完美的数字 – 搞英语 → 看世界

完美数是等于其真因数之和的正整数，所有因数均小于其自身。前三个示例如下。

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248

偶数和奇数完全数

每个已知的完美数都是偶数。没有人证明奇完全数不存在，但人们不断证明奇完全数必须具有的属性，也许有一天这个属性列表会包含矛盾，证明这样的数字不存在。例如，奇完全数（如果存在）必须超过 1,500 位。

梅森素数是 2 ^{p -1}形式的素数。欧几里得证明，如果M是梅森素数，则M ( M +1)/2是偶完全数[1]。两千年后，莱昂哈德·欧拉证明了欧几里得定理的逆命题：所有偶完美数都具有M ( M + 1)/2 的形式，其中M是梅森素数。

目前已知的梅森素数有 52 个。梅森素数的数量被推测是无限的，而迄今为止发现的梅森素数大致符合此类素数的投影分布，因此有理由怀疑完美数的存在是无限多个。至少有52个。

根据欧拉定理，所有偶完全数的形式为M ( M + 1)/2 ，因此所有偶完全数都是三角形数。

P = 1 + 2 + 3 + … + M

即使完美数也具有 2 ^{p −1} (2 ^p − 1) 的形式，因此这意味着所有完美数在以二进制形式书写时均由p个 1 和p − 1 个零组成。

例如，

496 = 31 × 32 / 2 = 2 ⁴ (2 ⁵ − 1)

496 = 111110000_两个，五个一后跟四个零。