双数和双数的欧拉公式 – 搞英语 → 看世界

复数是通过将元素i添加到实数而形成的，使得i ² = − 1。我们可以通过将其他元素添加到实数来创建其他数字系统。

一个例子是双数。在这里，我们添加一个数字 ε ≠ 0，且属性 ε² = 0。对偶数已用于许多应用中，最近的应用是自动微分。

另一个例子是双数[1]。这里我们添加一个数字j ≠ ±1，使得j ² = 1。（向电气工程师和 Python 程序员致歉。在这篇文章中， j不是复数的虚数单位。）

（如果向实数添加特殊数字让您感到不安，请参阅下一篇文章以了解定义这些数字的替代方法。）

我们可以找到欧拉公式的类似物

$\exp(i\theta) = \cos(\theta) + i \sin(\theta)$

对于双数和双数使用指数函数的幂级数

$\exp(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$

在这些数字系统中定义 exp( z )。

对于对偶数，欧拉定理的模拟是

$\exp(\varepsilon x) = 1 + \varepsilon x$

因为幂级数中前两项之后的所有项都涉及 ε 的幂，其值为 0。虽然该方程仅适用于对偶数，而不适用于实数，但 ε 是一个小实数，这一点大致正确。这就是使用 ε 作为添加到实数中的特殊数字的符号的动机：对偶数可以形式化对形式上不正确的实数的计算。

对于双数，欧拉定理的模拟是

$\exp(j x) = \cosh(x) + j \sinh(x)$

这个证明完全类似于复数欧拉定理的证明：写出幂级数，然后将涉及偶指数的项与涉及奇指数的项分开。

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