在稀缺、战争与和平时期，一位乌克兰人发现了数学的魔力

2 月下旬，就在 Maryna Viazovska 获悉她获得菲尔兹奖（数学家的最高荣誉）几周后，俄罗斯坦克和战机开始袭击她的故乡乌克兰和她的故乡基辅。

维亚佐夫斯卡不再住在乌克兰，但她的家人还在那里。她的两个姐妹，一个 9 岁的侄女和一个 8 岁的侄子，出发前往维亚佐夫斯卡现在居住的瑞士。他们首先不得不等待两天让交通松动；即便如此，向西行驶的速度也非常缓慢。在一个陌生人的家里待了几天，作为战争难民等待轮到他们之后，一天晚上，四人穿过边境进入斯洛伐克，在红十字会的帮助下前往布达佩斯，然后登上飞往日内瓦的航班。 3 月 4 日，他们抵达洛桑，与维亚佐夫斯卡、她的丈夫、她 13 岁的儿子和 2 岁的女儿住在一起。

维亚佐夫斯卡的父母、祖母和其他家庭成员仍留在基辅。随着俄罗斯坦克越来越靠近她父母的家，维亚佐夫斯卡每天都试图说服他们离开。但她85岁的祖母在二战期间经历过战争和占领，她拒绝了，她的父母也不会离开她。她的祖母“无法想象她不会死在乌克兰，”维亚佐夫斯卡说，“因为她在那里度过了一生。”

大约 7 岁时的维亚佐夫斯卡（右）和她的父亲和两个姐妹在基辅的公寓里。

维亚佐夫斯卡将她的父亲描述为一位“精力充沛”并具有“创业精神”的前化学家，回忆起他是如何辞去工作并通过一家又一家地创办一家小企业来接受新现实的。她说，新的现实是混乱和不可预测的。 “有一天，你没有多少。然后还有另一个机会，你有很多。”

尽管如此，维亚佐夫斯卡和她的丈夫、EPFL 的物理学家 Daniil Evtushinsky 都记得乌克兰人对经济增长前景充满希望的热情。 “在经济中，重要的是衍生品，而不是绝对价值，”Evtushinsky 说，他指的是增长率对一个人的流动资产的重要性。

考虑到这个绝对值有时有多低，维亚佐夫斯卡笑着回答说：“也许是二阶导数。”

几乎无限

一年级时，维亚佐夫斯卡意识到她更喜欢数学而不是语言艺术：“在阅读方面，我太慢了。在写作中，我太乱了。但在数学方面，我有点快。”

并不是她不喜欢读书。她阅读了大仲马、儒勒·凡尔纳和她父母给她的各种海盗冒险书籍。后来，她发现了科幻小说并爱上了这一类​​型。阿尔杰农的鲜花，雨果奖获奖短篇小说，讲述了一个智障男子和一只实验室老鼠通过实验程序来提高他们的智力，特别令人难忘，她说，因为它“实际上是关于我们”——人类的状况，而不是梦幻般的技术。她还阅读了俄罗斯兄弟阿尔卡季和鲍里斯·斯特鲁加茨基写的科幻小说。她说，虽然他们早期的作品对共产主义过于乐观和幼稚，但他们的作品变得越来越黑暗，“更加聪明和深刻”。

在乌克兰基辅举行的 2019 年欧洲女子数学奥林匹克竞赛中，印有 Maryna Viazovska 和 Bogdan Rublyov 的照片的杯子。

乌克兰数学奥林匹克项目负责人、基辅大学数学教授波格丹·鲁布廖夫记得那一年与维亚佐夫斯卡会面。他称她成为如此杰出的数学家是一个“巨大的惊喜”，但他“对此感到非常高兴”，他说，“因为她是一个非常好的人。”她后来赢得了许多大学数学竞赛，他说，她还担任陪审团成员，帮助基辅的奥林匹克竞赛评分。

鲁布廖夫说，由于战争，现在奥林匹克队正在波兰训练，而他在法律上必须作为一名 58 岁的预备役军人留在乌克兰。 3 月，战争对乌克兰的数学界造成了更大的损失，当时俄罗斯在哈尔科夫的一次空袭杀死了 21 岁的数学家 Yulia Zdanovskaya。五年前，Zdanovskaya 在 Rublyov 帮助组织的欧洲女子数学奥林匹克中获得了银牌。 “我很了解她，”他说。 “这些年轻而有才华的人正在死去，这对我们国家来说是一场灾难。”

