简介和先决条件
表示论在数学和物理学的各个分支中都很重要。在研究有限群的表示时，我们有相当多的代数和组合学。当微分（更准确地说，平滑）加入时，我们有李群，涉及微积分、线性代数、几何等等。尤其是围绕\(SU(2)\)和\(SO(3)\)的理论非常重要。一方面，它们是那些最简单的非基本和高维李群。另一方面，他们分别描述了\(\mathbb{C}^2\)和\(\mathbb{R}^3\)中的旋转，这是“物理上真实的”。我相信物理专业的学生有更多话要说。
在这篇文章中，我们开发了一种以数学家的方式研究这两个李群的不可约表示的方法。我尽力确保一切都脚踏实地，一切都可以“还原”到 19 世纪（前现代）数学。
尽管如此，必须假定读者熟悉表示理论的基本语言（你知道，有很多语言滥用），我认为这不是问题，否则你不会阅读这篇文章.您需要回忆线性代数以及傅里叶级数中的特征值理论。我们需要三角系统是完整的这一事实。换句话说，三角多项式在连续函数空间中是密集的。 \(\def\sym{\运营商名称{Sym}}\)
我们将首先研究\(SU(2)\) ，然后立即对\(SO(3)\)的不可约表示进行第一分类。这是因为我们有一个同构\[SU(2)/\{-I,I\} \cong SO(3).\]这就是说\(SU(2)\)是一个“双覆盖” \(SO(3)\)的。要看到这一点，请注意\(SU(2) \cong S^3\)和\(SO(3) \cong \mathbb{R}P^3\)作为李群，同时\(\mathbb{R} P^3 \cong S^3/\{-1,1\}\)可以认为是定义。
当然，我们所说的表示是指有限维和酉表示。
特殊酉组的不可约表示
事实上，我们似乎无处可去。我们不会试图找到所有这些，而是尝试处理看似直接的表示，结果证明它们就是我们正在寻找的全部。
令\(V_0\)为\(\mathbb{C}\)上的平凡表示， \(V_1\)为\(\mathbb{C}^2\)上的标准表示，由普通矩阵乘法给出.这些表示是不可约的。对于\(n \ge 2\) ，我们想将此族扩展到\(V_n\ )。考虑通过\(V_1\)生成更高维度的表示是很自然的。这里有几种可用的方法。
- 直接求和： \(\bigoplus_{i=1}^{n}V_1\) 。维度是\(2n\) ，不幸的是，表示是由每个组件决定的，所以基本上没有“新事物”。
- 张量积： \(\bigotimes_{i=1}^{n}V_1\) 。维度是\(2^n\)太大了。
- 楔积： \(\bigwedge^{n}V_1\) 。它停在\(n=2\)处，我们必须处理\(u \wedge v = – v \wedge u\) 。这可能很烦人。
- 对称积： \(\sym^{n}V_1\) 。维度是\(n+1\)并且它不会停止。此外，它可以理解为两个变量中的\(n\)次齐次多项式。这是一个很棒的选择。此外，我们有\(\sym^0 V_1=V_0\) ，所以没有任何东西被突然排除。
齐次多项式空间
把\(V_n=\sym^nV_1\) ，可以理解为在变量\(z_1\)和\(z_2\)中的次数为\(n\)的齐次多项式的空间。 \(V_n\)因此有一个规范基础\[P_k=z_1^k z_2^{nk}.\]我们稍后会用到它。
表示的定义
对于每个\(g \in SU(2)\) ，我们有一个左动作\[\begin{aligned}\rho:SU(2) &\to \operatorname{Aut}(V_n), \\ g &\ mapsto (P(z) \mapsto P(zg)).\end{aligned}\]换句话说， \(\rho(g)P(z)=P(zg)\)其中\(z=(z_1 ,z_2)\)和\(zg\)是矩阵乘法。每个\(g \in SU(2)\)都有矩阵表示\[g=\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\-\overline{\beta} & \overline{\alpha}\end{pmatrix} , \quad |\alpha|^2+|\beta|^2=1.\]那么\[zg=(\alpha z_1-\overline{\beta}z_2,\beta z_1+\overline{\alpha}z_2) \]在没有混淆的情况下，我们将写作\(gP(z)=P(zg)\) ，将\(g\)本身视为\(V_n\)的自同构。也可以用\(GL(2,\mathbb{C})\)替换\(SU(2)\) ，但我们没有研究更大的那个。
