伽玛函数的倒数级数 – 搞英语 → 看世界

伽玛函数的斯特林渐近级数为

$\Gamma(z) \sim (2\pi)^{1/2} z^{z - 1/2} e^{-z} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \压裂{\gamma_n}{z^n}$

现在假设您想要找到函数 1/Γ( z ) 的渐近级数。

由于 Γ 的级数具有f ( z ) 乘以无限和的形式，因此寻找 1/f 的级数具有 1/ f ( z ) 乘以无限和的形式是有意义的。困难的部分是找到新的无限和。一般来说，功能级数和其倒数级数看起来没什么相似之处。

在这里，我们有一个令人惊喜的地方：1/Γ 的级数中的系数与 Γ 的级数中的系数完全相同，只是符号不交替。

$\frac{1}{\Gamma(z)} \sim (2\pi)^{-1/2} z^{-z +1/2} e^{z} \sum_{n=0}^\ infty \frac{\gamma_n}{z^n}$

插图

以下不是证明，但它表明结果至少是合理的。

将 Г* 定义为 Г 除以无穷级数前面的项：

$\Gamma^*(z) = (2\pi)^{-1/2} z^{-z +1/2} e^{z} \Gamma(z)$

那么上面的讨论声称 Г* 和 1/Г* 具有相同的渐近级数，只是系数上的符号交替。因此，如果我们将 Г* 和 1/Г* 的级数的前几项相乘，我们期望得到大约等于 1 的值。

现在

$\Gamma^*(z) = 1 + \frac{1}{12z} + \frac{1}{288z^2} - \frac{139}{51840z^3} - \cdots$

我们声称

$\frac{1}{\Gamma^*(z)} = 1 - \frac{1}{12z} + \frac{1}{288z^2} + \frac{139}{51840z^3} - \cdots$

因此，如果我们将这些项乘以三阶，我们预计会得到 1 以及一些涉及分母中 z 的幂且指数大于 3 的项。事实上，乘积等于

$1 + \frac{571}{1244160 z^4} -\frac{19321}{2687385600 z^6}$

这符合我们的期望。