数字系统的矩阵表示 – 搞英语 → 看世界

上一篇文章讨论了复数、对偶数和双数。所有三个系统都是通过向具有某些特殊代数性质的实数添加一些元素来构造的。复数是通过添加一个元素i来构造的，使得i ² = −1。双数是在 ε² = 0 的情况下添加一个元素 ε ≠ 0，而双数是通过添加j ≠ 1 且j² = 1 来构造的。

如果添加特殊元素似乎有些不合法，那么还有另一种方法来定义这些数字系统，使用 2 × 2 矩阵可能看起来更具体。（150 年前的读者可能会更习惯附加特殊数字而不是矩阵，但现在我们已经习惯了矩阵。）

以下映射提供了复数、对偶数和双数之间的同构以及它们在 2 × 2 矩阵环中的嵌入。

$\begin{align*} a + ib &\leftrightarrow \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} \\ a + \varepsilon b &\leftrightarrow \begin{pmatrix} a & b \ \ 0 & b \end{pmatrix} \\ a + jb &\leftrightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix} \\ \结束{对齐*}$

由于映射是同构的，因此您可以将这些数字系统之一中的计算转换为涉及实矩阵的计算，然后将结果转换回原始数字系统。这在概念上很有趣，但如果您使用支持矩阵但不直接支持替代数字系统的软件，它也可能很有用。

您也可以从右到左应用对应关系。如果您需要对上述特殊形式的矩阵进行计算，您可以转向复数（或对偶或双精度），进行代数运算，然后将结果转换回矩阵。

矩阵的函数

上一篇文章研究了欧拉定理在复数、对偶数和双数方面的变体。您可以通过将 exp、sin、cos、sinh 和 cosh 应用于矩阵来验证这三个定理。在每种情况下，您都根据函数的幂级数定义函数并坚持矩阵。您应该有点担心收敛问题，但这一切都会解决。

您还应该关注交换性。实数的乘法是可交换的，但矩阵的乘法不是，因此您不能将矩阵放入任何由实数导出的方程中并期望它成立。例如，一般来说 exp( A + B ) 等于 exp( A ) exp( B ) 并不成立。但如果矩阵A和B可交换，并且表示复数（或对偶或双精度）的特殊矩阵也可交换，则情况成立。

矩阵的函数

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