介绍
在分析和概率论中，人们出于各种原因研究（随机变量的）各种收敛。在这篇文章中，我们研究了模糊收敛，它负责分布的收敛。
含糊地说，模糊收敛是人们可以预期的最弱的一种收敛（同时仍然尽可能关心连续性）。我们不考虑随机变量序列之间的任何依赖关系。
自始至终，固定一个概率空间$(\Omega,\mathscr{F},\mathscr{P})$，其中$\Omega$是样本空间，$\mathscr{F}$是事件空间，$\mathscr{ P}$ 概率函数。设 $(X_n)$ 为该空间上的一系列随机变量。每个随机变量 $X_n$ 规范地导出概率空间 $(\mathbb{R},\mathscr{B},\mu_n)$，其中 $\mathscr{B}$ 是 Borel $\sigma$ 度量。为了避免符号地狱，我们只考虑对应 $X_n \leftrightarrow \mu_n$ 其中
问题来了：如果 $X_n$ 趋于极限，那么我们会期望 $\mu_n$ 在某种意义上（至少在某些区间）收敛到极限（比如 $\mu$）。但情况总是如此吗？即使数列收敛，我们还能有 $\mu(\mathbb{R})=1$ 吗？我们将通过一些例子看到事实并非如此。
示例：区间收敛失败
让 $X_n\equiv\frac{(-1)^n}{n}$，然后 $X_n\to 0$ 确定性地。对于任何 $a>0$，序列 $\mu_n((0,a))$ 在 $0$ 和 $1$ 之间振荡，即它以以下形式结束
根本不收敛。同样，对于任何 $b<0$，序列 $\mu_n((b,0))$ 在 $1$ 和 $0$ 之间振荡。
作为收敛失败的另一个例子，将 $b_n<0<a_n$ 与 $a_n \to 0$ 和 $b_n \to 0$ 视为 $n \to \infty$，并设 $X_n$ 为随机变量序列$(b_n,a_n)$ 上的均匀分布。我们看到$X_n \to 0$ ae但是$\mu_n((b,0))$，受制于$X_n$下$b_n$和$0$之间的区域，可能根本不收敛，或者收敛到任何数在 $0$ 和 $1$ 之间。
示例：无法收敛到概率度量
我们编写了一个示例，其中 $\mu_n$ 收敛到 $\mu$，其中 $\mu(\mathbb{R})<1$，从而防止 $\mu$ 成为概率度量。为此，固定两个正数 $\alpha$ 和 $\beta$ 使得 $\alpha+\beta<1$。考虑随机变量 $X_n$ 的序列
然后 $X_n \to X$ 其中
那么$\lim_n\mu_n(\mathbb{R})=1-\alpha-\beta<1$。此度量的原子已逃逸到 $+\infty$ 和 $-\infty$。
这些例子启发我们发展一种较弱的收敛意识，我们只考虑间隔（因为我们希望连续函数发挥作用）。
定义
从上面的例子可以看出，并不是一直期望达到$=1$。因此，我们改为考虑 $\le 1$，因此遵循以下概率度量和分布函数的弱化版本。
定义 1.如果 $\mu(\mathbb{R}) \le 1$，则 $\mathbb{R}$ 上的测度 $\mu$ 是子概率测度(spm)。相应地，关于 $\mu$ 的子分布函数(sdf) 定义为
当 $\mu(\mathbb{R})=1$ 时，没有什么新鲜事，但即使没有，我们也没有太多障碍。我们仍然看到 $F(x)$ 是一个右连续函数，其中 $F(-\infty)=0$ 且 $F(+\infty)=\mu(\mathbb{R}) \le 1$。为了简洁起见，我们将从现在开始将 $\mu((a,b])$ 写入 $\mu(a,b]$，对于其他类型的间隔也类似。我们还将 $\mu(a,b )=0$ when $a>b$ 因为为什么不呢。
我们的示例还警告我们原子是一个大问题，这导致我们得出以下有关区间的定义。
