环论中的中国剩余定理

Posted on 2023-05-27

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介绍

中国剩余定理的经典版本告诉我们，我们可以从模数关系中找到解决方案。你小时候可能看过这首诗。

有物不知其数，三三数之物二，五五数之物三，七七数之物二。问物几何？

翻译：

有些东西的数量是未知的。如果我们以三个为一组数，还剩下两个；五个，我们还剩下三个；到七点，剩下两个。有多少东西？

这首诗可以译为求方程的解：

在现代语言中，我们考虑整数环 $\mathbb{Z}$（Z 在德语中代表 Zahlen）。理想 $(3)$、$(5)$ 和 $(7)$ 是成对的互质（或共最大），因此，映射

被认为。这首诗是关于找到 $(2 +(3), 3+(5), 2+ (7))$ 的原像的解决方案。中国剩余定理告诉我们，映射是满射的。其实$233$就是这样一个元素。

然而，这里真正重要的是戒指和理想。这就是为什么我们尝试用环论的语言重新审视中国剩余定理。虽然经典版的重要性不容忽视，但我们也应该进一步看清它。

我们将研究环中的中国余数定理，假设环是可交换的或假设更弱的东西。我们还将在 Dedekind 域中看到一个特例。我们尽力做出尽可能少的假设。

中国剩余定理

我们希望尽可能少地应用限制。设 $A$ 是一个不一定可交换且不一定包含单位的环。环论中发展的很多东西在这里都会失败，但我们仍然可以考虑环和互素（或余最大）理想的直积。如果 $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=A$，$A$ 的两个理想 $\mathfrak{a}$ 和 $\mathfrak{b}$ 互质。我们将在两个抽象层次上做中国剩余定理。自始至终，在讨论理想时，我们都在谈论双面的理想。

级别 1 – Unity 环

当环有一个单位时，我们很容易看到理想的交集和乘积

命题 1.设 $A$ 为一个环，$A$ 的两个理想 $\mathfrak{a}$ 和 $\mathfrak{b}$ 为一环。如果$\mathfrak{a}$和$\mathfrak{b}$互质，即$\mathfrak{a}+\mathfrak{b}=A$，则

特别地，当 $A$ 可交换时，总是有 $\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b} = \mathfrak{ab}$。

证明。最后一个陈述来自 $\mathfrak{ab}=\mathfrak{ba}$ 的关系，因此足以证明第一个关系。请注意，存在 $x \in \mathfrak{a}$ 和 $y \in \mathfrak{b}$ 使得 $x+y=1$。结果，对于任何 $a \in \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$，一个有

相反，由于 $\mathfrak{a}$ 和 $\mathfrak{b}$ 都是双面理想，我们看到 $\mathfrak{ab} \subset \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$ 和 $ \mathfrak{ba} \subset \mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}$，它们的总和也是如此。 $\平方$

设 $A$ 为一环。考虑有限数量的理想 $\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_n$。定义一个同态

我们还不假设这些 $\mathfrak{a}_i$ 是成对互质的。我们将看到当他们这样做时会发生什么。

定理 1.对于上面定义的同态 $\phi$，

  1. $\phi$ 是单射当且仅当 $\bigcap_{i=1}^{n}\mathfrak{a}_i=(0)$。
  2. 如果 $\mathfrak{a}_i$ 是成对互质且 $A$ 是可交换的，则 $\prod_{i=1}^{n}\mathfrak{a}_i=\bigcap_{i=1}^{n }\mathfrak{a}_i$。
  3. $\phi$ 是满射当且仅当 $\mathfrak{a}_i$ 是成对互质的。

证明。第一个陈述来自 $\ker\phi=\bigcap_{i=1}^{n}\mathfrak{a}_i=(0)$ 这一事实。

对于第二个陈述，根据命题 1，这个等式对于 $n=2$ 成立。现在假设 $n>2$ 并且此语句对 $\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_{n-1}$ 成立。设 $\mathfrak{b}=\prod_{i=1}^{n-1}\mathfrak{a}_i=\bigcap_{i=1}^{n-1}\mathfrak{a}_i$，则我们将证明 $\mathfrak{a}_n+\mathfrak{b}=A$ 因此

请注意 $\mathfrak{a}_i$ 和 $\mathfrak{a}_n$ 是所有 $1 \le i \le n-1$ 的成对互质。因此，特别地，对于这些 $i$ 中的每一个，我们有等式 $x_i+y_i =1$，其中 $x_i \in \mathfrak{a}_i$ 和 $y_i \in \mathfrak{b}_i$。这里我们使用 $1 \in A$ 这一事实。 $A$ 的交换性也被使用，因为命题 1 告诉我们，如果没有交换性，我们甚至无法证明 $n=2$。

从这个等式我们推导出

展开右侧的乘积，我们看到 $\prod_{i=1}^{n-1}(1-y_i)=\prod_{i=1}^{n-1}x_i \equiv 1 \pmod {\mathfrak{a}_n}$。这意味着存在 $y \in \mathfrak{a}_n$ 使得 $\prod_{i=1}^{n-1}x_i+y=1$。由于 $\prod_{i=1}^{n-1}x_i \in \mathfrak{b}$，我们证明了 $\mathfrak{a}_n+\mathfrak{b}=A$。

