Samuel Velasco/广达杂志
介绍
1977年12月，一篇革命性的论文悄然出现在专业数学期刊Journal d’Analyse Mathématique上。作者 Hillel Furstenberg 没有声称有任何激动人心的——甚至是新的——结果。他只是提供了另一位数学家 Endre Szemerédi 两年前已经证明的定理的证明。
尽管如此，Furstenberg 的论文在数学上留下了持久的印记。他的新论点包含一个具有深远影响的洞察核心：你可以将像 Szemerédi 已经解决的关于整数集的问题改写为关于在空间中移动的点的问题。
此后的岁月里，Furstenberg 的技法被反复运用，并一点一点地进行调整和完善。今年早些时候，它们得到了提升，出现在两篇新论文中，揭示了整数集中的无限模式——跨越了 Szemerédi 现在已有 47 年历史的定理。
Furstenberg 的证明
Szemerédi 一直在研究包含所有整数的“正分数”的集合。以包含所有 5 的倍数的集合为例。当您查看越来越大的数字线时，5 的倍数继续定期出现。数学家说，包含所有 5 的倍数的集合具有所有整数的五分之一的分数。
相比之下，虽然素数的数量是无限的，但随着数字变大，素数变得越来越稀少，以至于所有素数的集合都不包含整数的正分数，或者换句话说，没有正密度.相反，素数被称为密度为零。
Szemerédi 一直在寻找所谓的算术级数或等距数字链的例子。例如，假设您有一个无限的数字序列，例如完全平方数：{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …}。完全正方形的等差数列长度为三，隐藏在前几项中：{1, 25, 49}。此级数中的每个数字都比其前身多 24。
Hillel Furstenberg 证明——以一种改变该领域的方式——足够大的整数集总是包含称为算术级数的模式。
Szemerédi 证明，任何包含整数正分数的集合都必须包含任意长的算术级数。结果是数学子领域的一个里程碑，称为加法组合。
Szémeredi 的证明虽然出色，但几乎无法遵循。 “直到今天，我认为可能只有三四个人真正理解 [Szemerédi] 的证明，”加州大学洛杉矶分校的数学家Terence Tao说。
因此，Furstenberg 更易于理解的论点受到欢迎。为了编写它，Furstenberg 依赖于他自己的数学、动力系统领域的方法。动态系统是任何随时间变化的过程。这可以像台球在台球桌上滚动一样简单。您所需要的只是一种以数学方式表示您的系统的方法，以及它如何演化的规则。例如，一个球可以用它的位置和速度来描述。该系统遵循经典物理学定律，随着时间的推移以规定的方式发展。
Furstenberg 对遍历理论最感兴趣。遍历理论家不是在任何给定的时间点查看系统的状态，而是研究长期的统计数据。对于台球来说，这可能意味着要弄清楚球最终是否会比其他地方更多地停留在桌子上的某些位置，因为它往往会从墙上反弹。
Furstenberg 的主要思想是不将整数集视为固定对象，而是将其视为动态系统中的瞬时状态。这似乎是一个小小的视角变化，但它让他能够使用遍历理论的工具来证明组合数学的结果。当时，Furstenberg 并不知道他的想法会成为现实。 “只是，我喜欢有其他证据，”他说。但其他人看到了遍历理论和组合学之间联系的前景。 “整整一代遍历理论家开始涉足组合学并解决所有这些问题，反之亦然，”陶说。
在过去的几年里，四位数学家——Bryna Kra 、 Joel Moreira 、 Florian Richter和Donald Robertson——开发了 Furstenberg 的技术，不仅可以在任何包含整数正分数的集合中找到任意长的级数，还可以找到无限版本的称为和集的结构.