由于\(z \mapsto zg\)是度为\(1\)的齐次映射，因为它是线性且非退化的，所以我们有\(gP(z) \in V_n\) 。换句话说， \(V_n\)是\(SU(2)\) – 不变的。我们现在有一个定义明确的表示。注意\(V_0=\mathbb{C}\)所以表示是微不足道的，并且\(V_1=\mathbb{C}^2\)产生线性映射。同样，没有什么是突然排除的。更令人满意的是，那些\(V_n\)都是不可约的。
不可约性
命题 1.表示\(V_n\)是不可约的。
证明。通过 Schur 引理，我们需要证明\(V_n\)的每个\(SU(2)\) -等变自同构\(A\)是恒等式的非零倍数，即\(A=\lambda I \)对于一些\(\lambda \ne 0\) 。根据定义，对于每个\(g \in SU(2)\) ，我们对于所有\(P \in V_n\)都有\(A\rho(g)P=\rho(g)AP\ ) 。为简单起见，我们写为\(Ag=gA\) ，将\(g\)实现为\(V_n\)的线性变换，而不是\(SU(2)\)的元素。
群\(SU(2)\)可能很复杂，但\(U(1) \cong S^1\)很简单，可以通过两种方式将其视为\(SU(2)\)的子群。我们证明这两种方式足以暴露\(V_n\)的不可约性。
首先我们通过\[a \mapsto \begin{pmatrix}a & 0 \\ 0 & a^{-1} \end{pmatrix}将\(S^1\)嵌入到\(SU(2)\) .\]调用右边的矩阵\(g_a\) 。那么\[g_a P_k=(az_1)^{k}(a^{-1}z_2)^{nk}=a^{2k-n}z_1^kz_2^{nk}=a^{2k-n}P_k \]为所有\(k\) 。也就是说， \(P_k\)是特征值\(a^{2k-n}\)对应的特征向量。作为\(g_aA=Ag_a\) ，关于特征值和特征向量的信息可以提供很大帮助，因此我们首先深入研究它。
由于\(\{P_k\}\)是线性独立的，在这个基础上，我们有一个矩阵表示\[\rho(g_a) = \operatorname{diag}(a^{-n},a^{-n+ 2},\dots,a^{n-2},a^n).\]但我们不知道特征空间是如何跨越的，因为我们可能有\(a^j=a^k\) for \(j \ne k\) 。但是，数字\(a\)总是可以选择为\(a^{-n},a^{-n+2},\dots,a^n\)是成对不同的（例如，可以选择\(a\)是原始的\(m\) – \(1\)的根并且\(m\)足够大）。因此， \(g_a\)具有\(n\) 个不同的特征值。因此， \(a^{2k-n}\) -特征空间只能由\(P_k\)生成。
另一方面，根据\(A\)的定义，我们有\[Ag_a P_k = g_aAP_k = A a^{2k-n}P_k = a^{2k-n}AP_k.\]因此\(AP_k\)位于\(a^{2k-n}\) -特征空间。因此我们有一些\(c_k \ne 0\)的\(AP_k=c_kP_k\ ) 。换句话说， \(P_k\)是\(A\)的\(c_k\) -特征向量。我们在基础\(\{P_k\}\) \[A = \begin{pmatrix}c_1 & & \\ & \ddots & \\ & & c_n\end{pmatrix}.\]下获得另一个矩阵表示。这个矩阵是一个标量矩阵。结果来自另一个将\(U(1)\)嵌入到\(SU(2)\)中。注意\(a \in S^1\)可以由\(t \in [0,2\pi)\)确定，因此我们有一个矩阵\[g_t = \begin{pmatrix}\cos{t} & -\sin{t} \\\sin{t} & \cos{t}\end{pmatrix} \in SU(2).\]我们仍然有\(Ag_t=g_tA\) 。