5 月，在菲尔兹奖宣布前几周，鲁布廖夫确信，鉴于俄罗斯在世界舞台上的影响力，像维亚佐夫斯卡这样的乌克兰人无法获得数学最高奖。 “很遗憾她没有获得菲尔兹奖，”他当时感叹道，“因为她应得的。”

做对了

维亚佐夫斯卡作为数学家的第一个重要时刻是在 2005 年，当时她在基辅大学大四时与她合作完成了她的第一个原创研究成果。虽然这不是一个主要的未解决问题，但她意识到这是她可以解决的问题。她说，快乐来自于“感觉一场争论走到了一起，而且确实奏效了”。结果让她信心倍增。

基辅大学的数学教授Igor Shevchuk 鼓励维亚佐夫斯卡去研究这个问题，她帮助组织了一些她参加过的大学数学竞赛。她说，Shevchuk 与几个人讨论了这个问题，包括她和一名硕士生名叫安德烈·邦达连科。她和 Bondarenko 共同撰写的论文开启了两人之间富有成果的合作时期。后来，当邦达连科在基辅大学任教时，他开始与一位名叫丹尼洛·拉德琴科的优秀学生一起工作。三位年轻的乌克兰数学家联手合作。

2011 年，Viazovska 与 Bondarenko 和 Radchenko 一起向《数学年鉴》杂志提交了一篇关于球形设计主题的论文。正如维亚佐夫斯卡和拉琴科当时的博士顾问唐·扎吉尔所说，正如数学家所说，“年鉴”可能是数学界最负盛名的期刊——“巅峰之巅”。当 Radchenko 告诉 Zagier 三人组的目标时，Zagier 心想：“做梦吧……你是初学者。”

但这篇论文被接受了，很快数学家们就组织了整个会议来讨论它。 “哇，多么棒的论文，”微软研究院和麻省理工学院的科恩在读到它时想。

本文通过查看函数在一些点上的值来研究分析函数行为的经典问题。在三人组处理的版本中，该函数是一个多项式——例如，4 xy ² z ⁵ + 3 x ^4——我们可以将多项式的每个可能输入视为一个位于空间中的点，其维度与数字匹配变量（因此对于上述多项式，每个输入将是三维空间中的一个点，具有x -、 y – 和z 轴）。在维亚佐夫斯卡和她的合作者研究的问题中，我们对球面上多项式的平均值感兴趣。我们可以通过在球体上选择几个点并对这些点处的多项式值进行平均来近似这个平均值。如果我们真的很幸运——或者如果我们仔细选择分数——我们甚至可能得到准确的答案而不是近似值。

数学家早就知道，对于每个多项式，您都可以选择一些有限的点集来给出准确的答案。更重要的是，您可以选择一组点，这些点将适用于所有多项式，直到某个给定的“度”（任何多项式项中的最高指数总和）。例如，如果您在 3D 空间中工作，您可以在球体中嵌入一个正二十面体，并使用它的 12 个角作为您的采样点，并且您可以保证得到所有多项式的准确答案5. 像这 12 个点这样的集合称为球面设计。

自 1970 年代以来，数学家们一直在想：当您查看次数越来越高的多项式时，球形设计中的点数如何增长？这就是维亚佐夫斯卡、邦达连科和拉琴科回答的问题。

“这需要很多人思考很久的事情，经过一连串次优的构建，这篇论文出现并说，‘好吧，哎呀，你为什么不这样做，然后你会得到完全正确的界限，QED，’”科恩说。 “他们并不是为了得到这个而跳过各种精心设计的箍——他们只是做对了。”

魔术函数

作为一名本科生，维亚佐夫斯卡过着她所谓的“双重生活”，将她的研究分散在看似完全不同的代数和分析（微积分的推广）领域。但后来她去波恩攻读博士学位，开始研究模块化形式，具有特殊对称性的函数，与艺术家 MC Escher 的圆形瓷砖中出现的函数相关。模块化形式涉及大量分析，但它们的对称性也将代数带入了画面。 “我意识到这是我的两种激情相遇的地方，”她说。