从左上顺时针方向：Donald Robertson、Florian Richter、Joel Moreira 和 Bryna Kra 共同证明了一系列关于大整数集合中无限“总和”必然性的结果。
“总和远不如级数具体；他们看起来不那么特别，”罗伯逊说。 “但它更有趣也更微妙，因为总和是无限的配置，而级数是有限的。”
如果 Furstenberg 在遍历理论和组合学之间架起一座桥梁，Kra、Moreira、Richter 和 Robertson 则将其扩大为“六车道高速公路”，Tao 说。
B + C猜想
Szemerédi 定理于 1936 年由两位数学家首次提出，但并未得到证明。其中一位是以猜想着称的匈牙利数学家：Paul Erdős。 2016 年，莫雷拉在俄亥俄州立大学撰写博士论文时，偶然发现了 Erdős 对总和集结构所做的另一个猜想。
一个总和集由另外两个集合组成；称那些B和C 。写为B + C的总和集是通过将所有可能的数字对加在一起构建的，其中一个数字来自B ，另一个数字来自C 。 Erdős 猜想对于任何包含整数正分数的集合A ，都存在其他无限集合B和C ，其和集包含在A中。在莫雷拉正在阅读的论文中，作者已经证明了 Erdős 的猜想，当 A 包含很大一部分时的整数。但是对于较小的正密度集，结果仍然未知。 “我一读到这份声明，就觉得这是一个非常好的问题，因为它非常简单，”莫雷拉说。 “要么是假的，要么应该不难。这当然是错误的。这既不虚假也不容易。”
莫雷拉让他在研究生院的朋友里希特和罗伯逊参与了这个项目。罗伯逊现在就读于曼彻斯特大学，比莫雷拉早一年毕业，而里希特则落后几年。三人都精通将遍历理论技术应用于组合学。但这个问题带来了新的挑战。
马萨诸塞大学洛厄尔分校的数学家Daniel Glasscock说：“几乎没有在一组正密度内找到无限总和的先例。”他曾与 Moreira、Richter 和 Robertson 一起读研究生。
或许正是因为这个原因，总和问题被证明很难解决。 “我们有点不得不强迫遍历理论通过，”莫雷拉说。他们的努力最终得到了回报，他们在 2018 年成功证明了 Erdős 的猜想，麦吉尔大学的Marcin Sabok称之为“惊人的成就”。他们的证明后来发表在数学最负盛名的期刊之一《数学年鉴》上。
新证明
那篇论文留下了两个悬而未决的大问题。其中之一是 Erdős 的另一个和集猜想，称为B + B + t猜想。
Moreira、Richter 和 Robertson 也提出了他们自己的问题：如果你有一个正密度集A ，你能找到三个无限集——B 、 C和现在的D——其中B + C + D在A内部吗？四个无限集呢？五？
在他们提出多集版本后，数学家们一度陷入困境。看来，两人猜想的手法，已经到了极限。
“我们找不到这个问题的动态重新表述，”里希特说。他说，他们的方法“一开始就失败了”。
两年过去了，他们才看到真正的进步。此时，里希特已是西北大学的博士后研究员，布赖纳·克拉 (Bryna Kra) 是该校的教授。 2020 年，由于 Covid-19 大流行而无法亲自会面，Kra 和 Richter 发现自己正在通过 Zoom 讨论求和集问题。
“最终，我们想出了一些我们理解的其他变体，”克拉说。
克拉和里希特开始每周与莫雷拉和罗伯逊交谈，重新检查 2018 年的证明。
“我们必须做的是重新考虑证明的每一步，从将其转化为动力系统开始，”克拉说。
一位名叫Bernard Host的法国数学家在 2019 年发表的一篇论文对他们的事业有所帮助。 Host 重新证明了 Moreira、Richter 和 Robertson 的结果，并想出了让遍历理论大放异彩的方法。在 Moreira 看来，Host“看到了如何按照应有的方式编写我们的证明。”
随着 Host 的改进，Kra、Moreira、Richter 和 Robertson 继续调整他们的证明，试图提取最简单、最优雅的论证。 “我猜，我们只是一遍又一遍地剖析它，以真正了解：问题的关键是什么？”里希特说。 “最后，我们得到的证明与最初的证明几乎没有相似之处。”
他们最终得到的证明，就像 Furstenberg 的一样，将无限的整数集视为动力系统中的时间戳。不过，这个动力系统最好被设想为在空间中跳跃的点。