我们可以看到， \[\begin{aligned}Ag_tP_n &= A(z_1\cos{t}+z_2\sin{t})^n \\ &= A\sum_{k=0}^{n}{ n \choose k}(z_1\cos{t})^k (z_2\sin{t})^{nk} \\ &= A\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}( \cos{t})^k(\sin{t})^{nk}z_1^k z_2^{nk} \\ &= A\sum_{k=0}^{n}{n \选择 k}( \cos{t})^k(\sin{t})^{nk} P_k \\ &= \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(\cos{t})^k (\sin{t})^{nk} AP_k \\ &= \sum_{k=0}^{n}{n \选择 k}(\cos{t})^k(\sin{t})^ {nk} c_kP_k.\end{aligned}\]这源于我们对特征值的观察。接下来，我们立即使用特征值\(c_n\)得到\[g_t AP_n = g_t c_nP_n = c_n \sum_{k=0}^{n}{n \choose k}(\cos{t})^k( \sin{t})^{nk} P_k.\]这是\(g_tP_n\)的定义。比较\(P_k\)的系数，我们必须对所有\(0 \le k \le n\)有\(c_k=c_n\ ) 。回想一下\(\{P_k\}\)是一个基，因此对于给定向量，系数必须是唯一的。但是我们已经得到了我们想要的： \(A=c_n I\) 。 \（\正方形\）
字符和傅里叶变换
到目前为止，我们已经使用了\(SU(2)\)表示的对角化，但是\(SU(2)\)本身的对角化还没有涉及。我们也没有使用字符函数。所以现在我们邀请他们参加聚会。
让我们回忆一下\(SU(2)\)中的对角化。选择\(g \in SU(2)\) 。首先它是可对角化的。设\(\lambda_1\)和\(\lambda_2\)为它们的两个特征值，则\(|g|=\lambda_1\lambda_2=1\) 。因此我们有\[g \sim \begin{pmatrix}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}\lambda^{-1} & 0 \ \ 0 & \lambda \end{pmatrix}\]其中\(\lambda\)是\(g\)的特征值之一。由于对角化矩阵仍在\(SU(2)\)中，我们有\(|\lambda|=1\) ，即\(\lambda \in S^1\) 。因此我们写成\(g \sim e(t) \sim e(-t)\)其中\[e(t) = \begin{pmatrix} \exp(it) & 0 \\ 0 & \exp(-it ) \end{pmatrix}.\]我们看到， \(e(s) \sim e(t)\)当且仅当\(s = \pm t \mod 2\pi\) 。通过\(\exp\)函数的周期性，我们还看到\(e(t)\)特别是\(2\pi\) –周期性的。如果\(f:SU(2) \to \mathbb{C}\)是类函数，则\(f \circ e:\mathbb{R} \to \mathbb{C}\)是偶数\( 2\pi\) –周期函数。反之，给定偶数\(2\pi\)周期函数\(h:\mathbb{R} \to \mathbb{C}\) ，我们可以将其恢复为类函数，过程如下。
定义\(\Lambda:SU(2) \to S^1\)发送\(g \in SU(2)\)到具有非负虚部的\(g\)的特征值（也可以选择非-正的，因为\(h\)是偶数）。那么由\(g \mapsto \frac{1}{i}\log\Lambda(g)\ ) 给出的 \(E:SU(2) \to [0,\pi]\ ) 是一个定义明确的函数发送\ (g\)转化为\(\mathbb{R}\)和\(h \circ E:SU(2) \to \mathbb{C}\)是一个类函数。此外，我们有\(E \circ e(t)= \pm t \mod 2\pi\)和\(e \circ E(g)\)是\(g\)的对角化。因此\(h \circ E \circ e(t)=h(t)\)和\(f \circ e \circ E(g)=f\)符合预期。
在这个\(e(t)\)和\(E(t)\)的帮助下，我们有这个对应关系\[\{\text{Class functions }SU(2) \to \mathbb{C}\} \ longleftrightarrow \{\text{even }2\pi-\text{periodic function }\mathbb{R} \to \mathbb{C}\}\]回想一下，右手边的空间有一个可数均匀基\[ 1,\cos{t},\cos{2t},\dots.\]换句话说， \(\{\cos{nt}\}_{n \ge 0}\)跨越一个稠密子空间。这是关于三角系统的完整性。由于只有偶数函数，因此排除了\(\sin{nt}\) 。有关完整性的参考，可以查看 W. Rudin 的 4.25 Real and Complex Analysis 。