定义 2.符号如上，如果 $a$ 和 $b$ 都不是 $\mu$ 的原子，则区间 $(a,b)$ 称为连续区间，即如果 $\mu(a,b)= \mu[a,b]$。
在我们的第一组示例中，可以测试 $(0,1)$ 是否是连续区间。现在我们准备好模糊收敛的定义了。
定义 3.如果存在稠密子集 $D \subset \mathbb{R}$，则称 spm 的序列 $(\mu_n)$模糊收敛到 spm $\mu$ 使得
我们写成 $\mu_n \xrightarrow{v} \mu$。
设 $(F_n)$ 是 $(\mu_n)$ 的对应自变量，$F$ 是 $\mu$ 的自变量。然后我们说 $F_n$ 模糊地收敛到 $F$ 并写成 $F_n \xrightarrow{v} F$。
在这种情况下，我们没有为随机变量 (rv) 构建基础设施是不公平的。我们介绍以下您可能已经在基于微积分的概率论中学习过的概念：
定义 4.设 $(X_n)$ 为具有相应累积分布函数 (cdf) $(F_n)$ 的 rv 序列。如果 $F_n \xrightarrow{v} F$，我们说 $X_n$ 弱收敛或分布到 $X$（具有相应的 cdf $F$）。
在基于微积分的概率论中，只要 $F$ 在 $x$ 处连续，就会研究 $F_n(x) \to F(x)$。这个定义更容易理解，但跳过了很多重要的细节。
等效条件
在本节中，我们从测度论的角度研究模糊收敛，大部分时间使用 $\varepsilon-\delta$ 参数。我们将看到收敛看起来与 $\mathbb{R}$ 的收敛非常相似。
设 $(a_n)$ 为实数序列，我们可以回忆一下
- 如果 $(a_n)$ 收敛，则极限是唯一的。
- 如果 $(a_n)$ 是有界的，那么它有一个有界的子序列。
- 如果 $(a_n)$ 的每个子序列都收敛到 $a$，则 $a_n$ 收敛到 $a$。
这些结果在微积分的背景下是自然的，但在拓扑和功能分析的世界中，这些不是自然预期的。然而，spm 喜欢这三个（关于第二点，请注意 spm 无论如何在某种意义上是有界的。）然而，在这里包含所有内容并假设读者将一次完成它就太雄心勃勃了。
定理 1.让 $(\mu_n)$ 和 $\mu$ 是 spm 的。以下条件是等效的：
(1) $\mu_n \xrightarrow{v} \mu$。
(2) 对于每个有限区间 $(a,b)$ 和 $\varepsilon>0$，存在一个 $n_0(a,b,\varepsilon)$ 使得每当 $n \gen_0$，
(3) 对于 $\mu$ 的每个连续区间 $(a,b]$，我们有
当$(\mu_n)$和$\mu$是pm的时候，第二个条件等价于“uniformed”版：
(4) 对于每个 $\delta>0$ 和 $\varepsilon>0$，存在 $n_0(\delta,\varepsilon)$ 使得如果 $n \gen_0$，则对于每个区间 $(a,b )$，可能是无限的：
证明。我们首先研究前三个语句的等价性。假设 $\mu_n$ 模糊地收敛到 $\mu$。给定实线的密集子集 $D$ 使得每当 $a,b \in D$ 和 $a 0$ 时，$a_1,a_2,b_1,b_2 \in D$ 满足
通过模糊收敛，存在 $n_0>0$ 使得每当 $n \ge n_0$，
对于 $i=1,2$ 和 $j=1,2$。它遵循
另一方面
两者结合起来，含义就很清楚了。
接下来，我们假设 (2)，并令 $(a,b)$ 为 $\mu$ 的连续区间，即我们有 $\mu(a,b)=\mu[a,b]$。关系 $\mu(a+\varepsilon,b-\varepsilon)-\varepsilon \le \mu_n(a,b)$ 意味着
对所有 $\varepsilon>0$ 成立。另一方面，作为左侧的 $\varepsilon \to 0$，我们看到
