这篇文章的动机是 [1] 中的一个练习,该练习说
证明对于双曲函数……公式与第 2.3 节中的公式类似,所有减号都替换为加号。
我的第一个想法是,这听起来像奥斯本规则,这是一种在(循环)三角恒等式和双曲三角恒等式之间转换的启发式规则。正如该文章所解释的,奥斯本规则是欧拉身份的简单结果。
那么这个练习所指的公式是什么?
正弦到双曲正弦
这是正弦的恒等式。
奥斯本规则规定将 sin 更改为 sinh,将 cos 更改为 cosh,并在两个 sinh 项相乘时翻转符号。 sin³ θ 项失去了负号,因为两个正弦相乘。 sin 5 θ 项改变符号两次,因此最终结果是它不改变符号。所以我们有以下内容。
余弦到双曲余弦
余弦恒等式
变成
通过类似的推理。
正切与双曲正切
如果您将每个正切想象为 sin/cos,奥斯本规则也适用于 tan 和 tanh。
因此
变成
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[1] 德米特里·福克斯和塞尔吉·塔巴奇尼科夫。数学综合:经典数学三十讲。
多角度和奥斯本规则一文首次出现在约翰·D·库克 (John D. Cook)上。
原文: https://www.johndcook.com/blog/2024/12/07/multiple-angles/