对于类函数，我们当然想了解字符。令\(\chi_n\)为\(V_n\)的字符，则\[\chi_n(e(t))=\operatorname{tr}(\rho(e(t)))=\operatorname{tr} (\operatorname{diag}(\exp(it)^{-n},\dots,\exp(it)^n))=\sum_{k=0}^{n}e^{i(n-2k )t}.\]当\(t \in \pi\mathbb{Z}\)时，则\(\chi_n(e(t)) \in \mathbb{Z}\) 。否则，作为微积分的经典练习，我们有\[\kappa_n(t)=\chi_n(e(t))=\frac{\sin(n+1)t}{\sin{t}}。\]我们有\(\kappa_0(t)=1\) 。对于\(\kappa_n(t)\)当\(n >0\)时，我们有\[\kappa_n(t)=\frac{\cos{nt}\sin{t}+\sin{nt}\cos {t}}{\sin{t}}=\cos{nt}+\kappa_{n-1}(t)\cos{t}.\]我们看到\(\kappa_1(t)=2\cos{ t}\) 。通过归纳，每个\(\kappa_n(t)\)都是变量\(1,\cos{t},\dots,\cos{nt}\)中的多项式。因此\(\{\kappa_n(t)\}_{n \ge 0}\)跨越与\(\{\cos{nt}\}_{n \ge 0}\)相同的空间，这是密集的在偶数\(2\pi\)周期函数的空间中。注意\(\kappa_n(t)\)是线性独立的，因为前导项是\(\cos{nt}\) 。
上面的论点表明\(\chi_n\)跨越类函数空间中的密集子空间。换句话说， \(\chi_n\)是类函数的傅里叶基。众所周知，傅里叶级数很强大。让我们看看它在李群\(SU(2)\)本身的微积分中有多强大。
命题 2.对于连续类函数\(f:SU(2) \to \mathbb{C}\) ，我们有\[\int_{SU(2)}f(x)dx = \frac{1}{\ pi}\int_0^\pi f \circ e(t)\sin^2{t}dt.\]
证明。一方面，由于\(V_n\)是不可约的，根据表示的不动点定理， \[\int_{SU(2)}\chi_n(x)dx = \dim V_n^{SU(2)} = \开始{案例} 1 & n=0, \\ 0 & n>0。 \end{cases}\]这里，对于一个组\(G\)和一个表示\(V\) ， \(V^G\)是不动点集，即由动作固定的元素空间在\(V\ ) 上的\(G\ ) 。由于\(\chi_n\)是不可约的，所以不动点只能是\(0\) ，除非表示本身是微不足道的。现在我们继续检查右侧。
在右侧，我们正在寻找偶数\(2\pi\) –周期性连续函数，反映了\(\kappa_n(t)\)的密集度。但是我们有\(\int_{-\pi}^{\pi}\kappa_1(t)dt=\pi\)所以它不会在\(n>0\)上消失。但是，如果我们将它乘以\(\sin^2{t}\) ，那么它会转换为\(\sin{mt}\sin{nt}\)的形式，我们熟悉这种正交性。更准确地说， \[\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f\circ e(t)\sin^2{t}dt = \frac{1}{\ pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(n+1)t\sin{t}dt = \begin{cases} 1 & n=0, \\ 0 & n>0。 \end{cases}\]因为泛函\(h \mapsto \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h\sin^2{t}dt\)是连续的在均匀拓扑中并且\(\kappa_n\)跨越一个密集的子空间，现在得到了结果。 \（\正方形\）
