什么是朗兰兹计划？

不久前，我被要求在一条推文中解释所谓的朗兰兹计划。不可能，我立刻想到。它是数学中最大、最广泛的项目之一，能够连接遥远的研究领域，而且自然难以描述。

但后来我想起了一个学生单脚站立要求伟大的塔木德圣人希勒尔解释整本圣经的故事。回答：“不要对你的邻居做你讨厌的事；剩下的就是泛化。”当然，你可以在圣经中找到比这更多的智慧，你可以用一生的时间研究这些概括。但对 Hillel 来说，这就是一切的开始。朗兰兹有类似物吗？我不是希勒尔，但这是我能做的最好的。

考虑函数（用它们的图表显示）：

如果您还没有识别出分母，它们就是奇怪的阶乘。阶乘是小于或等于给定数字的所有正整数的乘积，用感叹号表示。所以，例如，3！ = 1 × 2 × 3 = 6 和 5！ = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120。

希望现在模式很清楚：要获得序列中的下一个多项式，只需添加或减去（以交替方式） x的下一个奇数幂，然后除以该幂的阶乘。请注意，与任何多项式一样，当x趋于正无穷或负无穷时——分别向左或向右——函数要么爆炸到无穷大，要么下降到负无穷大。但尽管如此，在原点周围的某些区域，函数的行为开始稳定下来。它很快就变成了一条有规律的摆动曲线，似乎在 -1 和 1 之间。

当我们将这个函数序列得出其逻辑结论时，忽略关于这实际上是否可以完成（是的，它可以）的各种重要问题，我们得到无限级数

事实证明，这是从三角函数中编写简单正弦函数的另一种方法。而正弦函数也可以理解为一个点的高度，贴在一个旋转的圆的边缘，随着时间的推移上下起伏。至关重要的是，如果您将圆旋转 2π 弧度（完整旋转），该圆将再次开始相同的摆动。这意味着正弦函数和我们上面的无限级数具有特殊的对称性：如果将输入更改 2π，则函数会重复。那是，

, 对于所有值.

如果这对您来说似乎不是一个壮观的奇迹，那么您还不够努力。所有这些多项式的系数仅由具有交替符号的奇阶乘分母组成。谁邀请 2π 参加聚会？我们看到的第一个多项式都没有这种平移对称性——它只出现在无穷远处。我们将看到，这种在极限中意外出现的对称性是支撑朗兰兹纲领的关键见解。

正弦函数是我们数学家更普遍地称为自守函数的一个基本示例：当我们通过某个过程（在本例中，滑动 2π）改变（变形）变量时，函数变回自身（因此“自动” 形态）。

今天我们知道许多技术可以揭示这个无限系列的这种自同态。例如，我们可以从正弦函数本身开始，而不是从所有这些多项式开始。然后它在翻译下的不变性是重言式的，遵循基本定义，我们只需要将正弦函数连接到该多项式序列。后者是称为泰勒级数展开的一般过程，在正弦函数的情况下，它给出了上面讨论的多项式。 （通过使用导数，即使不参考正弦函数，也可以显示这种自同构，这是一种测量函数局部变化量的方法。）

那么什么是朗兰兹计划呢？它预测由某些（无限）序列定义的对象的“额外”非明显对称性（即自同构）。这是我能做的最好的事情，一只脚站立！

现在，正如本文随附的视频中所讨论的那样，数学家不仅仅对证明这些对称性感兴趣——尽管这肯定已经足够了，因为大多数数学家认为它们是美丽和重要的。这些对称性具有令人难以置信的后果，以及对其他数学问题的应用，例如费马大定理的完全解析。

以下是这些对称性如何帮助解决称为拉马努金猜想的另一组问题的一瞥，这些问题的最普遍形式至今仍未解决。

拉马努金猜想大致如下。如果你有一个由一些系数序列给出的自守函数，像这样：

那么所有系数——所有那些 a ——都以 1 为界，这意味着它们的值都在 -1 和 1 之间。

但是，我们无法再次证明这一点。我们能做的最好的事情就是将这些系数限制为 10，这是一个相当弱的——而且看起来几乎没有用的——信息。

但这就是朗兰兹的用武之地。如果程序的一个猜想部分，称为函子性，是真的（正如数学家所怀疑的那样），那么我们就可以完全证明拉马努金猜想。 Functoriality 声称我们可以从 G( x ) 中生成新的自守函数，只需将所有系数提高到任何固定整数幂即可。 （实际上，这个过程要复杂得多，但让我们继续理解这个想法。）因此，鉴于 G( x ) 是自守的，函子性猜想函数

也应该是自守的。由于我们可以证明任何自守函数的系数以 10 为界的看似无用的结果，我们现在可以证明 G ₂的系数（即 G 的系数的平方）也以 10 为界。如果G 的系数的平方以 10 为界，则系数本身以 10 的平方根为界，大约为 3.16。感谢朗兰兹提供的链接，我们大大提高了我们对边界的了解！

但功能性并不止于此。它还预测其系数是 G 的系数的立方的函数也是自守的：

如果为真，则 G 的系数实际上以 10 的立方根（约 2.15）为界，而不仅仅是其平方根。对于所有此类“功能提升”，依此类推：

现在你看到拉马努金猜想会如何发展了吗？一个巨大的k的 10 的第k个根越来越接近 1。所以如果你知道所有这些函数提升确实是自守的，正如 Langlands 预测的那样，你刚刚解决了 Ramanujan。多么聪明的把戏！

我们在这里的讨论只是朗兰兹计划的巨大冰山一角。我省略了L函数、动机、迹公式、伽罗瓦表示、类场论和过去半个世纪以来围绕程序构建的各种令人惊叹的数学。如果你对这些东西感兴趣，我鼓励你进一步研究它们——正如希勒尔希望他的回答也能激励提问者继续他们的研究一样。