多项式方程的根揭示了它们的许多秘密。
克里斯蒂娜·阿米蒂奇/广达杂志
在最近的一篇论文中，普林斯顿大学的Manjul Bhargava解决了一个 85 年前的猜想，该猜想是关于数学最古老的困扰之一：多项式方程的解，例如x 2 – 3 x + 2 = 0。“这是一个很大的问题，著名的老问题，”蒙特利尔大学教授安德鲁·格兰维尔说。 “[Bhargava] 有一种有趣的、有些不同的方法，非常有创意。”
为了理解多项式，数学家研究它们的根，即使多项式等于零的x值。如果将数字 1 或 2 代入x 2 – 3 x + 2，您将得到零，从而使 1 和 2 成为该多项式的根。
等式x 2 – 5 = 0 有点棘手。多项式不能用有理数来求解——一个由两个整数相除的分数。所以数学家定义了一个新的数字来解决这个方程并称之为.但我们所知道的
是它的平方是 5。一旦你有
，您可以轻松地将其乘以 –1 以获得第二个根：–
.
这两个方程在另一个关键方面有所不同。 x 2 – 5 = 0 的根有助于求解我们数学系统中的许多其他方程，例如x 2 – 20 = 0。（请注意，我们的数学系统仅限于多项式和有理数。）但是如果我们开始使用他们这样，我们会发现和 –
完全可以互换。两个都
和 –
与x 2 – 20 = 0 的解同样有效——更一般地说，在任何情况下。任何地方
是有帮助的，所以是——
.
这种情况是迄今为止最常见的情况。有根不可互换的有理方程很少见，就像在我们的第一个示例中一样，如果您在数学系统中开始使用 2 代替 1，就会产生废话。 “如果你切换 1 和 2，那么所有算术都会死掉，”Bhargava 的合作者、南卡罗来纳大学教授弗兰克·索恩 ( Frank Thorne ) 说。
范德瓦尔登猜想，1936 年由荷兰数学家 Bartel Leendert van der Waerden 提出，试图量化有多少多项式有不可互换的根。几十年来的进展是稳定但缓慢的。但最近，这一进展加速了，在更广泛的信风推动整个数论方面取得了进展。 “尤其是数论中更具体、更经典的问题，它们在过去 20 年里确实卷土重来，”伦敦皇家霍洛威大学教授雷纳·迪特曼 ( Rainer Dietmann ) 说。
为此，巴尔加瓦在 2014 年获得了菲尔兹奖，被广泛认为是数学界的最高荣誉。 “巴尔加瓦推倒了一堆门，邀请人们去探索，”索恩说。
2021年夏天，范德瓦尔登猜想的新工作如潮水般涌现。华威大学的 Dietmann 和他的合作者Sam Chow已经解决了几个关键案例，于 6 月 28 日发布了一篇取得重大进展的新论文。接下来的一周，另一个六人团队分享了他们自己的预印本。
在这一切之中，Bhargava 于 7 月 1 日进行了一次在线演讲。在演讲中，Bhargava 展示了对范德瓦尔登猜想稍作修改的证明。 “他已经做到了毫厘之差，”索恩说。
仅仅两周后，在美洲数学大会期间的一次在线演示中，Bhargava 分享了完全证明范德瓦尔登猜想的新工作。他于 11 月在网上发布了他的论文。
Van der Waerden 对有多少多项式具有不可互换的根感兴趣。但是对于无数个多项式，他不得不以某种方式限制计数。
他从多项式的次数开始，即公式中出现的x的最高幂。多项式x 2 + 1 的次数为 2，而x 17 – 4 的次数为 17。然后他只研究了第一个系数为 1 的多项式。这些被称为一元多项式。 （通过只考虑一元多项式，您可以消除一些重复计算：2 x 2 – 6 x + 4 与x 2 – 3 x + 2 具有完全相同的根。）
最后，他通过选择一个名为H的正数来限制其余的系数。他只研究了系数都在H和H之间的多项式。
van der Waerden 猜想指出，如果你计算你选择的多项式——所有系数在H和H之间的一元、 n次多项式——它们中的大约H n -1将有不可互换的根。巴尔加瓦证实了这一说法。
证明经过多年的仔细思考，才最终形成。 “我断断续续地思考这个问题至少七八年了，”巴尔加瓦说。 “任何时候出现一些想法，即使是关于其他问题，我都会想，哦，它是否适用于这个问题？”
最终的解决方案充分利用了 Bhargava 花费大量时间收集的技术。他没有一次计算他的多项式池，而是将它们分成三个不同的组。多项式根据判别式分配给组，判别式是与多项式的根相关的数字。然后，巴尔加瓦使用不同的策略攻击每一组。
“他们都是来玩的。这就是让我如此兴奋的原因，”Bhargava 说。 “这些来自不同领域的各种想法像拼图一样汇集在一起，以解决问题，完美地涵盖了所有可能的情况。”
尽管新论文解决了范德瓦尔登的猜想，但仍有无数前进的道路。 “像 Bhargava 这样的人的一大优点是他的独创性往往会敞开心扉，给其他人思考和发展的机会，”格兰维尔说。
例如，数学家可以考虑从比有理数更多的数字集合开始时会发生什么。他们还可以调查范德瓦尔登猜想背后的细节：如果你不能以你想要的方式交换根，你怎么能交换它们呢？特定模式是否特别容易出现？
即使 Bhargava 的技术不能直接导致数论的下一个突破，Thorne 相信这篇论文将产生更无形的影响。 “我认为，阅读这篇论文就是要意识到这些结果有待证明，”他说。 “[Bhargava] 敢于相信这是可能的，他向世界证明了他是对的。”
原文： https://www.quantamagazine.org/new-proof-reveals-the-hidden-structure-of-common-equations-20220421/