最后，令人惊讶和令人满意的是，密度实际上已经消除了不可约表示的所有其他可能性。换句话说，我们在对称产品中的搜索是最优的。我们可以通过 Parseval 的身份看到这一点。这是这篇博文的核心。
命题 3. \(SU(2)\)的每个不可约表示都与\(V_n\)之一同构。
证明。假设我们有一个不同于所有\(\chi_n\)的字符。然后正交性表明\(\langle \chi,\chi_n \rangle = 0\)对于所有\(n \ge 0\)和\(\langle \chi,\chi \rangle=1\) 。现在让我们看看为什么这是荒谬的。
由于\(\{\chi_n\}_{n \ge 0}\)跨越类函数空间中的密集子空间，我们实际上有\[\chi = \sum_{n = 0 }^{\infty} a_n \chi_n.\]因此\[\langle \chi,\chi_n \rangle = \int_{SU(2)}\overline\chi(x)\chi_n(x)dx = a_n=0,\quad n \ge 0 \]和\[\langle \chi,\chi \rangle = \sum_{n=0}^{\infty}\langle a_n\chi_n,a_n\chi_n \rangle = \sum_{n=0}^{\infty }|a_n|^2=1.\]不可能有\(0\)的总和是\(1\) 。 \（\正方形\）
特殊正交群的不可约表示（第一分类）
现在我们前往\(SO(3)\) 。事实上，结果立即从满射\[\pi:SU(2) \to SO(3).\]我们有\(\ker\pi=\{-I,I\}\) 。让\(W\)是\(SO(3)\)的表示，即我们有一个映射\[\rho:SO(3) \to GL(W).\]然后\[\pi^\ ast\rho:SU(2) \to GL(W)\] by \(g \mapsto \rho(\pi(g))\)是一个诱导表示，我们写成\(\pi^\ast W\ ) .如果\(W\)是不可约的，那么\(\pi^\ast W\)也是不可约的。特别是\(\pi^\ast\rho(-I)=\operatorname{id}_W\) 。
另一方面，如果\(\vartheta:SU(2) \to GL(V)\)是其中\(\vartheta(-I)=\operatorname{id}_V\)的不可约表示，那么我们有相关表示\[\pi_\ast\vartheta:SO(3) \cong SU(2)/\{I,-I\} \to GL(V)\]由\(g\ker\pi \mapsto \ vartheta(g)\) 。让我们用\(\pi_\ast V\)来表示它。同样，如果\(V\)是不可约的，则\(\pi_\ast V\)是不可约的。
因此我们实现了对应\[\{\text{$SO(3)$}\} 的不可约表示 \\\updownarrow \\\{\text{$SU(2)$ 的不可约表示其中 $-I$充当身份。}\}\]所以仍然需要确定\(SU(2)\)的那些。令\(\rho_n:SU(2) \to GL(V_n)\)为不可约表示，则\[\rho_n(-I)P(z)=P(z(-I))=P(-z )=(-1)^nP(z)\]因为\(P \in \mathbb{C}[z_1,z_2]\)是度数齐次的\(n\) 。因此\(-I\)当且仅当\(n\)是偶数时才充当恒等式。我们获得
命题 4. \(SO(3)\)的每个不可约表示形式为\[W_n = \pi_\ast V_{2n}\] ，其中\(V_{2n}\)在命题 2 中描述。
当然，这只是第一个分类。但是要引入像我们为\(SU(2)\)所做的那样明确的分类，必须有另一篇文章。作为一个快速的概述，这里是结果。
令\(P_{\ell}\)为在三个度为\(\ell\)的变量中齐次多项式的复向量空间，可以立即将其视为\(\mathbb{R}^3\)上的函数。就像我们为\(SU(2)\)所做的那样，此设置立即有意义。那么，其实\[W_\ell=\mathfrak{H}_\ell = \{f \in P_\ell:\Delta f=0\}.\]也就是说， \(W_\ell\ )可以理解为\(\mathbb{R}^3\)中的调和齐次多项式，也可以认为是在单位球面\(S^2\)上唯一确定的。
参考
- Tendor Bröker 和 Tammo tom Dieck，紧李群的表示。
- Walter Rudin，实数和复数分析，第 3 版。