与 Bondarenko 和 Radchenko 一起，她开始探索模块化形式是否可以阐明三个人一直试图解决的一个数百年的问题：如何以最密集的方式将球体打包在一起。数学家们已经知道，在平面上最密集的圆形填充方式是蜂窝状，而在三维空间中填充球体的最密集方式是你在杂货店看到的常见的金字塔形堆垛方式。但是这个问题也可以在更高的维度上提出，它对纠错码有重要的应用。

没有人知道尺寸大于 3 的最密集的球形填料是什么。但是两个特殊维度——8 和 24——有很强的候选者。在这两个维度中存在高度对称的排列，分别称为E ₈和 Leech 晶格，它们的球体比数学家能找到的任何其他排列都密集得多。

哈佛大学的 Cohn 和Noam Elkies开发了一种方法，该方法使用某些函数来计算球体堆积密度的上限。在 8 维和 24 维中，这些上限与E ₈和 Leech 晶格的密度几乎完美匹配。数学家确信在这两个维度中的每一个维度中，都必须有一个“魔术”函数，其边界与E ₈或 Leech 晶格完美匹配，从而证明它们是最密集的堆积。但研究人员不知道在哪里可以找到这些神奇的功能。

Viazovska 使用她的前博士顾问 Don Zagier 合着的一本书向学生教授模块化形式。

Bondarenko、Viazovska 和 Radchenko 寻求模块化形式来尝试构建一个神奇的函数，但很长一段时间他们都没有取得什么进展。最终，Bondarenko 和 Radchenko 将注意力转向了其他问题。不过，Viazovska 无法停止考虑球体堆积。不知何故，这个问题感觉好像是属于她的，她后来告诉广达。

思考了几年这个问题，2016年，她终于找到了八维的魔法功能。她发现，答案不是模块化形式，而是某种“准模块化”形式，在对称性方面存在错误。高级研究所的彼得·萨纳克说，她发表了一篇“绝对令人惊叹”的论文。它是“你拿起这些文件之一，[并且]在你读完整篇文章之前你不会放下。”

在报纸出现后的几个小时内，她的结果的消息就传开了。那天晚上，高等研究院的数学家Akshay Venkatesh （他本人是2018 年菲尔兹奖得主）通过电子邮件向科恩发送了该论文的链接，并附上“哇！”在主题行中。科恩吞噬了这个证据。 “我最初的反应是，‘这到底是什么？看起来没有人试图为构建这些功能做任何事情，’”他说。

对 Cohn 来说，Viazovska 使用的准模形式似乎总是“只是模形式的一个有缺陷的版本，”他说。但是“表面之下隐藏着整个非凡的丰富理论。”他确信维亚佐夫斯卡的方法也应该适用于 24 维度，于是他给她发了电子邮件，提议合作。

维亚佐夫斯卡只想休息一下。但她同意深入研究 24 维问题，并且在一个紧张的一周内，她和科恩，以及 Radchenko 和其他两位数学家，设法证明了水蛭晶格是最密集的 24 维球体堆积。拉琴科回忆说，那“可能是我一生中最疯狂的一周”。

一个大胆的猜想

Viazovska 和她的合作者从包装球体的工作中脱颖而出，抱负更高。长期以来，数学家一直怀疑E ₈和 Leech 晶格不仅仅是包装球体的最佳方式。数学家假设，这两个晶格是“普遍最优的”，这意味着它们是根据许多标准的最佳排列——例如，在空间中定位相互排斥的电子或在溶液中定位扭曲聚合物的最低能量方式。

为了证明E ₈和 Leech 晶格在所有这些不同的环境中最小化能量，团队必须为每种不同的能量概念提出魔法函数——无限多的魔法函数。但他们只有部分信息关于这样一个神奇的功能必须如何表现（如果它存在的话）。他们知道函数在某些点上的值，在其他点上他们知道傅里叶变换的值，它测量函数的固有频率。他们还知道函数及其傅里叶变换在特定点变化的速度有多快。问题是：这些信息是否足以重构函数？