这是它如何工作的粗略图片：首先站在一个封闭房间的一个角落，称之为角落 0。你有一个时间列表A 。该集合A是整数的正密度集合。
您还配备了在房间内走动的规则。每一秒，你都会根据你刚刚站立的位置移动到一个新的位置。您遵循的确切规则将被设计为与您的时间集A相匹配——只要时间戳在A中，您就会发现自己处于房间的一个特殊区域。
例如，假设A由所有可被 4 整除的数字组成，您每秒顺时针移动到房间的下一个角落。一秒钟后，你移动到 1 号角；两秒后，角球 2，依此类推。然后，每四步——意思是每次在A 中——你都会回到原来的角 0。
这个过程永远持续下去。顺时针从一个角落到另一个角落，您将无限次访问每个角落。您无限次接近的点称为累积点。
Kra、Moreira、Richter 和 Robertson 证明您可以巧妙地选择这些地点之一来找到您的和集B + C 。在拐角示例中，以拐角 1 为例。您在第 1、5、9 和 13 次到达那里——对于某个整数n来说，这些时间看起来像是 4 n + 1。设B为那些时间的集合。
现在想象一下，你不是从角 0 开始，而是从角 1 开始。这意味着有时被 4 整除，你会发现自己回到角 1，三步后你会到达角 0：有时3、7、11 或 4 n + 3 形式的任何数字。将这些时间的集合称为C 。
现在，再次从角 0 开始您的过程。这一次，看看如果你从B中取出一个数字，从C中取出一个数字——比如，从B中取出 13，从C中取出 3——并将它们相加会发生什么。
这将需要 13 + 3 = 16 秒。因为 16 是 4 的倍数，所以它在A中。但您也可以预测 13 + 3 将被 4 整除，因此在A中，而无需实际将 13 和 3 相加。只需关注当您等待 13 + 3 秒时动力系统中发生的情况：首先，13 秒过去了。那时，您发现自己位于第 1 个角落。然后，从第 1 个角落开始，您再移动三步，这将带您回到第 0 个角落。由于您从第 0 个角落开始并最终回到那里，您必须等待一个四秒的倍数，这意味着总时间量是原始集合A中的一个数字。
为了使这个论点成立，该小组必须处理许多挑剔的数学细节。例如，在大多数情况下，您可以移动到无数个点，而不仅仅是四个角。这意味着你实际上不会无限次地回到一个地方；你只会无限次地接近它。这给争论引入了新的数学复杂性。但是一旦他们弄清楚了这个过程是如何运作的，他们就知道他们能够解决他们所追求的更难的问题。
“我们在这里提出了这个证明，并且立即清楚了如何推广它，”现就职于瑞士洛桑联邦理工学院的里希特说。例如，为了证明该猜想的多集版本，研究人员可以在路径中添加一个累积点。总体论点是一样的，只是增加了一层新的复杂性。
敲定所有技术细节并不容易。在他们确定了他们的动力学设置后，Kra、Moreira、Richter 和 Robertson 花了一年多的时间来证明更困难的猜想。今年6月，小组终于发了两篇论文。一个证明了和集猜想的多集版本。另一个证明了猜想的B + B + t版本，该猜想要求第二组C等于第一组B并移动某个常数t 。
下一步
尽管 6 月的论文解决了两个关于总和集的问题，但 Kra、Moreira、Richter 和 Robertson 为他们的研究领域展望了一个漫长的未来。 “就像 Erdős 提出的所有要求一样，他只是希望我们迈出第一步，”现就职于华威大学的莫雷拉说。 “但现在我们需要打开门，去探索那里还有什么。”
在他们的新论文中，这四位数学家以尚未回答的问题的形式列出了几个可能的探索方向。一个依赖于这样一个事实，即尽管任何正密度集A都包含一个无限和集B + C ，但它不一定包含两个分量B和C 。你什么时候可以坚持B和C也必须包含在A中？作者还挑战数学家，弄清楚他们是否可以找到无限集的无限序列，其总集包含在A中。
麦吉尔大学 Sabok 的研究生 Matt Bowen 已经回答了该领域的另一个悬而未决的问题。 10 月，他发布了一个证明，如果你为每个整数分配几种颜色中的一种，你可以在其中一种颜色中找到一个总和集B + C和集合BC的乘积。
Kra、Moreira、Richter 和 Robertson 的新作品究竟将带向何方仍不得而知。但至少，Tao 对该小组开发的新技术持乐观态度。他说，他们用自己的方法取得的成果“实际上非常惊人”。 “还有其他涉及无限集的问题，以前被认为是无望的，现在触手可及。”