接触结构将平面分配给流形上的每个点，就像本例中的三维空间一样。一项新发现阐明了高维球体的接触结构。
保罗·柴金 (Paul Chaikin) 为《Quanta》杂志拍摄
介绍
如果您曾经在下雨的下午遇到交通堵塞，您可能会看到雨滴从车窗上互相争斗。当成对的液滴碰撞时，它们会合并成一个新的液滴，从而失去各自的特性。
这种合并是可能的，因为水滴几乎是球形的。当形状是灵活的（如雨滴）时，附加球体不会改变任何东西。在数学的某些领域，附着在球体上的球体仍然是球体，尽管可能是一个更大或更块状的球体。如果一个球体粘在甜甜圈上，你仍然会得到一个带有水泡的甜甜圈。但如果两个甜甜圈合并在一起，它们就会形成两个孔的形状。对于数学家来说，这完全是另一回事。
这种品质使球体成为几何学家的重要测试用例。数学家通常可以通过观察将两者缝合在一起时会发生什么，将在球体上学到的经验教训转移到更复杂的形状上。事实上，他们可以将这种技术应用于任何流形——一类数学对象，包括球体和甜甜圈等简单形状，以及二维平面或三维空间等无限结构。
球体在称为接触几何的几何子学科中尤其重要。在接触几何中，三维流形（例如我们居住的 3D 空间）上的每个点都对应于一个平面。飞机可以从一点到另一点倾斜和扭曲。如果它们以满足某些数学标准的方式这样做，则整个平面集称为接触结构。流形（如 3D 空间）与接触结构（所有平面）一起称为接触流形。
尽管接触结构看起来只不过是装饰，但它们为它们赖以生存的流形带来了基本的见解，以及与物理学的联系。现代数学家可以使用接触流形来重新表述有关光的行为和水在空间中流动的方式的理论。
Yakov Eliashberg 于 1989 年发表的一篇论文回答了有关三维流形的许多问题，但对更高维度的描述仍然不太清楚。
从 20 世纪 60 年代末开始，数学家开始提出接触流形的新例子。 1968 年，Mikhael Gromov 在某些流形（例如三维空间）上寻找新的接触结构方面取得了进展， Jean Martinet 在 1971 年紧随其后，提出了所谓的紧凑形状（具有清晰边界的有限形状）（例如 3D 球体）的示例。 1977 年，Robert Lutz 弄清楚了如何在任何三维流形上创建新的接触结构。卢茨的构造包括切开接触歧管，将其扭转，然后以保持底层形状相同的方式将其缝合在一起，但迫使接触结构形成新的配置。它为无限 3D 空间、3D 球体以及许多更奇怪的物体（例如立方体）带来了新的接触结构，如果您将手伸入底部，您会看到它从顶部垂下来。
尽管如此，这些结果仍然给 20 世纪末的数学家留下了许多关于接触流形的未解之谜。那里有哪些类型的接触结构？它们应该如何分类？ “当数学家研究某个学科时，他们总是想对物体进行分类或理解，”斯坦福大学数学家雅科夫·埃利什伯格 ( Yakov Eliashberg)说，他在接触几何学的早期发展中发挥了重要作用。
在五维及更高维度中——记住，接触流形只能有奇数维——这些问题仍然没有答案。在 3D 领域，大部分进展几乎是 Eliashberg 凭借一己之力取得的，他于 20 世纪 80 年代作为苏联移民来到加利福尼亚州伯克利。
扭动与呼喊
伯克利的一位新朋友 Jesús Gonzalo Pérez 一直在研究 Lutz 创建新接触流形的技术，在他提出的问题的启发下，Eliashberg 注意到使用 Lutz 的策略可以获得的所有三维接触流形都有一定的共性。 1989 年，他发表了一篇开创性的论文，详细描述了这些流形。他称新型接触流形为“过度扭曲”，因为接触结构的平面多次旋转，超出了接触结构所需的扭曲程度。 Eliashberg 1989 年的论文几乎回答了数学家可能对三维过度扭曲流形提出的任何问题，但任何其他接触流形（Eliashberg 称其为“紧”的，因为其接触结构扭曲很小）都更难理解。
海德堡大学数学家莫雷诺表示：“尽管过度扭曲的结构大量存在，但紧密接触结构却更为罕见，或者至少人们对其了解甚少。”
2019 年，Agustin Moreno、Fabio Gironella 和 Jonathan Bowden（从左到右）发现了各种所谓的弱可填充接触流形。