维亚佐夫斯卡做了一个大胆的猜想：团队掌握的这些信息正好可以确定魔法功能。再少一点，就会有很多适合的功能。再多的话，该功能就会受到限制而无法存在。

科恩对此表示怀疑。维亚佐夫斯卡的提议是如此简单和根本，以至于“如果这是真的，人类肯定已经知道了，”他当时想。他也知道维亚佐夫斯卡没有轻率地猜测。 “我仍然想，’这有点在推她的运气。’”

Viazovska 和 Radchenko 首先设法证明了她猜想的简化版本，其中信息仅限于函数的值及其傅里叶变换，而不是它们变化的速度。然后，与他们的球形包装合作者一起，他们想出了如何证明完整的猜想——这正是证明E ₈和 Leech 晶格是普遍最优的所需要的。科恩说，似乎在试图理解这些格子的过程中，“玛丽娜也在推动傅里叶分析的最新技术。”

纽约大学的Sylvia Serfaty说，由此产​​生的论文与 19 世纪的重大突破不相上下，当时数学家解决了许多困扰他们前辈几个世纪的问题。 “这篇论文确实是科学的一大进步，”她当时告诉广达。 “要知道人脑能够产生类似的证据，对我来说这是一个非常了不起的事实。”

战争与和平

如果维亚佐夫斯卡在做数学时有时似乎居住在另一个位面或不同的维度，那可能是因为，正如她十几岁的儿子迈克尔所了解的那样，她在自己的世界里。 “有时我妈妈耳朵里有圈，当你和她说话时没有反应，”他说。他记得当家人住在柏林时，他是幼儿园班上最后一个被接走的孩子（Viazovska 正在研究E ₈证明）。他知道他的母亲赢得了很多数学奖，但听到菲尔兹奖后感到很惊讶，他说：“现在我明白她为什么这么努力了。”

5 月初，他们在洛桑的公寓里，距离 EPFL 校园有 20 分钟的步行路程，在起居区的壁龛里塞了一张加床，以容纳 Natalie 和 Tetiana，以及 Tetiana 的女儿 Oleksandra 和儿子 Maksym。今年春天，Oleksandra 不是在基辅的家中庆祝她的 10 岁生日，而是在她姨妈玛丽娜在洛桑的家中庆祝。

公寓的一面墙上挂着一幅大画《维亚佐夫斯卡》，画的是附近日内瓦湖的景色。在数学之外，艺术一直是她从小到大的主要逃避方式。她最喜欢的一些画作，比如她用一个装有埃舍尔式鱼图案的克莱因瓶制作的画作，融合了数学和科学的主题。 （她解释说，如果不对克莱因瓶和 MC Escher 感兴趣，就很难学习数学。）她有时会在工作中画图来帮助形象化几何概念，但她敏锐地意识到，在处理更高维度时，“我们的两个——维度和三维的直觉往往会产生误导。”

维亚佐夫斯卡走路去上班，既是为了锻炼，也是因为她和她的丈夫都不开车——这对夫妇深情地互相嘲笑。 “Maryna 有驾照，但在我们的三维世界中，[她] 很难开车，”Evtushinsky 开玩笑说。 “哈哈，”维亚佐夫斯卡面无表情。当 Evtushinsky 解释他如何获得执照时，她将其描述为“一个漫长而缓慢的过程”。

“我们可能是唯一没有车的父母，”Evtushinsky 说。 “我不知道为什么这对我们来说如此困难。”

随着谈话不可避免地回到乌克兰的冲突，维亚佐夫斯卡分享了一个黑暗的笑话，这已成为家乡朋友之间的病态重复：“你还记得冠状病毒的那些美好时光吗？”

维亚佐夫斯卡的祖母仍然没有离开乌克兰的计划，她告诉她，即使她已经老了，也快到了她的年龄，但她不想在战争结束前死去，因为“我想看到和平，我想知道不知何故，一切都会好起来的。”

维亚佐夫斯卡为她的国家感到自豪，但她的同胞不得不适应空袭警报、炮击和战争，这让她感到很害怕。在经历了入侵的最初几天后，她的侄子马克西姆开始在晚上梦游。 “这不是免费的，”维亚佐夫斯卡说。 “这将在未来产生一些后果，这种极端的压力，极端的恐惧。”

至少，她说，“暴君不能阻止我们做数学。至少有一些东西他们不能从我们这里拿走。”