发布证明后，丹尼尔·拉森（Daniel Larsen）进入麻省理工学院攻读数学专业。
广达杂志的凯瑟琳·泰勒
当丹尼尔·拉森上中学时，他开始设计填字游戏。他不得不把这个爱好放在他的其他兴趣之上：国际象棋、编程、钢琴、小提琴。在赢得区域比赛后，他两次获得华盛顿特区附近的斯克里普斯国家拼字比赛资格。 “他专注于某件事，它只是砰、砰、砰，直到他成功，”拉森的母亲 Ayelet Lindenstrauss 说。他的第一个填字游戏被各大报纸拒绝，但他坚持下去并最终闯入。迄今为止，他保持着 13 岁时在《纽约时报》上发表填字游戏最年轻的人的记录。“他非常坚持，”林登施特劳斯说。
尽管如此，拉森最近的痴迷感觉不同，“比他的大多数其他项目更长、更强烈，”她说。一年半多的时间里，拉森一直在思考某个数学问题。
它源于一个更广泛的问题，数学家卡尔弗里德里希高斯认为是数学中最重要的问题之一：如何区分素数（只能被 1 和自身整除的数）和合数。数百年来，数学家一直在寻找一种有效的方法来做到这一点。这个问题在现代密码学的背景下也变得相关，因为当今一些最广泛使用的密码系统涉及使用大量素数进行算术运算。
一个多世纪以前，在寻求快速、强大的素数测试的过程中，数学家偶然发现了一群麻烦制造者——这些数字可以让测试误以为它们是素数，即使它们不是。这些被称为卡迈克尔数的伪素数特别难以掌握。例如，直到 1990 年代中期，数学家才证明它们的数量是无限的。能够更多地说明它们是如何沿着数字线分布的，这带来了更大的挑战。
随后，拉森带来了一个关于这一点的新证明，其灵感来自于数论不同领域最近的划时代工作。当时，他只有 17 岁。
火花
拉森在印第安纳州布卢明顿长大，一直被数学所吸引。他的父母都是数学家，在他和他的姐姐很小的时候就向他们介绍了这门学科。 （她现在正在攻读数学博士学位。）当拉森 3 岁时，林登施特劳斯回忆说，他开始问她关于无穷大本质的哲学问题。 “我想，这孩子有数学头脑，”印第安纳大学教授林登斯特劳斯说。
然后几年前——大约在他沉浸于拼写和填字游戏项目的时候——他看到了一部关于张益堂的纪录片，这位不知名的数学家在证明了一个里程碑式的结果后于 2013 年从默默无闻中崛起，该结果为连续素数之间的间隔。有什么东西在拉森身上咔嚓一声。他不停地思考数论，以及张和其他数学家仍然希望解决的相关问题：孪生素数猜想，它指出有无穷多对仅相差 2 的素数。
在张的工作表明有无穷多对相差不到 7000 万的素数之后，其他人也加入进来，进一步降低了这个界限。几个月内，数学家詹姆斯·梅纳德和特伦斯·陶独立地证明了关于素数差距的更强有力的陈述。此后，这一差距缩小到 246 个。
Larsen 想了解 Maynard 和 Tao 工作背后的一些数学原理，“但这对我来说几乎是不可能的，”他说。他们的论文太复杂了。拉森试图阅读相关的作品，却发现它也难以理解。他一直坚持下去，从一个结果跳到另一个结果，直到最后，在 2021 年 2 月，他发现了一篇他认为既漂亮又易于理解的论文。它的主题是：卡迈克尔数，这些奇怪的合数有时会伪装成素数。
除了 Prime
17 世纪中叶，法国数学家皮埃尔·德·费马 (Pierre de Fermat) 给他的朋友兼知己 Frénicle de Bessy 写了一封信，他在信中陈述了后来被称为“小定理”的东西。如果N是素数，则无论b是什么， b N – b始终是N的倍数。例如，7 是质数，因此 2 7 – 2（等于 126）是 7 的倍数。类似地，3 7 – 3 是 7 的倍数，依此类推。
数学家看到了完美检验给定数字是素数还是合数的潜力。他们知道如果N是素数， b N – b总是N的倍数。如果反过来也是真的呢？也就是说，如果b N – b是所有b值的N的倍数，那么N一定是素数吗？
唉，事实证明，在极少数情况下， N可以满足这个条件并且仍然是复合的。最小的数字是 561：对于任何整数b ， b 561 – b始终是 561 的倍数，即使 561 不是素数。像这样的数字是以数学家罗伯特·卡迈克尔的名字命名的，他经常被认为在 1910 年发表了第一个例子（尽管捷克数学家 Václav Šimerka 在 1885 年独立发现了例子）。
拉森完成证明后，他给数论领域的一些顶尖人物发了一份草稿。令他惊讶的是，他们读了它并回复了。
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数学家想要更好地理解这些与数论中最基本的对象素数非常相似的数字。事实证明，在 1899 年——比卡迈克尔的结果早了十年——另一位数学家 Alwin Korselt 提出了一个等价的定义。他只是不知道是否有任何数字符合要求。