介绍
如果我们将流形视为更大空间的边界，则过度扭曲和紧密接触流形之间的区别就会变得清晰。由于接触流形是奇维的，因此它们总是形成偶维流形的边缘。 （想想圆的一维曲线如何围绕二维圆盘，或者无限直线如何将二维平面切割成两个独立的两半。）接触几何有一个偶维对应物，称为辛几何。数学家想知道接触流形（始终是偶维）的内部是否形成辛流形。
如果是这样，则原始接触歧管称为“可填充”。填充性是一种特殊的性能。 Eliashberg 和 Gromov 在 20 世纪 80 年代和 90 年代初的研究结果表明，可填充接触歧管不能过度扭曲——它们必须是紧密的。但相反的情况则更加模糊——流形是否可以是紧的但不可填充？
“很长一段时间以来，紧绷可能实际上只是填充能力的反映，”埃特尼雷说。 Eliashberg证明了三维球体只有一种紧密接触结构，而且也是可填充的。但在 2002 年，Etnyre 与加州大学洛杉矶分校的Ko Honda一起发现了一个紧密但不可填充的三维接触流形的例子。
在高维情况下，事情是不确定的。 “我们有很多工具可以研究第三维度的接触结构，但在高维度方面我们几乎没有。这是一个真正的问题，”埃特尼尔说。
“在接触拓扑中，更高维度确实是狂野的西部。人们真的对正在发生的事情几乎一无所知，”本田说。问题变成了：高维中是否存在紧密但不可填充的接触流形？如果是这样，它们是什么样子的？
保持紧张
2013 年，三位数学家找到了一种创建此类流形的方法，但“他们构建的流形实际上非常非常复杂，”Etnyre 说。他补充说，目前尚不清楚这种程度的复杂性是否必要。如果是这样，对于像球体这样的简单流形来说，紧密性和可填充性之间可能仍然存在密切的联系。
2015年，当时在慕尼黑路德维希马克西米利安大学工作的鲍登和两名合作者证明，某些接触流形可以被仔细地分割并拼凑在一起形成一个球体，而无需牺牲其接触结构。他们的工作表明，数学家不仅可以将接触结构从球体转移到更复杂的接触流形（事物的通常方向），而且还可以通过从更复杂的例子开始在球体上创建全新的接触结构。
中国科学院的周正毅与莫雷诺、吉罗内拉和鲍登合作加强了他们的研究成果。
到 2019 年，他开始与吉罗内拉和莫雷诺合作。那一年，他们发表了一篇基于几位前数学家技术的论文。三人发现了接触流形的例子，其中有辛填充物，但变化无常：如果以正确的方式调整接触流形，则称为“弱填充物”的填充物就会消失。
大流行开始后，他们开始怀疑自己是否能够建造具有所需特性的球体。他们取出一些接触歧管，小心地将它们重新加工成球体：在这里切一个洞，在那里修补它。当他们完成时，他们得到了无限的紧密但不可填充的球体集合。而且由于球体可以将其接触结构的一部分转移到其他流形中，因此这就产生了各种形状和种类的紧密但不可填充的接触流形。
三人在 2022 年中期向周展示了论文的初稿，希望他能校对他们的一些计算。周此前曾与莫雷诺和吉罗内拉合作过，熟悉他们草稿中使用的一些技术。 “我通读了这篇论文，我意识到这有巨大的潜力获得更好的结果，”中国科学院数学家周说。他带着新的想法回到了他们身边。
该小组将周的见解融入到他们的论文中，四人于 2022 年 11 月将其发布到网上。他们的工作表明，五维及以上的紧密但不可填充的球体是可能的，并利用该结果创建了许多紧密接触流形的新示例只能弱填充，承认 2019 年论文的“弱填充”变化无常。然后上周他们更新了这篇论文，进行了重要的概括。他们现在能够为任何尺寸为七或更高的歧管找到紧密且弱可填充的接触结构。
尽管他们的证明揭示了无数的新例子，但对高维接触流形甚至高维球体的研究才刚刚开始。
莫雷诺说：“这让我们得以一睹这个看似非常狂野且复杂的世界。”他后来又补充道：“我想说，更高的维度将吞噬未来几代人的注意力。”
“现在，你只是想找到任何例子；你试图区分事物；你只是想了解那里有什么。理解球体上的事物是一种萌芽，或者说是种子，可以帮助你理解其他情况，”埃特尼尔说。 “我们还没有真正拥有采取下一步行动的工具。”
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