对于第三个陈述，我们首先假设 $\phi$ 是满射的。例如，足以证明 $\mathfrak{a}_1$ 和 $\mathfrak{a}_2$ 是互质的。存在 $x \in A$ 使得 $\phi(x)=(1+\mathfrak{a}_1,0+\mathfrak{a}_2,\dots,0+\mathfrak{a}_n)$。这向我们展示了 $x \in \mathfrak{a}_2$ 和 $1-x \in \mathfrak{a}_1$。因此，

因此这两个理想互质。此过程仅通过修改索引就适用于所有其他 $\mathfrak{a}_i$。

相反，假设 $\mathfrak{a}_i$ 是成对互质的，则足以证明存在 $x \in A$ 使得 $\phi(x)=(1+\mathfrak{a}_1,0 +\mathfrak{a}_2,\dots,0+\mathfrak{a}_n)$ 因为我们可以将相同的过程应用于所有其他第 $i$ 个组件，然后 $1$ 可以替换为任何其他元素 $a$ $A$ 的（例如，对于这种情况，我们将 $x$ 替换为 $ax$）。所有其他情况都可以通过加法生成。

由于 $\mathfrak{a}_1+\mathfrak{a}_i=(1)$ 对于所有 $i>1$，我们有 $u_i+v_i = 1$ 其中 $u_i \in \mathfrak{a}_1$ 和 $ v_i \in \mathfrak{a}_i$。拿

然后我们看到 $x \equiv 0 \pmod{\mathfrak{a}_i}$ 对于所有 $i>1$ 但 $x \equiv 1 \pmod{\mathfrak{a}_1}$。这个 $x$ 将按预期映射到 $(1+\mathfrak{a}_1,0+\mathfrak{a}_2,\dots,0+\mathfrak{a}_n)$。 $\平方$

理想是双向的也很重要，否则这些 $n-1$ 项的产品将毫无意义。

推论 1（中国剩余定理）。如果 $\mathfrak{a}_i$ 是成对互质，则 $\phi$ 是同构：

如果 $A$ 是可交换的，那么

级别 2 – 非统一的非交换环

我们首先需要澄清“非交换环”的含义。当我们说“让 $A$ 成为一个非交换环”时，我们的意思是 $A$ 不一定是可交换的（它可以是但我们不关心）；当我们说“$A$ is noncommutative”时，我们的意思是 $A$ 是不可交换的。这是一个方便的问题。

这个层面上最痛的是这次我们不能再使用unity了（可以有一个unit，但是这里我们不要care）。为了解决这个问题，我们需要弄清楚在证明定理 1 中 $\phi$ 的满射性时我们本质上做了什么。我们在第一个理想中找到一个合适的元素，并在所有其他理想的交集中找到一个合适的元素。

出于这个原因，我们用不同的条件代替成对互质。容易看出，如果所有的理想都是成对互质的，则下面的条件自动满足。

定理2（中国剩余定理）。设 $A$ 是一个非交换环，设 $\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_n$ 是这样的理想

对于所有 $i=1,2,\dots,n$，则有一个同构

由地图引起

证明。我们有 $\ker\phi=\bigcap_{i=1}^{n}\mathfrak{a}_i$。因此，它仍然表明我们改进的互质条件意味着 $\phi$ 是满射的。同样，足以证明 $(a+\mathfrak{a}_1,0+\mathfrak{a}_2,\dots,0+\mathfrak{a}_n)$ 的原像对于所有 $r \in A 都存在$（等等！这里不应该考虑 $1$！）。由于$\mathfrak{a}_1+\bigcap_{i=2}^{n}\mathfrak{a}_i=A$，对于任意$a \in A$，存在$a_1 \in \mathfrak{a}_1 $ 和 $a_2 \in \bigcap_{i=1}^{n}\mathfrak{a}_2$ 这样

因此，

这证明了 $\phi$ 的满射性。 $\平方$

奖金

我们

定理 3（中国剩余定理）。令 $A$ 为环，令 $\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_n$ 令 $\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_n$ 为理想$A$。如果所有 $\mathfrak{a}_i$ 都是成对互质的并且对于所有 $i$，

则中国剩余定理成立。

如果 $A$ 有单位，则条件 $A=\mathfrak{a}_i+A^2$ 自动满足。

证明。首先假设所有 $\mathfrak{a}_i$ 互质并且满足 $A=\mathfrak{a}_i+A^2$。当$i=1$时足以证明这种情况。请注意

因此 $A=\mathfrak{a}_1 + \mathfrak{a}_2 \cap \mathfrak{a}_3$。假设现在 $3<m < n$ 并且

然后

通过归纳法，我们有 $\mathfrak{a}_1+\bigcap_{j=2}^{n}\mathfrak{a}_j = A$ 。下一个来自定理 2。 $\square$

