偏微分方程的“基本解”求解方程，并将右侧设置为 δ。直观上，您可以将 Delta 函数视为用锤子敲击某物，以观察其响声。
关于严格性的旁白
新手可能会接受上面的解释。
大二学生可能会正确地反对，认为这没有意义。这个增量“函数”甚至不是一个函数。如何将微分方程的一侧设置为甚至不是函数的值？
专家会理解，将 δ 称为函数只是使用分布理论进行严格构造的一种方便的修辞手法。您可以在此处找到高级介绍。
与许多钟形曲线模因一样，横轴实际上是经验而不是智力。 “无论你说什么”可能是对某人谈论他们理解而你不理解的事情的明智回应。当你接触到一个你没有意识到是一个隐喻的隐喻时，反对某些事情没有意义（如上所述）是一种明智的反应。成熟的反应是欣赏严谨的价值和隐喻的价值。
为什么是根本性的
基本解之所以被称为“基本”，是因为一旦有了基本解，就可以通过将右侧与它进行卷积来找到更多解。
因此，如果L是线性微分算子并且F是基本解，即
L F = δ
那么卷积f = F * h是一个解
L f = h 。
泊松方程
泊松方程的基本解
∇² f = h
取决于尺寸。
对于尺寸d > 2，解与r d -2 成比例，其中r是到原点的径向距离。
对于维度d = 2，解与 log r成正比。
这是桑乔伊·马哈詹 (Sanjoy Mahajan) 题为“零次幂常常是渴望自由的对数”的文章中提到的现象的一个例子。如果我们天真地将d = 2 放入更高维度的基本解r d −2中，我们会得到r 0 = 1，这是行不通的。但是我们读过 Mahajan 的文章，我们可能会猜测 log r然后验证它是否有效。
我在这篇文章中举了几个“渴望自由的对数”的例子。
后基本解决方案首先出现在John D. Cook上。
原文： https://www.johndcook.com/blog/2025/03/30/fundamental-solution/