根据 Korselt 的准则，一个数N是一个 Carmichael 数当且仅当它满足三个属性。首先，它必须有一个以上的主要因素。其次，没有任何质数可以重复。第三，对于每个能整除N的素数p ， p – 1 也能整除N – 1。再次考虑数字 561。它等于 3 × 11 × 17，因此它显然满足 Korselt 列表中的前两个属性。为了显示最后一个性质，从每个素因数中减去 1，得到 2、10 和 16。此外，从 561 中减去 1。所有三个较小的数字都是 560 的除数。因此，数字 561 是卡迈克尔数。
尽管数学家怀疑卡迈克尔数有无穷多个，但与素数相比却相对较少，这使得它们难以确定。然后在 1994 年，Red Alford、 Andrew Granville和Carl Pomerance发表了一篇突破性的论文，他们最终证明了这些伪素数确实是无限多的。
不幸的是，他们开发的技术无法让他们说出这些卡迈克尔数字的样子。它们是否沿着数轴成簇出现，中间有很大的差距？或者你总能在短时间内找到一个卡迈克尔数吗？ “你会想，如果你能证明它们的数量是无限的，”格兰维尔说，“当然你应该能够证明它们之间没有很大的差距，它们应该相对间隔开。”
特别是，他和他的合著者希望证明一个反映这个想法的陈述——给定足够大的数X ，在X和 2 X之间总会有一个卡迈克尔数。 “这是表达它们无处不在的另一种方式，”从事相关工作的国防分析研究所的数学家乔恩格兰瑟姆说。
但几十年来，没有人能证明这一点。由 Alford、Granville 和 Pomerance 开发的技术“让我们能够证明将会有很多 Carmichael 数，”Pomerance 说，“但并没有真正让我们对它们的位置有很大的控制权。 ”
然后，在 2021 年 11 月，格兰维尔打开了一封来自拉森的电子邮件，当时他 17 岁，正在读高中。附上了一张纸——令格兰维尔惊讶的是，它看起来是正确的。 “这不是有史以来最简单的阅读，”他说。 “但当我读到它时，很明显他并没有在胡闹。他有绝妙的主意。”
Pomerance 阅读了该作品的更新版本，他同意了。 “他的证明非常先进，”他说。 “这将是一篇任何数学家都会为写下而感到自豪的论文。这是一个高中生写的。”
Larsen 证明的关键是首先将他吸引到 Carmichael 数的工作：Maynard 和 Tao 关于素数间隙的结果。
不太可能——并非不可能
当拉森第一次着手证明你总能在很短的时间间隔内找到一个卡迈克尔数时，“它似乎是如此明显地真实，证明有多难？”他说。他很快意识到这确实很难。 “这是一个考验我们时代技术的问题，”他说。
拉森对卡迈克尔数的约束比他要证明的要严格。
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在他们 1994 年的论文中，Alford、Granville 和 Pomerance 展示了如何创建无限多个 Carmichael 数。但是他们无法控制他们用来构建它们的素数的大小。这就是拉森需要做的事情来建立规模相对接近的卡迈克尔数。问题的难度让他的父亲迈克尔·拉森（Michael Larsen）感到担忧。 “我不认为这是不可能的，但我认为他不太可能成功，”他说。 “我看到他在这件事上花了多少时间……我觉得如果他为此付出了这么多自己却没有得到它，那将是毁灭性的。”
不过，他知道最好不要试图劝阻他的儿子。 “当丹尼尔致力于做他真正感兴趣的事情时，他会不顾一切地坚持下去，”他说。
所以拉森回到了梅纳德的论文——特别是为了证明如果你采用足够数字的某些序列，这些数字的某些子集一定是素数。 Larsen 修改了 Maynard 的技术，将它们与 Alford、Granville 和 Pomerance 使用的方法相结合。这使他能够确保他最终得到的素数大小不同——足以产生落在他想要的区间内的卡迈克尔数。
“他对事情的控制比我们以往任何时候都多，”格兰维尔说。他通过特别巧妙地利用梅纳德的作品实现了这一点。芬兰图尔库大学的数学家Kaisa Matomäki说：“将这一进展用于质数之间的短间隙并不容易。” “很高兴他能够将这个问题与关于卡迈克尔数字的问题结合起来。”
事实上，Larsen 的论点不仅允许他证明 Carmichael 数必须始终出现在X和 2 X之间。他的证明也适用于更小的间隔。数学家现在希望它也有助于揭示这些奇怪数字行为的其他方面。 “这是一个不同的想法，”南卡罗来纳州沃福德学院研究伪素数的数学家托马斯赖特说。 “它改变了很多关于我们如何证明卡迈克尔数的事情。”
格兰瑟姆同意了。 “现在你可以做你从未想过的事情，”他说。
与此同时，拉森刚开始在麻省理工学院大一。他不确定下一步他会解决什么问题，但他很想知道那里有什么。 “我只是在上课……并努力保持开放的心态，”他说。
“他在没有本科教育的情况下完成了这一切，”格兰瑟姆说。 “我只能想象他在研究生院会想出什么。”