最后，我们提供了一个有趣的中国剩余定理版本，涉及 Dedekind 域。

定理4（中国剩余定理）。令 $\mathfrak{a}_1,\dots,\mathfrak{a}_n$ 为理想，令 $x_1,\dots,x_n$ 为 Dedekind 域 $A$ 中的元素。那么同余系统 $x\equiv x_i \pmod{\mathfrak{a}_i}$ ($1 \le i \le n$) 在 $A$ 中有解 $x$ 当且仅当 $x_i \equiv x_j \pmod{\mathfrak{a}_i+\mathfrak{a}_j}$ 每当 $i \ne j$。

证明。定义 $\phi:A \to \bigoplus_{i=1}^{n}A/\mathfrak{a}_i$ 通过 $x \mapsto (x+\mathfrak{a}_1,\dots,x+\mathfrak{a }_n)$ 和 $\psi: \bigoplus_{i=1}^{n}A/\mathfrak{a}_i \to \bigoplus_{i<j}A/(\mathfrak{a}_i+\mathfrak{a }_j)$ 使得 $\psi(x_1+\mathfrak{a}_1,\dots,x_n+\mathfrak{a}_n)$ 的 $(i,j)$ 分量为 $x_i-x_j+\mathfrak{a }_i+\mathfrak{a}_j$，那么这个语句就相当于说$A$-modules的序列

是准确的。很明显，$\operatorname{im}\phi \subset \ker \psi$。我们需要证明相反的情况。由于精确性是一个局部属性，我们可以假设 $A$ 是一个离散的估值环，这意味着在 A$ 中有一个元素 $x \in A$ 使得所有理想 $\mathfrak{a}$ 的形式为 $(x ^k)$。因此我们可以重新排列 $\mathfrak{a}_i$ 使得 $\mathfrak{a}_1 = (x^{k_1}) \supset \mathfrak{a}_2=(x^{k_2}) \supset \cdots \supset \mathfrak{a}_n=(x^{k_n})$。在这种情况下，一个人有 $k_1 \le k_2 \le \dots \le k_n$。在这种情况下，只要 $i<j$，我们就有 $\mathfrak{a}_i+\mathfrak{a}_j=\mathfrak{a}_i$。

现在选择 $(x_1+\mathfrak{a}_1,\dots,x_n+\mathfrak{a}_n)\in \ker\psi$，然后选择 $x_i-x_j \in \mathfrak{a}_i+\mathfrak{a}_j =\mathfrak{a}_i$.因此 $x_i \equiv x_j \pmod{\mathfrak{a}_i}$。特别地，取 $j=n$，我们看到

正如所希望的那样。 $\平方$

示例和备注

如果我们将 $A$ 替换为 $\mathbb{Z}$ 并将 $\mathfrak{a}_i$ 替换为互质数生成的理想，那么我们就得到了中国余数定理的经典版本。

对于不可交换的情况，读者可以看这篇文章

再举一个例子，我们考虑拉格朗日插值，它是环 $\mathbb{R}[X]$ 上的中国剩余定理的特例，额外考虑了评估。正如您可能猜到的那样，$\mathbb{R}$ 可以替换为其他字段。

找到通过三个点 $(1,2)$、$(2,-1)$ 和 $(3,2)$ 的多项式 $f(X) \in \mathbb{R}[X]$。

考虑理想 $\mathfrak{a}_1=(x-1)$、$\mathfrak{a}_2=(x-2)$ 和 $\mathfrak{a}_3=(3,2)$。然后，例如，$f(X) \equiv f_1(X) \pmod{\mathfrak{a}_1}$，其中 $f_1$ 是实数多项式，在点 $1$ 处达到 $2$。中国剩余定理告诉我们这样的$f$存在。这种方法看似不必要，但它允许我们以代数方式查看数值分析中的定理。

我们也可以把和多项式环无关的东西做成多项式环的事情。例如，通过中国剩余定理，我们可以通过以下方式计算 $\mathbb{C} \otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$：

有一个 Hilbert 定理 90（循环扩展）的证明，其中使用了上面的同构，度数高于 $2$： https://mathoverflow.net/a/21117/172944

我们最后的评论展示了中国剩余定理的几何解释。在几何学中，我们考虑一个酉交换环的谱，它产生一个仿射方案。如果 $A=\prod_{i=1}^{n}A_i$ 是这样的环 $A_i$ 的直积，则 $\operatorname{Spec}A \cong \coprod_{i=1}^{n}\运算符名称{Spec}(A_i)$。相反地​​，使用中国余数定理，我们可以证明如果 $\operatorname{Spec}A$ 是两个谱的不相交并集，则 $A$ 是另外两个环的直积。准确地说：

设 $A$ 为酉交换环，则下列语句等价：

  1. $X=\operatorname{Spec}(A)$ 断开连接。
  2. $A=A_1 \times A_2$ 其中两个环都不是零环。
  3. 存在一个元素$e \ne 0,1$使得$e^2=e$，即幂等元素。

特别是，由于在本地环中任何幂等元素都是 $0$ 或 $1$，我们看到它的频谱必须是连通的。

参考

  • Michael Atiyah，IG MacDonald，交换代数简介

  • Ravi Vakil，代数几何基础

原文： https://desvl.xyz/2023/05/27/chinese-remainder-theorem-ring-theory/