拿一根针，一直旋转它。您可以覆盖的最小区域是多少？
Samuel Velasco/Matt Twombly/广达杂志
Kakeya猜想听起来像是一个脑筋急转弯。将针平放在桌子上。您需要多少面积才能将其转动以使其指向所有可能的方向？
最明显的可能答案是一个圆，其直径是针的长度。但这显然是错误的。在上个世纪，努力理解它的错误方式揭示了一个看似有趣的小问题实际上是一个关于实数本身性质的极具挑衅性的数学问题——数轴的那些无限滴答声作为首次提出问题的空间坐标。
这一点已经通过几个证明变得清晰，这些证明最近在 Kakeya 猜想上取得了多年来最显着的进展。结果将原始问题从数学家一直受到阻碍的实数转移到几何和算术世界，其中线由在某些方面更易于使用的替代数字系统定义。
这种创造性使数学家有了新的目标感。
麻省理工学院数学家拉里·古斯 ( Larry Guth ) 说：“Kakeya 猜想感觉很难，但几年后会有解决方案也是合理的。” “这似乎比我见过的任何其他方法都更有希望。”
紧压
Kakeya 猜想的现代版本与 Sōichi Kakeya 于 1917 年提出的问题的原始陈述相距几步。他很好奇二维平面中将一条给定长度的一维线转向以使其最终指向所有方向所需的最小面积。
直径等于线长度的圆盘就足够了——只需像表盘一样旋转线即可。但较小的形状也可以工作。例如，取一个高度等于直线长度的等边三角形。通过执行一系列本质上是三点转弯的操作，您可以围绕三角形移动线（面积为零，因为它是一维的）并实现所需的扫描。能够实现这种彻底指向的一组点称为 Kakeya 集。
Kakeya 想知道 Kakeya 集的最小可能区域。 1919 年，Abram Besicovitch 给出了令人惊讶的答案：它的大小是没有限制的。他证明了构建将等边三角形设计发挥到极致的挂屋集是可能的。而不是三角形的三个尖峰，您最终会在尖峰中向各个方向发出大量尖峰。
普林斯顿大学教授、新证明之一的作者Zeev Dvir说：“在极限情况下，它看起来像刺猬一样奇怪。”结果是一个复杂的分形排列，其面积可以任意小——这相当于根本没有面积。
普林斯顿大学的数学家和计算机科学家 Zeev Dvir 与他的学生 Manik Dhar 一起证明了某些有限数系统的 Kakeya 猜想。
大卫凯利乌鸦
Besicovitch 的结构在 Kakeya 提出问题仅仅两年后就消失了。但几十年后，数学家设计了一个修正版的问题，这将证明更加令人困扰。
普遍的空虚
Besicovitch 证明了 Kakeya 集可以有消失区域，但是除了面积之外，还有其他方法可以描述形状的大小。 Besicovitch 设计的集合仍然包含点，并且在 1970 年代出现了一个改进的问题，即这些点的排列效率如何。
Sōichi Kakeya 的罕见照片。
造成这种障碍的实数究竟是什么并不完全清楚，但有些特征很突出。首先，实数是连续的，这意味着您不能在任何离散的区间内查看它们而不失去进行算术的能力。 （例如，如果您将自己限制在 1 和 2 之间的区间内，您将失去加法，因为该区间内的两个数字的总和将位于该区间之外。）实数也是不可数无限的，这意味着无论多少你放大它们，你会在每个比例上看到同样的东西。
“在实数中，事物可能非常接近于零，但实际上并不为零。不知何故，这就是技术难题，”不列颠哥伦比亚大学的Joshua Zahl说。
实数的难度促使数学家考虑设置在较小数系中的 Kakeya 猜想的版本。例如，这些可能只有整数值 1 到 5。虽然这些数字系统看起来不像实数，但它们具有许多相同的基本算术特性——它们允许加法、减法、乘法和除法。
它们也足够丰富，可以支持线性代数中定义线的技术，一旦你有了线，你可以问一个稍微修改过的 Kakeya 猜想：在这些数字系统中，一组点的最小尺寸是多少，例如你可以在各个方向构建一条线吗？ Thomas Wolff 在 1996 年提出了这样一个问题。从那时起，数学家就将其视为一个支架，可以让他们更接近于回答 Kakeya 猜想本身。
“这个想法是 [这个] 问题可能更容易，也许你应该尝试开发技术来解决这个问题，以获得处理实际欧几里得情况的想法，”普林斯顿大学的Manik Dhar说，他是最近两篇关于 Kakeya 猜想的论文的作者.