同样，关系 $\mu_n(a,b) \le \mu(a-\varepsilon,b+\varepsilon)+\varepsilon$ 产生
当 $\varepsilon \to 0$ 在右边，我们得到
总结双方，注意
这迫使 $\mu_n(a,b)$ 收敛到 $\mu(a,b)$。这意味着 $\mu_n(a,b] \to \mu(a,b]$。要看到这一点，请选择另一个连续区间 $(a,b’)$，它正确地包含 $(a,b)$。然后$(b,b’)$ 是另一个连续区间。它遵循
假设（3）。请注意，$\mu$ 的原子集 $A$ 必须至多可数，因此 $D=\mathbb{R} \setminus A$ 在 $\mathbb{R}$ 中是稠密的。另一方面，$(a,b]$ 是一个连续区间当且仅当 $a,b \in D$。这意味着 (1)。
上述论证也表明，在讨论模糊收敛时，可以自由地将$(a,b]$替换为$(a,b)$、$(a,b]$或$[a,b]$，只要$(a,b)$是一个连续的区间，它也遵循$\mu_n(\{a\}) \to 0$。
对于 (4)，由于 (4) 蕴含 (2)（通过取 $\delta=\varepsilon>0$），它仍然表明 (3) 蕴涵 (4) 假设 $\mu_n$ 和 $\mu$是下午的。确实，在有限区间内证明它就足够了，我们将首先证明这一行动。设 $A$ 表示 $\mu$ 的原子集。首先，我们可以选择整数 $n>0$ 使得 $\mu(-n,n) > 1-\frac{\varepsilon}{4}$（也就是说，区间太大以至于度量很接近到 1 美元就够了）。选择 $\alpha,\beta \in A^c$ 使得 $a \le -n$ 和 $b \ge n$ （这是可能的，因为 $A^c$ 是密集的）。对于区间$(\alpha,\beta)$，我们可以进行有限划分
这样 $|a_{j+1}-a_j| \le \delta$ 和 $a_j \in A^c$ 对于所有 $j=1,\dots,\ell-1$。因此，我们有
根据 (3)，存在 $n_0$ 取决于 $\varepsilon$ 和 $\ell$（因此 $\delta$）使得
对于所有 $n \ge n_0$。添加所有 $j$，用开区间替换端点，我们看到
它遵循
（这是 pm 重要的地方。）因此，当 $n \ge n_0$ 和讨论 $\mu(a,b)$ 与 $\mu_n(a,b)$ 时，忽略 $(a,b) \setminus (a_1 ,a_\ell)$ 只会导致错误 $<\frac{\varepsilon}{2}$。因此，只要假设 $(a,b) \subset (a_1,a_\ell)$ 并证明
由于 $(a,b) \subset (a_1,a_\ell)$，存在 $j,k$ 且 $1 \le j \le k < \ell$ 使得
证明到此结束，并说明了为什么我们对 $a_j$ 的特定选择很重要。 $\平方$
我们不能对以上三点都给出处理，但是第一点，模糊极限的唯一性，现在已经很清楚了。
推论 1（模糊极限的唯一性）。定义 3 中的符号。如果存在另一个 spm $\mu’$ 和另一个稠密集 $D’$ 使得每当 $a,b \in D’$ 和 $a<b$ 时，一个有 $\mu_n(a ,b] \to \mu'(a,b]$，那么 $\mu$ 和 $\mu’$ 是相同的。
证明。令$A$为$\mu$和$\mu’$的原子集；那么如果 $a,b \in A^c$, 一个有 $\mu_n(a,b] \to \mu(a,b]$ 和 $\mu_n(a,b] \to \mu'(a, b]$。因此 $\mu(a,b]=\mu'(a,b]$。由于 $A^c$ 在 $\mathbb{R}$ 中是稠密的，因此它们两者必须相同。 $\square $