件的形状）的洞察力。

美林谢尔曼/广达杂志

当然，也许最自然的问题是在临界点本身，即相变的精确时刻会发生什么。对于数学家来说，理解“是最具挑战性的部分，也是最神秘的部分，”塔西翁说。 “这是当今大多数未解决问题的对象。”

当无限连通分量出现时，它可能会逐渐增加密度，一点一点地侵入整个空间。在这种情况下，渗流模型在临界点被称为“连续”。但有时，这种密度可能会突然以“不连续”的方式跳跃，无限的成分渗透到整个系统中，因此一旦发生相变，流体不仅会找到路径，而且几乎可以在任何地方流动。

这种区别对于理解给定的过程至关重要。例如，从冰到水的相变是不连续的。因此，在零度时，必须在转换实际发生之前的一段时间内向系统添加更多能量。 （这种不连续性也有助于解释其他特性，例如体积的突然变化。）

对于伯努利渗流，已知过渡是连续的。但是对于依赖渗流模型，物理实验和直觉表明它有时是连续的，有时是不连续的。 Duminil-Copin 试图解开这一点。他和他的同事们首先表明，对于一类二维的依赖渗流模型，相变在一定的状态下总是连续的（与模型相关的另一个参数有关）。一年半后，他和另一组数学家证明了同一类模型在互补状态下具有不连续的相变。

使用对相关渗滤模型的这种更广泛的理解——在临界点之前、之后和之后发生了什么——Dumiil-Copin 已经能够进一步扩展他的理论，包括其他模型，如Ising 模型。 “基本上，Hugo 解决了 [in the field] 的主要未解决问题的一半，”Werner 说。

解决了

对于 Duminil-Copin 来说，他的研究只是他作为数学家实际所做工作的一小部分。 “他非常清楚自己对社区的责任感，”维尔纳说。 “他是一个非常非常负责任的公民。”

他仔细考虑自己的行为——他如何说话、教学、写作——如何影响他人。在合作中，“他非常慷慨，”塔松说。 “他为你腾出空间……[并且]有能力让你觉得自己很聪明。这非常鼓舞人心。”

对 Duminil-Copin 来说，写一篇尽可能通俗和优雅的清晰论文是一种尊重：对于那些愿意花时间阅读它的数学家，以及那些可能想要在它的基础上构建或在自己的工作中使用它的人。这可能意味着要花费数年时间来完善一个证明，将其提炼出本质，并去掉不必要或令人困惑的部分。或者，就像他在一项主要工作中所做的那样，简化预先存在的证明，从而改变新生学习该领域关键部分的方式。 “他真正关心的是实际解释东西，而不仅仅是成为第一个真正证明这一点的人，”海尔说。

“你有责任，”杜米尼尔-科平说。这同样适用于教学、参加各种委员会、做编辑工作和写推荐信。有时，他会优先考虑这些对自己不利的任务：即使他已经不堪重负，涉及其他人的活动也是第一位的。

现在他获得了菲尔兹奖，他觉得自己好像被赋予了另一份工作：充当某种大使，恰当地展示数学研究是什么样的以及为什么它很重要。 “你别无选择，只能创造这样的例子，”他说。

尽管如此，最后他总是会重新回到做数学的方向。他希望通过证明它们在临界点满足某些对称性（即它们是“共形不变的”）来撰写关于二维相关渗透模型的新篇章。如果他和他的同事能够证明这些对称性存在，数学家将能够提取有关模型的大量其他信息。 “基本上，你会了解模型的一切，”Dumiil-Copin 说。 “所以对我来说，这是 2D 的最后一步。”

在 2020 年底发布的工作中，他和他的合著者朝着展示共形不变性迈出了重要一步。但 Duminil-Copin 认为，今年早些时候，他们可能已经取得了他们需要的突破。 “目前尚不清楚它是否足够强大以获得新的结果，”他说。但他很兴奋，他期待有时间更深入地思考它。 “这是一个对我来说非常重要的问题。”