无限多的质数怎么能相距无限远？

如果您本月一直在关注数学新闻，您就会知道 35 岁的数论家詹姆斯·梅纳德 (James Maynard) 获得了菲尔兹奖——这是数学家的最高荣誉。 Quanta报道说，Maynard 喜欢“简单到足以向一名高中生解释，但又难以难倒数学家数百年”的数学问题，其中一个简单的问题是：当你沿着数字线移动时，必须始终存在是靠近在一起的素数吗？

你可能已经注意到数学家对素数很着迷。是什么吸引他们？也许这是事实，素数体现了一些数学最基本的结构和奥秘。素数通过允许我们使用唯一的因式分解对每个数字进行分类和分类，绘制出乘法的世界。但即使人类从乘法开始就一直在玩素数，我们仍然不确定素数会出现在哪里，它们有多分散，或者它们必须有多接近。据我们所知，素数并不遵循简单的模式。

我们对这些基本对象的迷恋导致发明或发现了数百种不同类型的素数：梅森素数（形式为 2 ⁿ – 1 的素数）、平衡素数（两个相邻素数的平均值）、和 Sophie Germain 素数（一个素数p使得 2 p + 1 也是素数），仅举几例。

任何给定行中的所有数字都具有相同的十位数字，并且任何给定列中的所有数字都具有相同的个位数字。 97 是其行中唯一的阴影数字这一事实反映了它在个位上是微妙的事实，但它不是其列中唯一的质数，这意味着它在十位中并不微妙。

一个数字精细的两位素数必须是其行和列中唯一的素数。如表所示，不存在这样的两位数素数。那么数字精致的三位素数呢？这是一个类似的表格，显示了 100 到 199 之间的三位素数的布局，省略了合数。

在这里，我们看到 113 在它自己的行中，这意味着它在个位数中是微妙的。但是 113 不在它自己的列中，因此对十位数的一些更改（例如 103 的 0 或 163 的 6）会产生素数。由于没有数字出现在它自己的行和自己的列中，我们很快就会看到，如果你改变它的个位或十位，没有一个三位数字可以保证是复合的。这意味着不可能有三位数字精细素数。请注意，我们甚至没有检查百位数。为了真正数字化，三位数字必须在三维表中避免三个方向的素数。

数字精细素数甚至存在吗？当你在数轴上走得更远时，素数往往会变得更稀疏，这使得它们不太可能在这些高维表的行和列中交叉路径。但是更大的数字有更多的数字，并且每个额外的数字都会降低素数在数字上变得微妙的可能性。

如果你继续前进，你会发现数字精细素数确实存在。最小的是 294,001。当你改变它的一个数字时，你得到的数字——比如 794,001 或 284,001——将是复合数字。还有更多：接下来的几个是 505,447； 584,141; 604,171; 971,767;和 1,062,599。事实上，他们并没有停下来。著名的数学家 Paul Erdős 证明了有无数个数字精细素数。这只是关于这些奇怪数字的许多令人惊讶的结果中的第一个。

例如，Erdős 不仅证明了存在无限多的数字精细素数：他证明了在任何基中都有无限多的数字精细素数。因此，如果您选择以二进制、三进制或十六进制表示您的数字，您仍然可以保证找到无限多的数字精细素数。

数字微妙的素数不仅仅是无限的：它们占所有素数的非零百分比。这意味着，如果您查看数字精细素数的数量与整体素数数量的比率，这个分数是大于零的某个数字。用技术术语来说，所有素数的“正比例”在数字上是微妙的，正如菲尔兹奖得主 Terence Tao 在 2010 年所证明的那样。素数本身并不占所有数字的正比例，因为你会发现越来越少的素数你沿着数字线走得越远。然而，在这些素数中，您将继续发现数字精细素数，其频率足以使精细素数与总素数之比保持在零以上。

也许最令人震惊的发现是2020 年关于这些奇怪数字的新变化的结果。通过放宽数字是什么的概念，数学家重新构想了数字的表示：他们不再单独考虑 97，而是将其视为具有前导零：

…0000000097。

每个前导零都可以被认为是一个数字，数字精致的问题可以扩展到这些新的表示。是否存在“广泛数字化的精细素数”——如果你改变任何数字，包括任何前导零，这些素数总是会变成合数？感谢数学家 Michael Filaseta 和 Jeremiah Southwick 的工作，我们知道答案是肯定的。不仅存在广泛的数字精细素数，而且它们的数量是无限多的。

素数构成了无数的数学谜题，供专业人士和爱好者玩。我们可能永远无法解开它们的所有谜团，但你可以指望数学家不断发现和发明新的质数来探索。

练习

1. 2 到 101 的质数之间最大的质数差距是多少？

2. 为了证明素数有无穷多个，欧几里得假设素数有无穷多个 ，然后表明不能被列表中的任何素数整除。这不是说q必须是素数吗？

3. 数论中的一个著名结果是，在k和 2 k （包括）之间总是存在一个素数。这很难证明，但很容易证明在k和 （含），其中都是小于或等于k​​的素数。证明给我看。

4. 你能找到个位数和十位数中最小的素数吗？这意味着更改个位或十位将始终产生一个合数。 （您可能想编写一个计算机程序来执行此操作！）

挑战问题：你能找到以二进制表示时在数字上微妙的最小素数吗？回想一下，在二进制或以 2 为底的情况下，唯一的数字是 0 和 1，每个位值代表 2 的幂。例如，8 表示为， 自从 , 以 2 为底的 7 是， 自从 .

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最大的差距在素数 89 和 97 之间。一般来说，沿着数轴越远，差距会越大，但是孪生素数猜想当然声称无论离多远，总会有非常靠近的素数你走。另请注意，本列中使用的构造素数间隙的方法效率低下：要构造这种大小的素数间隙，您将从数字开始.

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