选择一个号码
要定义这些小数系统之一，您首先选择一个数字。也许您选择 9，在这种情况下，您的数字系统包含整数 1 到 9。或者您选择 17、25 或 83。
你的选择很重要。特别是，这个数（称为模数）是素数还是非素数，以及它不是素数的方式，对数系的行为和可能适用于 Kakeya 猜想的方法都有很大的影响。
普林斯顿大学的博士生 Manik Dhar 与他的导师 Zeev Dvir 一起证明了某些有限数系统的 Kakeya 猜想。
大卫凯利乌鸦
2008 年，Dvir解决了模为素数的有限数系统的 Kakeya 猜想，这是 Wolff 在 1996 年想到的特殊情况。这些称为有限域的数系统特别强大，并且在整个数学中用于攻击难题。
Dvir 证明，在有限域上，Kakeya 集必然具有最大可能的维度（其中维度以在有限设置中有意义的方式重新定义）。他的证明只有两页长，很大程度上依赖于这样一个事实：当模数为素数时，有限数系统内的任何集合都可以作为多项式方程的解（或根）——这意味着该集合可以用一个实数 Kakeya 集合不可能的方程。
Dvir 的证明代表了 Kakeya 猜想的第一个重大进展，并让数学家们暂时对欧几里德 Kakeya 猜想的进一步进展充满希望。
没有人出现。 “人们非常兴奋，我们都努力了，但没有奏效，”Guth 说。
然后，十多年后，Dvir 回来了。
素数产品
2020 年 11 月，Dvir 和他的研究生 Dhar解决了有限数系统的 Kakeya 猜想，其中模数是任何不同素数的乘积，例如 15（即 3 × 5）。这些数字系统需要 Dhar 和 Dvir 超越多项式方法。相反，他们将问题转化为关于称为矩阵的数字表的问题。
在这些矩阵中，列代表点，行代表方向。如果在特定点有一条线，沿特定方向行进，则在矩阵中的相应位置写入 1。 （否则输入 0。）这样，矩阵对一组线的属性进行编码。现在您可以计算该矩阵的属性以确定集合的属性。特别是，矩阵的“等级”与线集的大小直接相关。
伦敦大学学院的数学家 Bodan Arsovski 的证明暗示了对称为p -adics 的无限数系统的 Kakeya 猜想。
Dhar 和 Dvir 证明了这些矩阵的秩很高，这意味着线的集合很大，这意味着 Kakeya 猜想对于这些特定的数系是正确的——任何包含各个方向的线的点集合都需要很大。
在 Dhar 和 Dvir 的结果之后不到一年，Bodan Arsovski 将其延长。 2021 年 8 月，他证明了有限数系统的 Kakeya 猜想，其中模数是素数的幂，例如 9（即 3 2 ）。这意味着对称为p -adics的数系统的猜想，它是一个无限数系统，并且在这种情况下更像实数。在 Arsovski 的论文之后，数学家们开始着手确定他的方法是否可以修改以适用于实数本身。
经过几个月徒劳无功的努力，很明显，至少目前，他们不可能。
威斯康星大学麦迪逊分校的博士生 Alejo Salvatore 说：“实数域和p进域的行为方式存在细微差异，这使得类比有点断裂。”
自从 Arsovski 的作品以来，还有两个情节曲折。去年 10 月，Dhar证明了 Kakeya 猜想对于任何模数的有限数系统都是正确的。然后在二月萨尔瓦多证实了更奇异数系统的猜想，称为正特征的局部域，其中有限域增加了一个变量。
有不同的方式来思考这一连串的结果。一是希望这种势头继续下去：既然数学家已经证明这个猜想对一个接一个的数系是正确的，那么也许真正的数字才是下一个。但另一个问题是退一步问：既然数学家现在已经能够在许多其他环境中证实它，为什么数学家还不能证实实数的 Kakeya 猜想？
至少一位数学家认为这个解释可能是最明显的一个。
“我不再相信 Kakeya 猜想是真的，”Guth 说。